人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列的前n项和公式》教学设计2
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列的前n项和公式》教学设计2 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 17:59:52 | ||
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文档简介
《等差数列的前n项和公式》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
情境引入 创设情境:泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙贾汗为纪念其爱妃所建,它宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界新七大奇迹之一.陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝. 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的宝石镶饰而成,共有100层,奢靡之程度,可见一斑. 提出问题:你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗 师:利用多媒体向学生展示泰姬陵的图片,并截取出三角形宝石图案,引导学生观察宝石数目变化情况,板书课题“等差数列的前n项和公式”. 生:(1)观察图片,体会数学来源于生活. (2)思考宝石数量的计算方法:1+2+3+…+100. 以问题的提出作为引入新课的方式,使学生带着问题学习新课,更有目的性.
探索公式 1.高斯的算法 高斯是近代数学的奠基者之一.据说,二百多年前,高斯就给出了1+2+3+…+100的计算方法. 2.泰姬陵所镶饰的宝石的数量提出问题: (1)泰姬陵的三角形图案,从第1层到21层一共有多少颗宝石呢 (2)假如再给你同样多的珠宝,在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢 3.用“高斯的算法”推导等差数列的前项和公式 设等差数列的前项和为,则. (1)当为偶数时,有 (2)当为奇数时,有 4.用“倒序相加法”推导等差数列的前项和公式(1) 两式相加,得. 即.(1) 5.等差数列的前项和公式(2) 将代入公式(1)可得 }$ 师:利用多媒体向学生展示“高斯的算法”. 提出问题:高斯是如何快速计算的 生:因为,,所以. 生:求从第1层到21层一共有多少颗宝石,即计算的值. 生:把“全等三角形”倒置,与原图构成“平行四边形”.“平行四边形”中的每行宝石的个数均为22,共21行.如下图所示. 由①②,得, 所以. 师:如何利用“高斯的算法”求等差数列的前项和公式 生:将首末两项配对,第2项与倒数第2项配对,以此类推,每一对的和都相等,并且都等于. 师:是否刚好配对成功呢 生:不一定,需要对分奇数、偶数进行讨论.当为偶数时刚好配对成功,可推出 当为奇数时,中间的一项落单了. 教师适当引导学生推出 教师总结:通过对的分类讨论,得到了等差数列的前项和公式:.(1) 师:利用“高斯的算法”,对分奇数、偶数进行讨论,比较麻烦,那么,利用“泰姬陵宝石的三角形”图案法推导等差数列的前项和公式呢 生:学生分组讨论,展示讨论结果. (1)类比“泰姬陵的三角形图案,从第1层到21层一共有多少颗宝石呢 ”的解答方法,解决当为奇数时,中间项落单的问题,从而避免分类讨论. (2)一名学生在黑板上展示推导过程. 师:对于等差数列,利用公式(1),只要已知等差数列的首项和末项,就可以求得该数列的前项和.另外,通过前面的学习得出,如果已知首项和公差,那么这个等差数列就完全确定了,所以我们也可以用和来表示.你能推出这个公式吗 生:把等差数列的通项公式代入公式(1),整理得到公式(2). 求等差数列项数为奇数的前n项和的问题时,若简单地模仿“高斯的算法”,将出现不能全部配对的问题,借此理解化归思想,为引出“倒序相加法”求前n项和作铺垫. 在解决中间项的过程中,进一步培养学生的逻辑推理能力. 让学生体会“倒序相加法”的妙处. 在等差数列的前n项和公式的推导过程中,通过解决问题获得知识,让学生经历“发现问题—分析问题—解决问题”的思考过程.
理解公式 1.将公式(1)变形可得 所以就是等差数列前项的平均数. 实际上,我们就是利用等差数列的这一重要特性来推导它的前项和的. 2.等差数列的前项和公式的一个几何解释 补成平行四边形 分割成一个平行四边形和一个三角形 师:等差数列的前项和公式(1)、公式(2)各有什么特点 今后运用时如何恰当的选择 生:等差数列的前项和的两个公式都需要知道和,而公式(1)还需要知道,而公式(2)还需要知道. 师:将求和公式与梯形面积公式建立联系,而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想.你能用类似的方法解释公式(2)吗 生:用“割”的思想将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形,而梯形面积就是这两部分面积之和. 引导学生分析公式的结构特征注意结合问题情境选择公式,为公式的应用作准备. 利用数形结合的思想,使学生对两个公式有了直观的认识,感受数学的图形语言之美.
