人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列的前n项和公式》教学设计1
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列的前n项和公式》教学设计1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 561.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 17:59:46 | ||
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文档简介
《等差数列的前n项和公式》教学设计
一、创设情境,提出问题
师:高斯是近代伟大的数学家之一.据说,二百多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:
当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
师:通过前面的学习,不难看到,这是一个计算等差数列前100项和的问题,那么对于一般的等差数列如何求其前项和呢 这就是本节课我们要学习的内容.
设计意图:用多媒体课件展示小故事,使学生进入问题情境,激发学生的兴趣,鼓励学生要善于观察,敢于思考.培养学生从一些简单的事物中发现和总结出某些规律的能力.
二、主动探究,学习新课
1.等差数列的前项和公式的推导方法一
师:请同学们想一想,高斯在求和过程中利用了等差数列的什么性质
生:设,高斯在计算过程中利用了等差数列的性质:.
师:利用等差数列的性质:若,则,将不同数(即)的求和问题转化为了相同数(即101)的求和问题,简化了运算.
师:利用此方法,如何计算呢
生:.
师:你能从中得到求等差数列的前项和的方法吗
师生活动:让学生分组讨论,在求前个正整数的和时,要对分奇数、偶数进行讨论.
师:当是偶数时,有,
于是有
.
当是奇数时,有
.
所以,对任意正整数,都有
设计意图:帮助学生理解分类讨论思想,开拓学生的解题思路,为接下来学习运用“倒序相加法”求等差数列的前项和作铺垫.
2.等差数列的前项和公式的推导方法二
师:在求等差数列的前项和时,要对分奇数、偶数进行讨论,过程比较麻烦,能否设法避免分类讨论
师生活动:让学生分组讨论,探究新的推导方法.
师:如果对公式作变形,可得,它相当于两个相加,而结果变成个相加.受此启发,我们得到下面的方法:
,
将上述两式相加,可得
,
所以.
设计意图:引导学生运用“倒序相加法”探究等差数列的前项和公式,发展学生的逻辑推理与数学运算核心素养.
3.等差数列的前项和公式(1)的推导
师:可以发现,上述方法的妙处在于将“倒序”为,再将两式相加,得到个相同的数(即相加,从而把不同数的求和转化为个相同的数求和.这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗
师生活动:让学生分组讨论,探究新的方法,然后选代表进行板演.
生:对于等差数列,因为,由上述方法得到启示,我们用两种方式表示:
得
.
由此得到等差数列的前项和公式.①
师:对于等差数列,利用公式(1),只要已知等差数列的首项和末项,就可以求得前项和.
设计意图:让学生经历由特殊到一般的思维过程,利用前面由特殊实例总结出的规律推导等差数列的前项和公式.
4.等差数列的前项和公式(2)的推导
师:对于等差数列,如果已知首项和公差,那么这个等差数列就完全确定了,所以我们也可以用和来表示,你能推导出此公式吗
师生活动:让学生分组讨论,利用等差数列的通项公式和上面推出的等差数列的前项和公式(1)探究等差数列的前项和公式(2).
生:把等差数列的通项公式代入公式(1),可得.(2)
师:不从公式(1)出发,你能用其他方法得到公式(2)吗
师生活动:指导学生分组讨论,探究新的方法.
师:给出参考方法:,
因为对任意正整数,都有,
所以,
所以.
师:我们接下来研究一下等差数列的前项和公式与函数的关系,请同学们将求和公式写成关于的函数形式.
生:将等差数列的前项和公式变形、整理得到
师:我们能否说式是关于的二次函数呢
师生活动:让学生分组讨论发表意见后,教师进行解释.
师:(*)式不一定是关于的二次函数.当等差数列的公差且首项时,式是关于的一次函数;只有当公差时,式才是关于的二次函数.
设计意图:让学生经历等差数列前项和公式的推导过程,并从函数的角度认识公式,从而加深对公式的理解.
三、典例讲解,巩固新知
例1 已知数列是等差数列.
(1)若,求;
(2)若,求;
(3)若,求.
师生活动:三名学生板演,教师巡视,纠正错误.
