人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列的前n项和---性质和应用》名师课件(共55张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列的前n项和---性质和应用》名师课件(共55张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 17:56:53 | ||
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文档简介
(共55张PPT)
复习引入
等差数列：
公 差：
通项公式：
等差中项：
重要性质:
注意：这里
(常数)
(1)
(2)当时,
2.根据等差数列前项和,求通项公式.
1. 等差数列前项和公式.
复习引入
人教A版同步教材名师课件
等差数列的前项和
---性质和应用
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解等差数列前项和公式及公式的推导与应用 逻辑推理
掌握等差数列的基本计算 数学运算
了解等差数列前项和公式与二次函数的关系 数学运算
初步掌握数列求和方法及其应用 数学建模
学习目标
学习目标：
1.会求等差数列前项和的最值.
2.掌握等差数列前项和的性质及应用.
3.会用裂项相消法求和.
学科核心素养：
1.通过等差数列前项和的函数特征的学习,体现了数学建模素养.
2.借助等差数列前项和性质的应用及裂项相消法求和,培养数学运算素养.
例1、设是等差数列,是其前项和,且,则下列结论错误的是 ( )
A.B. C.D和均为的最大值
等差数列前项和的最值
因为,所以,
可得,和均为的最大值,
所以.因此C错误.
典例讲解
C
解析
例2、(2018·全国卷Ⅱ)记为等差数列的前项和,已知.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
典例讲解
(1)设的公差为,由题意得.
又,所以.所以的通项公式为.
(2)方法一:(二次函数法)由(1)得
,所以当时,
取得最小值,最小值为.
解析
典例讲解
(2) 方法二:(通项变号法)由(1)知,则
由最小 即所以.
又,所以,此时的最小值为.
解析
例2、(2018·全国卷Ⅱ)记为等差数列的前项和,已知.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
(1)符号转折点法.
①当时,由不等式组可求得取最大值时的值.
②当时,由不等式组可求得取最小值时的值.
方法归纳
(2)利用二次函数求的最值.
知道公差不为的等差数列的前项和可以表示成的形式,
我们可将其变形为.
①若,则当最小时,有最小值;
②若,则当最小时,有最大值.
等差数列前项和最值的两种求法
1.记等差数列的前项和为,若,,则当取得最大值时,_____________.
因为,
所以.
因为,
所以,所以,
所以当取得最大值时,或.
变式训练
或
解析
方法一:利用前项和公式和二次函数的性质.
由,得
,解得.
所以.
所以由二次函数的性质,得当时,有最大值.
变式训练
2.在等差数列中,,,求的最大值.
解析
变式训练
2.在等差数列中,,,求的最大值.
方法二:由方法一,得.
因为,
由 得
所以当时,有最大值,
最大值为.
解析
方法三:由,得
而,
故.
由方法一,得,所以.
故时,有最大值,
最大值为 .
变式训练
2.在等差数列中,,,求的最大值.
解析
等差数列前项和的性质
(1)等差数列中,,也构成等差数列.
(2)若与均为等差数列,且前项和分别为与,则.
(3)若等差数列的前项和为,则数列是等差数列,且首项为,公差为.
新知讲解
(4)项的个数的“奇偶”性质.为等差数列,公差为.
①若共有项,则
②若共有项,则;
(5)等差数列中,若则
(6)等差数列中,若.
新知讲解
“”
=
= ==
= =
例3、(2020·扬州高二检测)已知数列都是等差数列,分别
是它们的前项和,并且,则 ( )
A. B. C. D.
典例讲解
例4、在项数为的等差数列中,所有奇数项的和为,所有偶数项的和为,则等于 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
例5、已知等差数列的前项和为,且,,试求.
1.用等差数列前项和公式(含首项、末项、项数)和等差数列的性质求解.
2.综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出与的关系.
3.方法一:依据成等差数列解答;
方法二:依据数列是等差数列解答;
方法三:直接分析之间的关系.
