人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】4.2.2_等差数列的前n项和1(共25张PPT)

(共25张PPT)
§4.2.2 等差数列的前n项和
目标定位
【学习目标】
1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2．经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验
从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思；
3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，
能够由其中三个求另外两个．
【重、难点】
重点：探索并掌握等差数列前n项和公式.
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得．
学习目标和重难点
知识链接
在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am＋an＝___________ .
特别地，若m+n=2p，则am＋an＝______________.
ap＋aq
2ap
自主探究
（一）要点识记
1. 教材推导等差数列前n项和的方法是：_______________
2. 等差数列的前n项和公式是：
（1）_____________________；

（2）_____________________.
倒序相加法
新知探究
等差数列前n项和的性质
等差数列 的公差为，前n项和为.
（1）当 的项数为奇数 时，
① ；
② ；
③ .
（二）深层探究
自主探究
（2）当 的项数为偶数 时，
①
② ；
③ .
（3） 也成等差数列，且公差为.
（二）深层探究
典例突破
例1. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
（一）等差数列的前n项和公式的应用
典例突破
【解析】依题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.
∴ 建立一个等差数列{an}，表示从2001年起各年投入的资金，
其中，a1＝500，d＝50.
则到2010年(n＝10)，投入的资金总额为
(元)．
∴ 从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250
万元．
（一）等差数列的前n项和公式的应用
典例突破
【解题反思】如何建立等差数列模型？
答：建立等差数列的模型，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找准n的取值与年份的对应．
（一）等差数列的前n项和公式的应用
典例突破
变式1. 一支车队有15辆车，某天依次出发执行运输任务. 第一辆车于下午2时出发，第二辆车于下午2时10分出发，第三辆车于下午2时20分出发，以此类推. 假设所有的司机都连续开车，并都在下午6时停下来休息.
(1) 到下午6时，最有一辆车行驶了多长时间？
如果每辆车的形式速度都是60 km/h，这个车队当天一共
行驶了多少km.
（一）等差数列的前n项和公式的应用
典例突破
【解析】(1) 依题意，从第2辆车到最后一辆车，每辆车都比前一辆车少行驶 .
∴ 建立等差数列{an}，用an表示第n辆车的行驶时间，则
.
∴ (h)，即到下午6时，
最有一辆车行驶了 h.
（一）等差数列的前n项和公式的应用
典例突破
(2) 记 为到下午6时，所有车辆的形式时间，则
(h)
记 为到下午6时，所有车辆的行驶路程，则
（km）
∴ 这个车队当天一共行驶了 km.
（一）等差数列的前n项和公式的应用
典例突破
例2. 设等差数列 的公差为，前n项和为.
（1）若 则______.
（二）等差数列前n项和性质的应用
【解析】由 得，即
∴
变式2-1. 若 则____.
【解析】 由 得 ，
解得 或. …………①
∴ …………②
由①②得
（二）等差数列前n项和性质的应用
典例突破
（2）若 （ ）
A．10 B．11 C．19 D．20
【解析】由“，”知
∴ 由 得，即
由 得；由 得；
由 得. 故选C
C
（二）等差数列前n项和性质的应用
典例突破
再设等差数列 的前n项和为.
（3）若 ，则 _______；
【解析】
变式2-3. 若 ，则 _______；
【解析】
（二）等差数列前n项和性质的应用
典例突破
（4）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与
奇数项和之比为32∶27，则公差d =______.
【解析】由条件 ，解得
∴ 由 得
（二）等差数列前n项和性质的应用
典例突破
变式2-4. 已知是等差数列，且其前四项的和为21，后四项
的和为67，且所有项的和为286，则其项数为_____.
【解析】由题意
∴
∴由 得 ，解得
（二）等差数列前n项和性质的应用
典例突破
【解析】将 代入 ，
得，解得.
∴
例3. 已知等差数列{an}，求.
（三）等差数列前n项和中基本量的确定
典例突破
答：在这5个基本量中，知其三能求其二．
（三）等差数列前n项和中基本量的确定
【解题反思】
在构成等差数列前n项和公式的5个基本量a1，d，n，an，Sn中，至少要知道几个才能求出其他的量？
典例突破
典例突破
变式3. 已知等差数列{an}，
求.
【解析】将 代入
，，
得，解得 .
（三）等差数列前n项和中基本量的确定
新知探究
（一）等差数列的前n项和公式
问题1.
（1）等差数列{an}中，若，则_____；
（2）等差数列{an}中，若，则
____；
（3）等差数列{an}中，若，你会求
的值吗？
新知探究
（一）等差数列的前n项和公式
【解析】
（1）∵ ∴
∴ ∴
（2）∵ ∴
∴ ∴
（3）∵
∴
.
新知探究
（一）等差数列的前n项和公式
（4）等差数列{an}中，若，如何求
的值呢？
【解析】
∵
∴
∴
新知探究
【解题反思】
问题1中的几个问题都是对等差数列“序号和相等，则项数和相等”这一性质的应用. 对称是求解（1）（2）（3）的主题思想，这一思想常用来研究等差数列前n项和的性质；求解（4）的方法称为倒序相加法.
（一）等差数列的前 n 项和公式