分析:对于(1),可以直接利用公式求和;在(2)中,可以先利用和的值求出,再利用公式求和;(3)已知公式中的和,解方程即可求得.
解:(1)因为,根据公式,可得.
(2)因为,所以.根据公式,可得.
(3)把代入,得.
整理,得.解得,或(舍去).所以.
例2 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗
师生活动:教师引领学生分析后,选学生板演,教师巡视,纠正错误.
分析:把已知条件代入等差数列前项和的公式(2)后,可得到两个关于与的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组,就可以求得和.
解:由题意,知,把它们代入公式,得解方程组,得所以,由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
例3 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位
师生活动:引领学生分析后,教师板书讲解.
分析:将第1排到第20排的座位数依次排成一列,构成数列.设数列的前项和为.由题意可知,是等差数列,且公差及前20项的和已知,所以可利用等差数列的前项和公式求首项.
解:设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次排成一列,构成数列,其前项和为.根据题意,数列是一个公差为2的等差数列,且.由,可得.
因此,第1排应安排21个座位.
例4 已知等差数列的前项和为,若10,公差,则是否存在最大值 若存在,求的最大值及取得最大值时的值;若不存在,请说明理由.
师生活动:引领学生分析后,教师板书讲解.
分析:由和,可以证明是递减数列,且存在正整数,使得当时,递减.这样,就把求的最大值转化为求的所有正数项的和.另一方面,等差数列的前项和公式可写成,所以当时,可以看成二次函数当时的函数值.如图,当时,关于的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此,可以利用二次函数求相应的的值.
解法1:由,得,
所以是递减数列.
又由,可知:
当时,;
当时,;
当时,.
所以.
也就是说,当或6时,最大.
因为,
所以的最大值为30.
解法2:因为,
所以,当取与最接近的整数即5或6时,最大,最大值为30.
师生活动:对于解法2,让学生想一想“当取与最接近的整数即5或6时,最大”的原因.
提示:可依据关于的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点,将问题转化为寻找图象中最高点的横坐标的问题.由于此抛物线开口向下,对称轴是直线,所以最高点的横坐标是与最接近的整数即5或6,此时最大.
设计意图:通过几道例题,巩固对等差数列前项和公式的理解及运用,培养学生应用所学知识解决问题的能力.
四、总结思考,提高能力
师:同学们,本节课我们学习了哪些数学内容
生:等差数列的前项和公式,
等差数列的前项和公式(2):.
师:通过等差数列的前项和公式的推导,你们从中体会到了哪些数学思想方法
生:(1)通过等差数列的前项和公式的推导,我们了解了求数列前项和的一种重要方法——倒序相加法”.
(2)“知三求二”的方程思想,即已知等差数列的,这五个量中的三个变量,可利用构造方程或方程组的方法来求另外两个变量.
师:本节课我们通过探究还从函数的角度得到了等差数列前项和的什么相关内容
生:如果一个数列的前项和公式中的常数项为0,且是关于的二次型函数,那么这个数列一定是等差数列,从而使我们能从数列的前项和公式的结构特征上来判断其是否是等差数列.
五、布置作业
1.教材第页练习第1,3题.
2.教材第24页练习第1,3题.
板书设计:
等差数列的前项和公式 一、创设情境,提出问题 二、主动探究,学习新课 1.等差数列的前项和公式的推导方法一 2.等差数列的前项和公式的推导方法二 3.等差数列的前项和公式(1)的推导 4.等差数列的前项和公式(2)的推导 三、典例讲解,巩固新知 例1 例2 例3 例4 四、总结思考,提高能力 五、布置作业
教学研讨:
本节内容的教学以故事导入,增强了学生的好奇心,激发了学生的学习欲望和热情.同时以问题为导向,组织学生探究等差数列的前项和公式,让学生经历由特殊(正整数的前100项和)到一般(正整数的前项和),再到等差数列的前项和的推导过程,从中深刻领会逻辑推理方法和数学思维方法.
通过精选例题,分层次练习,使学生既巩固了知识,又提高了技能.在此基础上,通过活跃的课堂氛围,培养了学生自主与合作的学习习惯,也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质,增强了学生学好数学的信心.