典例讲解
思路突破
典例讲解
数列都是等差数列,,分别是它们的前项和,
并且,则
例3、(2020·扬州高二检测)已知数列都是等差数列,分
别是它们的前项和,并且,则 ( )
A. B. C. D.
解析
C
典例讲解
因为等差数列有项,所以
又, 所以.所以.
例4、在项数为的等差数列中,所有奇数项的和为,所有
偶数项的和为,则等于 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
B
解析
典例讲解
例5、已知等差数列的前项和为,且,,试求.
方法一:因为成等差数列,
设公差为,前10项的和为:,所以,
所以前11项的和
.
方法二:设等差数列的公差为,
则,所以数列成等差数列.
所以即所以.
解析
典例讲解
方法三:设等差数列的公差为,
,
又，
即,所以.
例5、已知等差数列的前项和为,且,,试求.
解析
方法归纳
等差数列前项和的性质
(1)等差数列中,,也构成等差数列.
(2)若与均为等差数列,且前项和分别为与,则.
(3)若等差数列的前项和为,则数列是等差数列,且首项为,公差为.
方法归纳
(4)项的个数的“奇偶”性质.
为等差数列,公差为.
①若共有项,则
②若共有项,则;
(5)等差数列中,若则
(6)等差数列中,若.
因为成等差数列,所以
所以所以.
变式训练
4.在等差数列中,,,则的前
项和为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.等差数列的前项和为,前项和为,则它的前项和是( )
A.130 B.170 C.210 D.260
C
解析
B
由,则,
解得的前项和.
解析
例6、朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝,第一天派出人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多人.”在该问题中的人全部派遣到位需要的天数为 ( )
A.9 B.16 C.18 D.20
典例讲解
根据题意设每天派出的人数组成数列分析可得数列是首项,公差的等差数列,该问题中的人全部派遣到位的天数为,则
,依次将选项中的值代入检验得,满足方程.
B
解析
例7、《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第个儿子的年龄为,则 ( )
A.23 B.32 C.35 D.38
典例讲解
由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为,其中公差
,即,解得.
解析
C
应用等差数列解决实际问题的一般思路
方法归纳
5.植树节某班名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距 m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________ m.
变式训练
假设位同学是号到号依次排列,
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,
则树苗需放在第或第号树坑旁,
此时两侧的同学所走的路程分别组成以为首项,为公差的等差数列,
故所有同学往返的总路程为
.
2 000
解析
角度1 裂项求和与并项求和问题
例8、已知函数且则等于( )
A.0 B.100 C.-100 D.10 200
典例讲解
因为,
所以由已知条件知即
所以所以(是奇数),
所以
.
数列求和问题
B
解析
例9、等差数列中,.
(1)求的通项公式.
(2)设 ,求数列的前项和.
典例讲解
(1)设等差数列的公差为,则.
因为所以
解得 .
所以的通项公式为.
(2),
所以
解析
角度2 求数列的前项的和
例10、等差数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
典例讲解
(1)设等差数列的公差为,由通项公式可得方程组,解方程组可得首项和公差,即可得到所求通项;
(2)求,分析中的项何时为正,何时为负,分情况求和.
思路探究
角度2 求数列的前项的和
例10、等差数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
典例讲解
解析
(1)等差数列的公差设为,
可得解得则.
(2),
设的前项和为,
当时,数列的前项和为;
当时,数列的前项和为
角度2 求数列的前项的和
例10、等差数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
典例讲解
解析
,
综上可得数列的前n项和为
1.裂项相消求和
方法归纳
(1)适用数列:形如(,为常数)的数列可以用裂项求和.
(2)裂项形式: .
(3)规律发现:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有理化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、保留项.
(4)特殊裂项:
方法归纳
①
②
③.
④.
(1)适用形式:
①适用于形如的摆动数列.
②项成周期变化的数列.
(2)求和方法:
①形如的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而
使通项降次,得以转化为等差数列求解.
②针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在
求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前项和.