应用举例 例1 已知数列是等差数列. (1)若,求; (2)若,求; (3)若,求. 解:(1)因为, 根据公式,可得. (2)因为,所以. 根据公式,可得. (3)若代入,得. 整理,得.解得,或(舍去).所以. 例2 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗 解:由题意,知. 把它们代入公式, 得解方程组,得 所以,由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 例3 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位 解:设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次排成一列,构成数列,其前项和为.根据题意,数列是一个公差为2的等差数列,且.由,可得. 因此,第1排应安排21个座位. 例4 已知等差数列的前3项为5,,其前项和为,求: (1)等差数列的通项公式. (2)等差数列的前几项和为 (3)的最大值为多少 求出此时相应的的值. 解:(1)因为,公差, 所以. (2)设等差数列的前项和为,则,整理得,解得或,即等差数列的前5项或前10项和为. (3)方法一:由题意知,等差数列5,的公差为,所以.于是,当取与最接近的整数即7或8时,最大,最大值为20. 方法二:.令,解得,且.故前项和是从第9项开始减小,又,所以前7项或前8项和最大..即的最大值为20,且取最大值时为7或8. 教师引导学生分析例1各小题中所含的已知量以及所求量,让学生根据题意选择恰当的等差数列的前项和公式进行解答,请三名学生板演,评价讲解. 学生讨论分析:对于(1),可以直接利用公式求和;在(2)中,可以先利用和的值求出,再利用公式求和;(3)已知公式中的和,解方程即可求得. 教师引导学生分析解题思路后,指名学生板演,评价讲解. 学生讨论分析:把已知条件代入等差数列前项和的公式(2)后,可得到两个关于与的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组,就可以求得和. 教师先让学生阅读例3,分析解题思路后,指名学生板演,评价讲解. 学生讨论分析:将第1排到第20排的座位数依次排成一列,构成数列.设数列的前项和为.由题意可知,是等差数列,且公差及前20项的和已知,所以可利用等差数列的前项和公式求首项. 教师引导学生分析例4的前两个问题,选择恰当的公式自主解答. 学生讨论分析例4所含的已知量,选取公式(2)进行运算. 师:等差数列的前项和公式可以写成,所以当时,可以看成二次函数当时的函数值.另一方面,容易知道当时,关于的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此,可以利用二次函数求相应的的值.(板书解答过程) 师:我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢 这道题的等差数列是递增数列还是递减数列 生:因为公差,所以是递减数列. 师:取值的正负情况是怎样的 由此你能想到第(3)问的解法吗 生:令,得到,这样就可以知道,而.从而可以发现,从第9项开始数列的前项和开始减小,由于对数列的前项和不产生影响,所以就可以说这个等差数列的前7项或前8项的和最大.求或即可得的最大值.(一名学生板书解题过程) 通过例1的解答,让学生感受两个等差数列前n项和公式分别适用于什么情境. 通过例2的解答,培养学生的逻辑推理与数学运算核心素养. 通过利用等差数列的前n项和公式解决实际问题,培养学生的知识应用能力. 通过例4(1)的解答,让学生巩固等差数列通项公式的求法. 通过例4(2)的解答,训练学生运用方程(组)解题的思维方式. 通过例4(3)的解答,让学生体会用函数思想解决数列问题的方法.
课堂总结 1.等差数列的前n项和公式的推导过程. 2.运用“倒序相加法”求等差数列的前n项和的思想. 3.掌握等差数列的两个前项和公式: 4.等差数列的前项和公式的灵活运用及方程思想. 5.等差数列的前项和的最值问题. 师:(1)对于等差数列的相关量,,已知三个量就可以确定其他量. (2)求等差数列的前项和的最值问题主要有两种方法. 方法一:利用取值的正负情况来研究数列的前项和的变化情况； 方法二:由,利用二次函数求得的最值. 回顾本节课所学的内容,培养学生反思总结的学习习惯.
布置作业 1.教材第22~23页练习第1~4题. 2.教材第24页练习第1,3题. 学生课后独立完成,教师批阅. 巩固本节课学习的知识.
板书设计:
4.2.2等差数列的前项和公式 一、情境引入 二、探索公式 1.高斯的算法 2.泰姬陵所镶饰的宝石的数量 3.用“高斯的算法”推导等差数列的前项和公式 4.用“倒序相加法”推导等差数列的前项和公式(1) 5.等差数列的前项和公式(2) 三、理解公式 1.将公式(1)变形可得 2.等差数列的前项和公式的几何解释 四、应用举例 例1 例2 例3 例4 五、课堂总结 六、布置作业
教学研讨:
1.本案例重点突出了学生活动的部分,共设计了四个环节:(1)公式的探究活动；(2)公式的认识；(3)公式的应用；(4)总结提升.