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一、创设情境,提出问题
师:高斯是近代伟大的数学家之一.据说,二百多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:
当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
师:通过前面的学习,不难看到,这是一个计算等差数列前100项和的问题,那么对于一般的等差数列如何求其前项和呢 这就是本节课我们要学习的内容.
设计意图:用多媒体课件展示小故事,使学生进入问题情境,激发学生的兴趣,鼓励学生要善于观察,敢于思考.培养学生从一些简单的事物中发现和总结出某些规律的能力.
二、主动探究,学习新课
1.等差数列的前项和公式的推导方法一
师:请同学们想一想,高斯在求和过程中利用了等差数列的什么性质
生:设,高斯在计算过程中利用了等差数列的性质:.
师:利用等差数列的性质:若,则,将不同数(即)的求和问题转化为了相同数(即101)的求和问题,简化了运算.
师:利用此方法,如何计算呢
生:.
师:你能从中得到求等差数列的前项和的方法吗
师生活动:让学生分组讨论,在求前个正整数的和时,要对分奇数、偶数进行讨论.
师:当是偶数时,有,
于是有
.
当是奇数时,有
.
所以,对任意正整数,都有
设计意图:帮助学生理解分类讨论思想,开拓学生的解题思路,为接下来学习运用“倒序相加法”求等差数列的前项和作铺垫.
2.等差数列的前项和公式的推导方法二
师:在求等差数列的前项和时,要对分奇数、偶数进行讨论,过程比较麻烦,能否设法避免分类讨论
师生活动:让学生分组讨论,探究新的推导方法.
师:如果对公式作变形,可得,它相当于两个相加,而结果变成个相加.受此启发,我们得到下面的方法:
,
将上述两式相加,可得
,
所以.
设计意图:引导学生运用“倒序相加法”探究等差数列的前项和公式,发展学生的逻辑推理与数学运算核心素养.
3.等差数列的前项和公式(1)的推导
师:可以发现,上述方法的妙处在于将“倒序”为,再将两式相加,得到个相同的数(即相加,从而把不同数的求和转化为个相同的数求和.这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗
师生活动:让学生分组讨论,探究新的方法,然后选代表进行板演.
生:对于等差数列,因为,由上述方法得到启示,我们用两种方式表示:
得
.
由此得到等差数列的前项和公式.①
师:对于等差数列,利用公式(1),只要已知等差数列的首项和末项,就可以求得前项和.
设计意图:让学生经历由特殊到一般的思维过程,利用前面由特殊实例总结出的规律推导等差数列的前项和公式.
4.等差数列的前项和公式(2)的推导
师:对于等差数列,如果已知首项和公差,那么这个等差数列就完全确定了,所以我们也可以用和来表示,你能推导出此公式吗
师生活动:让学生分组讨论,利用等差数列的通项公式和上面推出的等差数列的前项和公式(1)探究等差数列的前项和公式(2).
生:把等差数列的通项公式代入公式(1),可得.(2)
师:不从公式(1)出发,你能用其他方法得到公式(2)吗
师生活动:指导学生分组讨论,探究新的方法.
师:给出参考方法:,
因为对任意正整数,都有,
所以,
所以.
师:我们接下来研究一下等差数列的前项和公式与函数的关系,请同学们将求和公式写成关于的函数形式.
生:将等差数列的前项和公式变形、整理得到
师:我们能否说式是关于的二次函数呢
师生活动:让学生分组讨论发表意见后,教师进行解释.
师:(*)式不一定是关于的二次函数.当等差数列的公差且首项时,式是关于的一次函数;只有当公差时,式才是关于的二次函数.
设计意图:让学生经历等差数列前项和公式的推导过程,并从函数的角度认识公式,从而加深对公式的理解.
三、典例讲解,巩固新知
例1 已知数列是等差数列.
(1)若,求;
(2)若,求;
(3)若,求.
师生活动:三名学生板演,教师巡视,纠正错误.