方法归纳
2.关于并项法求数列的和
(1)等差数列的各项都为非负数,这种情形中数列就等于数列
可以直接求解.
(2)等差数列中,,这种数列只有前边有限项为非负数,
从某项开始其余所有项都为负数,可把数列分成两段处理.
(3)等差数列中,,这种数列只有前边有限项为负数,
其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.
方法归纳
3.数列的前项和的三种类型的求解策略
6.已知等差数列的前项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设求数列的前项和.
变式训练
(1)设等差数列的公差为,
由题意知,,
,即,所以,
所以所以.
解析
变式训练
(2)令,
设数列的前项和为,则.
当时,.
当时,
解析
6.已知等差数列的前项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设求数列的前项和.
1.已知等差数列的前项和分别为,若对于任意的自然数,都有则
A. B. C. D.
当堂练习
因为等差数列中,若,则;
等差数列的前项和为:.
所以
所以
A
解析
因为,
而由等差数列的性质可知,
构成等差数列,
所以
即.
当堂练习
2.设等差数列的前项和为,若,,则等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
B
解析
3.设数列为等差数列,其前项和为,已知,,若对任意,都有成立,则的值为________.
方法一:对任意都有成立,即为的最大值.
因为,,所以,,
故公差,,
当取得最大值时,
对任意满足解得.
即满足对任意,都有成立的的值为.
解析
当堂练习
当堂练习
方法二:同方法一可得公差,
则时,,
所以,
即当时,取得最大值,从而满足对任意,
都有成立的的值为.
3.设数列为等差数列,其前项和为,已知,,若对任意,都有成立,则的值为________.
解析
由等差数列的性质知,
,所以,
又,
所以,而,故.
因此当时,
最大.
当堂练习
4.设等差数列的前项和为,且,则当________时,最大.
解析
(1)设等差数列的公差为,由题意可得
即解得则,
所以 .
(2)由题意可得
所以.
5.已知等差数列的前项和为,且,.
(1)求及.
(2)若数列满足数列的前项和为,求证:.
当堂练习
解析
,当时,
也适合上式,所以,
令,故时,时,,
所以对数列时,
,
当堂练习
6.等差数列的前项和,求数列的前项和.
解析
当时,
所以
当堂练习
6.等差数列的前项和,求数列的前项和.
解析
归纳小结
(1)符号转折点法.
①当时,由不等式组可求得取最大值时的值.
②当时,由不等式组可求得取最小值时的值.
(2)利用二次函数求的最值.
知道公差不为的等差数列的前项和可以表示成的形式,
我们可将其变形为.
①若,则当最小时,有最小值;
②若,则当最小时,有最大值.
等差数列前项和最值的两种求法
归纳小结
等差数列前项和的性质
(1)等差数列中,,也构成等差数列.
(2) (2)若与均为等差数列,且前项和分别为与,则.
(3)若等差数列的前项和为,则数列是等差数列,且首项为,公差为.
归纳小结
(4)项的个数的“奇偶”性质.
为等差数列,公差为.
①若共有项,则
②若共有项,则;
(5)等差数列中,若则
(6)等差数列中,若.
裂项相消求和
(1)适用数列:形如(,为常数)的数列可以用裂项求和.
(2)裂项形式: .
(3)规律发现:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有理化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、保留项.
归纳小结
(4)特殊裂项:
①
②
③.
④.
归纳小结
(1)适用形式:
①适用于形如的摆动数列.
②项成周期变化的数列.
(2)求和方法:
①形如的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而
使通项降次,得以转化为等差数列求解.
②针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在
求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前项和.
关于并项法求数列的和
归纳小结
(1)等差数列的各项都为非负数,这种情形中数列就等于数列
可以直接求解.
(2)等差数列中,,这种数列只有前边有限项为非负数,
从某项开始其余所有项都为负数,可把数列分成两段处理.
(3)等差数列中,,这种数列只有前边有限项为负数,
其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.