2.“公式的探究活动”是本节的重点内容,本案例主要介绍了两种引入新课的方法.一是通过介绍高斯的算法,探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项求和问题.该方法反映了等差数列的本质,可以进一步促进学生对等差数列性质的理解,而且该推导过程体现了解决数列问题的一般思路.二是借助泰姬陵所镶饰的宝石,利用“全等三角形”倒置与原图所构成的“平行四边形”,引导学生使用“倒序相加法”,进而推导等差数列的前n项和公式.
3.本案例充分利用了多媒体技术的强大功能,把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,使学生乐意进入到现实性、探索性的教学活动中.
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教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
情境引入 创设情境:泰姬陵坐落于印度古都阿格拉,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙贾汗为纪念其爱妃所建,它宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界新七大奇迹之一.陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝. 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的宝石镶饰而成,共有100层,奢靡之程度,可见一斑. 提出问题:你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗 师:利用多媒体向学生展示泰姬陵的图片,并截取出三角形宝石图案,引导学生观察宝石数目变化情况,板书课题“等差数列的前n项和公式”. 生:(1)观察图片,体会数学来源于生活. (2)思考宝石数量的计算方法:1+2+3+…+100. 以问题的提出作为引入新课的方式,使学生带着问题学习新课,更有目的性.
探索公式 1.高斯的算法 高斯是近代数学的奠基者之一.据说,二百多年前,高斯就给出了1+2+3+…+100的计算方法. 2.泰姬陵所镶饰的宝石的数量提出问题: (1)泰姬陵的三角形图案,从第1层到21层一共有多少颗宝石呢 (2)假如再给你同样多的珠宝,在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢 3.用“高斯的算法”推导等差数列的前项和公式 设等差数列的前项和为,则. (1)当为偶数时,有 (2)当为奇数时,有 4.用“倒序相加法”推导等差数列的前项和公式(1) 两式相加,得. 即.(1) 5.等差数列的前项和公式(2) 将代入公式(1)可得 }$ 师:利用多媒体向学生展示“高斯的算法”. 提出问题:高斯是如何快速计算的 生:因为,,所以. 生:求从第1层到21层一共有多少颗宝石,即计算的值. 生:把“全等三角形”倒置,与原图构成“平行四边形”.“平行四边形”中的每行宝石的个数均为22,共21行.如下图所示. 由①②,得, 所以. 师:如何利用“高斯的算法”求等差数列的前项和公式 生:将首末两项配对,第2项与倒数第2项配对,以此类推,每一对的和都相等,并且都等于. 师:是否刚好配对成功呢 生:不一定,需要对分奇数、偶数进行讨论.当为偶数时刚好配对成功,可推出 当为奇数时,中间的一项落单了. 教师适当引导学生推出 教师总结:通过对的分类讨论,得到了等差数列的前项和公式:.(1) 师:利用“高斯的算法”,对分奇数、偶数进行讨论,比较麻烦,那么,利用“泰姬陵宝石的三角形”图案法推导等差数列的前项和公式呢 生:学生分组讨论,展示讨论结果. (1)类比“泰姬陵的三角形图案,从第1层到21层一共有多少颗宝石呢 ”的解答方法,解决当为奇数时,中间项落单的问题,从而避免分类讨论. (2)一名学生在黑板上展示推导过程. 师:对于等差数列,利用公式(1),只要已知等差数列的首项和末项,就可以求得该数列的前项和.另外,通过前面的学习得出,如果已知首项和公差,那么这个等差数列就完全确定了,所以我们也可以用和来表示.你能推出这个公式吗 生:把等差数列的通项公式代入公式(1),整理得到公式(2). 求等差数列项数为奇数的前n项和的问题时,若简单地模仿“高斯的算法”,将出现不能全部配对的问题,借此理解化归思想,为引出“倒序相加法”求前n项和作铺垫. 在解决中间项的过程中,进一步培养学生的逻辑推理能力. 让学生体会“倒序相加法”的妙处. 在等差数列的前n项和公式的推导过程中,通过解决问题获得知识,让学生经历“发现问题—分析问题—解决问题”的思考过程.
