人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】4.2.2_等差数列的前n项和2(共19张PPT)

(共19张PPT)
§4.2.2 等差数列的前n项和
目标定位
【学习目标】
1． 进一步熟练掌握等差数列的前n项和公式；
2． 掌握等差数列前n项和的最值问题；
3． 理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
【重、难点】
重点：等差数列的前n项和公式.
难点：理解an与Sn的关系，能根据Sn求an．
学习目标和重难点
自主探究
（一）要点识记
问题1. 根据数列前n项和的定义，你能用 表示 吗？
答：；
自主探究
1.（1）等差数列的通项公式 与二次
函数有什么关系？
（2）若数列 的通项公式是二次函数，
其中 为常数，那么这个数列是等差数列吗？
（二）深层探究
自主探究
答：（1）∵ 数列是关于序号n的函数，为此将数列的通项公式变形为关于n的函数：
显然，当 时， 是关于序号n的二次函数，其图像是抛物线 上一系列孤立的点，d决定了该抛物线的开口方向.
（二）深层探究
自主探究
（2）∵ ………… ①
………… ②
∴ 当 时，由①②得 ………… ④
又 当 时，. ………… ③
∴ 当 时，③式也适合④式，则 ；
当 时，③式不适合④式，则 .
由等差数列与一次函数的关系，当 时， 是等差数列； 当 时， 不是等差数列 .
（二）深层探究
自主探究
（二）深层探究
2. 根据二次函数的图像和性质，讨论Sn何时有最大值？何时有
最小值？
答：根据等差数列前n项和与二次函数的关系和二次函数的性质，（1）当d > 0时，Sn有最小值；（2）当d < 0时，Sn有最大值.
特别地，当 时，数列的前若干项为正数，把这些项相加即得{Sn}的最大值．当 时，数列的前若干项为负数，把这些项相加即得 的最小值；
典例突破
例1. 已知数列{an}的前n项和为，求数列{an}的通项公
式．
【解析】由题意 ………… ①
………… ②
∴ 当 时，由①②得 ………… ③
又 当 时，. 也满足③式.
∴ 数列{an}的通项公式为
（一）通过求
变式1-1. 已知数列{an}的前n项和为，求数列{an}
的通项公式．
【解析】由题意 ………… ①
……… ②
∴ 当 时，由①②得 ………… ③
又 当 时，. 显然不满足③式.
∴ 数列{an}的通项公式为 .
（一）通过求
典例突破
变式1-2. 已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，
求an.
【解析】令bn＝nan，则{bn}的前n项和
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n(n＋1)(n＋2)，
当 时，b1＝S1＝6；
当 时，bn＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)·n·(n＋1)
＝3n(n＋1)．
显然，b1＝6也适合
∴ bn＝3n(n＋1) ∴ an＝3(n＋1)
（一）通过求
典例突破
【解题反思】如何由数列的前n项和 =f (n) 求数列的通项an？
答：解题时要分类讨论：
（1）当 时，an＝Sn－Sn－1；
（2）当 时，a1＝S1.
最后再验证a1是否符合an，若符合，则统一用一个解析
式表示，否则就要写成分段式.
但要注意以的展开式表示的前n项和，比如变式2 .
（一）通过求
典例突破
典例突破
例2．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，
求前110项之和．
【解析】（方法一）
设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则
由已知得，解得
∴
（二）等差数列前 n 项和的综合应用
新知探究
（方法二）
设 Sn＝an2＋bn.
∵ S10＝100，S100＝10，
∴ ，解得
∴
∴
（二）等差数列前n项和的综合应用
新知探究
【解题反思】如何求涉及等差数列前n项和的综合问题？
答：涉及等差数列前n项和的综合问题，可以用基本量求解，也可以用待定系数法求解.
变式2. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，
求S28.
【答案】1092
（二）等差数列前n项和的综合应用
新知探究
例3. 等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之
和最大，并求此最大值．
（三）等差数列前n项和的最值
【解析】（方法1）
由a1＝25，S17＝S9得17a1＋d＝9a1＋d，解得d＝－2.
∴ Sn＝25n＋＝－(n－13)2＋169.
由二次函数的图像和性质，该数列前13项之和最大，最大值
是169.
新知探究
（三）等差数列前n项和的最值
（方法2）
由a1＝25，S17＝S9得17a1＋d＝9a1＋d，解得d＝－2.
由S17＝S9 得a10＋a11＋…＋a17＝0
∴ a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0.
又 a1＝25>0
∴ a13>0，a14<0.
∴ S13最大，最大值为169.
新知探究
（三）等差数列前n项和的最值
（方法3）
由a1＝25，S17＝S9得17a1＋d＝9a1＋d，解得d＝－2.
∵ a1＝25>0
由，得
又
∴ 当n＝13时，Sn有最大值169.
新知探究
（三）等差数列前n项和的最值
【解题反思】怎么求等差数列前n项和Sn的最值？
答：(1)用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通过配方或求二次函数最值的方法求得．
(2) 在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数图象求
解，还常用邻项变号法来求解，即
① 当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；
② 当a1<0，d>0时，满足的项数n，使Sn取最小值．
新知探究
（三）等差数列前n项和的最值
变式3. 已知等差数列{an}，a2＝3，a4＝－5，求等差数列{an}的
前n项和Sn的最大值．
【解析】
∵ 在等差数列{an}中，，a1＝a2－d＝7，
∴ ＝－2n2＋9n＝－2(n－)2＋.
又 ∴ 当n＝2时，Sn的最大值是10.