数列的前项和的三种类型的求解策略
归纳小结
作 业
P24 练习:3、5 习题4.2:7
复习引入
等差数列：
公 差：
通项公式：
等差中项：
重要性质:
注意：这里
(常数)
(1)
(2)当时,
2.根据等差数列前项和,求通项公式.
1. 等差数列前项和公式.
复习引入
人教A版同步教材名师课件
等差数列的前项和
---性质和应用
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解等差数列前项和公式及公式的推导与应用 逻辑推理
掌握等差数列的基本计算 数学运算
了解等差数列前项和公式与二次函数的关系 数学运算
初步掌握数列求和方法及其应用 数学建模
学习目标
学习目标：
1.会求等差数列前项和的最值.
2.掌握等差数列前项和的性质及应用.
3.会用裂项相消法求和.
学科核心素养：
1.通过等差数列前项和的函数特征的学习,体现了数学建模素养.
2.借助等差数列前项和性质的应用及裂项相消法求和,培养数学运算素养.
例1、设是等差数列,是其前项和,且,则下列结论错误的是 ( )
A.B. C.D和均为的最大值
等差数列前项和的最值
因为,所以,
可得,和均为的最大值,
所以.因此C错误.
典例讲解
C
解析
例2、(2018·全国卷Ⅱ)记为等差数列的前项和,已知.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
典例讲解
(1)设的公差为,由题意得.
又,所以.所以的通项公式为.
(2)方法一:(二次函数法)由(1)得
,所以当时,
取得最小值,最小值为.
解析
典例讲解
(2) 方法二:(通项变号法)由(1)知,则
由最小 即所以.
又,所以,此时的最小值为.
解析
例2、(2018·全国卷Ⅱ)记为等差数列的前项和,已知.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
(1)符号转折点法.
①当时,由不等式组可求得取最大值时的值.
②当时,由不等式组可求得取最小值时的值.
方法归纳
(2)利用二次函数求的最值.
知道公差不为的等差数列的前项和可以表示成的形式,
我们可将其变形为.
①若,则当最小时,有最小值;
②若,则当最小时,有最大值.
等差数列前项和最值的两种求法
1.记等差数列的前项和为,若,,则当取得最大值时,_____________.
因为,
所以.
因为,
所以,所以,
所以当取得最大值时,或.
变式训练
或
解析
方法一:利用前项和公式和二次函数的性质.
由,得
,解得.
所以.
所以由二次函数的性质,得当时,有最大值.
变式训练
2.在等差数列中,,,求的最大值.
解析
变式训练
2.在等差数列中,,,求的最大值.
方法二:由方法一,得.
因为,
由 得
所以当时,有最大值,
最大值为.
解析
方法三:由,得
而,
故.
由方法一,得,所以.
故时,有最大值,
最大值为 .
变式训练
2.在等差数列中,,,求的最大值.
解析
等差数列前项和的性质
(1)等差数列中,,也构成等差数列.
(2)若与均为等差数列,且前项和分别为与,则.
(3)若等差数列的前项和为,则数列是等差数列,且首项为,公差为.
新知讲解
(4)项的个数的“奇偶”性质.为等差数列,公差为.
①若共有项,则
②若共有项,则;
(5)等差数列中,若则
(6)等差数列中,若.
新知讲解
“”
=
= ==
= =
例3、(2020·扬州高二检测)已知数列都是等差数列,分别
是它们的前项和,并且,则 ( )
A. B. C. D.
典例讲解
例4、在项数为的等差数列中,所有奇数项的和为,所有偶数项的和为,则等于 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
例5、已知等差数列的前项和为,且,,试求.
1.用等差数列前项和公式(含首项、末项、项数)和等差数列的性质求解.
2.综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出与的关系.
3.方法一:依据成等差数列解答;
方法二:依据数列是等差数列解答;
方法三:直接分析之间的关系.