分析:对于(1),可以直接利用公式求和;在(2)中,可以先利用和的值求出,再利用公式求和;(3)已知公式中的和,解方程即可求得.
解:(1)因为,根据公式,可得.
(2)因为,所以.根据公式,可得.
(3)把代入,得.
整理,得.解得,或(舍去).所以.
例2 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗
师生活动:教师引领学生分析后,选学生板演,教师巡视,纠正错误.
分析:把已知条件代入等差数列前项和的公式(2)后,可得到两个关于与的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组,就可以求得和.
解:由题意,知,把它们代入公式,得解方程组,得所以,由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
例3 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位
师生活动:引领学生分析后,教师板书讲解.
分析:将第1排到第20排的座位数依次排成一列,构成数列.设数列的前项和为.由题意可知,是等差数列,且公差及前20项的和已知,所以可利用等差数列的前项和公式求首项.
解:设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次排成一列,构成数列,其前项和为.根据题意,数列是一个公差为2的等差数列,且.由,可得.
因此,第1排应安排21个座位.
例4 已知等差数列的前项和为,若10,公差,则是否存在最大值 若存在,求的最大值及取得最大值时的值;若不存在,请说明理由.
师生活动:引领学生分析后,教师板书讲解.
分析:由和,可以证明是递减数列,且存在正整数,使得当时,递减.这样,就把求的最大值转化为求的所有正数项的和.另一方面,等差数列的前项和公式可写成,所以当时,可以看成二次函数当时的函数值.如图,当时,关于的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此,可以利用二次函数求相应的的值.
解法1:由,得,
所以是递减数列.
又由,可知:
当时,;
当时,;
当时,.
所以.
也就是说,当或6时,最大.
因为,
所以的最大值为30.
解法2:因为,
所以,当取与最接近的整数即5或6时,最大,最大值为30.
师生活动:对于解法2,让学生想一想“当取与最接近的整数即5或6时,最大”的原因.
提示:可依据关于的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点,将问题转化为寻找图象中最高点的横坐标的问题.由于此抛物线开口向下,对称轴是直线,所以最高点的横坐标是与最接近的整数即5或6,此时最大.
设计意图:通过几道例题,巩固对等差数列前项和公式的理解及运用,培养学生应用所学知识解决问题的能力.
四、总结思考,提高能力
师:同学们,本节课我们学习了哪些数学内容
生:等差数列的前项和公式,
等差数列的前项和公式(2):.
师:通过等差数列的前项和公式的推导,你们从中体会到了哪些数学思想方法
生:(1)通过等差数列的前项和公式的推导,我们了解了求数列前项和的一种重要方法——倒序相加法”.
(2)“知三求二”的方程思想,即已知等差数列的,这五个量中的三个变量,可利用构造方程或方程组的方法来求另外两个变量.
师:本节课我们通过探究还从函数的角度得到了等差数列前项和的什么相关内容
生:如果一个数列的前项和公式中的常数项为0,且是关于的二次型函数,那么这个数列一定是等差数列,从而使我们能从数列的前项和公式的结构特征上来判断其是否是等差数列.
五、布置作业
1.教材第页练习第1,3题.
2.教材第24页练习第1,3题.
板书设计:
等差数列的前项和公式 一、创设情境,提出问题 二、主动探究,学习新课 1.等差数列的前项和公式的推导方法一 2.等差数列的前项和公式的推导方法二 3.等差数列的前项和公式(1)的推导 4.等差数列的前项和公式(2)的推导 三、典例讲解,巩固新知 例1 例2 例3 例4 四、总结思考,提高能力 五、布置作业
教学研讨:
本节内容的教学以故事导入,增强了学生的好奇心,激发了学生的学习欲望和热情.同时以问题为导向,组织学生探究等差数列的前项和公式,让学生经历由特殊(正整数的前100项和)到一般(正整数的前项和),再到等差数列的前项和的推导过程,从中深刻领会逻辑推理方法和数学思维方法.
通过精选例题,分层次练习,使学生既巩固了知识,又提高了技能.在此基础上,通过活跃的课堂氛围,培养了学生自主与合作的学习习惯,也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质,增强了学生学好数学的信心.
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