典例讲解
思路突破
典例讲解
数列都是等差数列,,分别是它们的前项和,
并且,则
例3、(2020·扬州高二检测)已知数列都是等差数列,分
别是它们的前项和,并且,则 ( )
A. B. C. D.
解析
C
典例讲解
因为等差数列有项,所以
又, 所以.所以.
例4、在项数为的等差数列中,所有奇数项的和为,所有
偶数项的和为,则等于 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
B
解析
典例讲解
例5、已知等差数列的前项和为,且,,试求.
方法一:因为成等差数列,
设公差为,前10项的和为:,所以,
所以前11项的和
.
方法二:设等差数列的公差为,
则,所以数列成等差数列.
所以即所以.
解析
典例讲解
方法三:设等差数列的公差为,
,
又，
即,所以.
例5、已知等差数列的前项和为,且,,试求.
解析
方法归纳
等差数列前项和的性质
(1)等差数列中,,也构成等差数列.
(2)若与均为等差数列,且前项和分别为与,则.
(3)若等差数列的前项和为,则数列是等差数列,且首项为,公差为.
方法归纳
(4)项的个数的“奇偶”性质.
为等差数列,公差为.
①若共有项,则
②若共有项,则;
(5)等差数列中,若则
(6)等差数列中,若.
因为成等差数列,所以
所以所以.
变式训练
4.在等差数列中,,,则的前
项和为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.等差数列的前项和为,前项和为,则它的前项和是( )
A.130 B.170 C.210 D.260
C
解析
B
由,则,
解得的前项和.
解析
例6、朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝,第一天派出人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多人.”在该问题中的人全部派遣到位需要的天数为 ( )
A.9 B.16 C.18 D.20
典例讲解
根据题意设每天派出的人数组成数列分析可得数列是首项,公差的等差数列,该问题中的人全部派遣到位的天数为,则
,依次将选项中的值代入检验得,满足方程.
B
解析
例7、《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第个儿子的年龄为,则 ( )
A.23 B.32 C.35 D.38
典例讲解
由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为,其中公差
,即,解得.
解析
C
应用等差数列解决实际问题的一般思路
方法归纳
5.植树节某班名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距 m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________ m.
变式训练
假设位同学是号到号依次排列,
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,
则树苗需放在第或第号树坑旁,
此时两侧的同学所走的路程分别组成以为首项,为公差的等差数列,
故所有同学往返的总路程为
.
2 000
解析
角度1 裂项求和与并项求和问题
例8、已知函数且则等于( )
A.0 B.100 C.-100 D.10 200
典例讲解
因为,
所以由已知条件知即
所以所以(是奇数),
所以
.
数列求和问题
B
解析
例9、等差数列中,.
(1)求的通项公式.
(2)设 ,求数列的前项和.
典例讲解
(1)设等差数列的公差为,则.
因为所以
解得 .
所以的通项公式为.
(2),
所以
解析
角度2 求数列的前项的和
例10、等差数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
典例讲解
(1)设等差数列的公差为,由通项公式可得方程组,解方程组可得首项和公差,即可得到所求通项;
(2)求,分析中的项何时为正,何时为负,分情况求和.
思路探究
角度2 求数列的前项的和
例10、等差数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
典例讲解
解析
(1)等差数列的公差设为,
可得解得则.
(2),
设的前项和为,
当时,数列的前项和为;
当时,数列的前项和为
角度2 求数列的前项的和
例10、等差数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
典例讲解
解析
,
综上可得数列的前n项和为
1.裂项相消求和
方法归纳
(1)适用数列:形如(,为常数)的数列可以用裂项求和.
(2)裂项形式: .
(3)规律发现:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有理化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、保留项.
(4)特殊裂项:
方法归纳
①
②
③.
④.
(1)适用形式:
①适用于形如的摆动数列.
②项成周期变化的数列.
(2)求和方法:
①形如的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而
使通项降次,得以转化为等差数列求解.
②针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在
求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前项和.
方法归纳
2.关于并项法求数列的和
(1)等差数列的各项都为非负数,这种情形中数列就等于数列
可以直接求解.
(2)等差数列中,,这种数列只有前边有限项为非负数,
从某项开始其余所有项都为负数,可把数列分成两段处理.
(3)等差数列中,,这种数列只有前边有限项为负数,
其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.
方法归纳
3.数列的前项和的三种类型的求解策略
6.已知等差数列的前项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设求数列的前项和.
变式训练
(1)设等差数列的公差为,
由题意知,,
,即,所以,
所以所以.
解析
变式训练
(2)令,
设数列的前项和为,则.
当时,.
当时,
解析
6.已知等差数列的前项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设求数列的前项和.
1.已知等差数列的前项和分别为,若对于任意的自然数,都有则
A. B. C. D.
当堂练习
因为等差数列中,若,则;
等差数列的前项和为:.
所以
所以
A
解析
因为,
而由等差数列的性质可知,
构成等差数列,
所以
即.
当堂练习
2.设等差数列的前项和为,若,,则等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
B
解析
3.设数列为等差数列,其前项和为,已知,,若对任意,都有成立,则的值为________.
方法一:对任意都有成立,即为的最大值.
因为,,所以,,
故公差,,
当取得最大值时,
对任意满足解得.
即满足对任意,都有成立的的值为.
解析
当堂练习
当堂练习
方法二:同方法一可得公差,
则时,,
所以,
即当时,取得最大值,从而满足对任意,
都有成立的的值为.
3.设数列为等差数列,其前项和为,已知,,若对任意,都有成立,则的值为________.
解析
由等差数列的性质知,
,所以,
又,
所以,而,故.
因此当时,
最大.
当堂练习
4.设等差数列的前项和为,且,则当________时,最大.
解析
(1)设等差数列的公差为,由题意可得
即解得则,
所以 .
(2)由题意可得
所以.
5.已知等差数列的前项和为,且,.
(1)求及.
(2)若数列满足数列的前项和为,求证:.
当堂练习
解析
,当时,
也适合上式,所以,
令,故时,时,,
所以对数列时,
,
当堂练习
6.等差数列的前项和,求数列的前项和.
解析
当时,
所以
当堂练习
6.等差数列的前项和,求数列的前项和.
解析
归纳小结
(1)符号转折点法.
①当时,由不等式组可求得取最大值时的值.
②当时,由不等式组可求得取最小值时的值.
(2)利用二次函数求的最值.
知道公差不为的等差数列的前项和可以表示成的形式,
我们可将其变形为.
①若,则当最小时,有最小值;
②若,则当最小时,有最大值.
等差数列前项和最值的两种求法
归纳小结
等差数列前项和的性质
(1)等差数列中,,也构成等差数列.
(2) (2)若与均为等差数列,且前项和分别为与,则.
(3)若等差数列的前项和为,则数列是等差数列,且首项为,公差为.
归纳小结
(4)项的个数的“奇偶”性质.
为等差数列,公差为.
①若共有项,则
②若共有项,则;
(5)等差数列中,若则
(6)等差数列中,若.
裂项相消求和
(1)适用数列:形如(,为常数)的数列可以用裂项求和.
(2)裂项形式: .
(3)规律发现:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有理化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、保留项.
归纳小结
(4)特殊裂项:
①
②
③.
④.
归纳小结
(1)适用形式:
①适用于形如的摆动数列.
②项成周期变化的数列.
(2)求和方法:
①形如的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而
使通项降次,得以转化为等差数列求解.
②针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在
求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前项和.
关于并项法求数列的和
归纳小结
(1)等差数列的各项都为非负数,这种情形中数列就等于数列
可以直接求解.
(2)等差数列中,,这种数列只有前边有限项为非负数,
从某项开始其余所有项都为负数,可把数列分成两段处理.
(3)等差数列中,,这种数列只有前边有限项为负数,
其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.
数列的前项和的三种类型的求解策略
归纳小结
作 业
P24 练习:3、5 习题4.2:7