理解公式 1.将公式(1)变形可得 所以就是等差数列前项的平均数. 实际上,我们就是利用等差数列的这一重要特性来推导它的前项和的. 2.等差数列的前项和公式的一个几何解释 补成平行四边形 分割成一个平行四边形和一个三角形 师:等差数列的前项和公式(1)、公式(2)各有什么特点 今后运用时如何恰当的选择 生:等差数列的前项和的两个公式都需要知道和,而公式(1)还需要知道,而公式(2)还需要知道. 师:将求和公式与梯形面积公式建立联系,而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想.你能用类似的方法解释公式(2)吗 生:用“割”的思想将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形,而梯形面积就是这两部分面积之和. 引导学生分析公式的结构特征注意结合问题情境选择公式,为公式的应用作准备. 利用数形结合的思想,使学生对两个公式有了直观的认识,感受数学的图形语言之美.
应用举例 例1 已知数列是等差数列. (1)若,求; (2)若,求; (3)若,求. 解:(1)因为, 根据公式,可得. (2)因为,所以. 根据公式,可得. (3)若代入,得. 整理,得.解得,或(舍去).所以. 例2 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗 解:由题意,知. 把它们代入公式, 得解方程组,得 所以,由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 例3 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位 解:设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次排成一列,构成数列,其前项和为.根据题意,数列是一个公差为2的等差数列,且.由,可得. 因此,第1排应安排21个座位. 例4 已知等差数列的前3项为5,,其前项和为,求: (1)等差数列的通项公式. (2)等差数列的前几项和为 (3)的最大值为多少 求出此时相应的的值. 解:(1)因为,公差, 所以. (2)设等差数列的前项和为,则,整理得,解得或,即等差数列的前5项或前10项和为. (3)方法一:由题意知,等差数列5,的公差为,所以.于是,当取与最接近的整数即7或8时,最大,最大值为20. 方法二:.令,解得,且.故前项和是从第9项开始减小,又,所以前7项或前8项和最大..即的最大值为20,且取最大值时为7或8. 教师引导学生分析例1各小题中所含的已知量以及所求量,让学生根据题意选择恰当的等差数列的前项和公式进行解答,请三名学生板演,评价讲解. 学生讨论分析:对于(1),可以直接利用公式求和;在(2)中,可以先利用和的值求出,再利用公式求和;(3)已知公式中的和,解方程即可求得. 教师引导学生分析解题思路后,指名学生板演,评价讲解. 学生讨论分析:把已知条件代入等差数列前项和的公式(2)后,可得到两个关于与的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组,就可以求得和. 教师先让学生阅读例3,分析解题思路后,指名学生板演,评价讲解. 学生讨论分析:将第1排到第20排的座位数依次排成一列,构成数列.设数列的前项和为.由题意可知,是等差数列,且公差及前20项的和已知,所以可利用等差数列的前项和公式求首项. 教师引导学生分析例4的前两个问题,选择恰当的公式自主解答. 学生讨论分析例4所含的已知量,选取公式(2)进行运算. 师:等差数列的前项和公式可以写成,所以当时,可以看成二次函数当时的函数值.另一方面,容易知道当时,关于的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此,可以利用二次函数求相应的的值.(板书解答过程) 师:我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢 这道题的等差数列是递增数列还是递减数列 生:因为公差,所以是递减数列. 师:取值的正负情况是怎样的 由此你能想到第(3)问的解法吗 生:令,得到,这样就可以知道,而.从而可以发现,从第9项开始数列的前项和开始减小,由于对数列的前项和不产生影响,所以就可以说这个等差数列的前7项或前8项的和最大.求或即可得的最大值.(一名学生板书解题过程) 通过例1的解答,让学生感受两个等差数列前n项和公式分别适用于什么情境. 通过例2的解答,培养学生的逻辑推理与数学运算核心素养. 通过利用等差数列的前n项和公式解决实际问题,培养学生的知识应用能力. 通过例4(1)的解答,让学生巩固等差数列通项公式的求法. 通过例4(2)的解答,训练学生运用方程(组)解题的思维方式. 通过例4(3)的解答,让学生体会用函数思想解决数列问题的方法.
课堂总结 1.等差数列的前n项和公式的推导过程. 2.运用“倒序相加法”求等差数列的前n项和的思想. 3.掌握等差数列的两个前项和公式: 4.等差数列的前项和公式的灵活运用及方程思想. 5.等差数列的前项和的最值问题. 师:(1)对于等差数列的相关量,,已知三个量就可以确定其他量. (2)求等差数列的前项和的最值问题主要有两种方法. 方法一:利用取值的正负情况来研究数列的前项和的变化情况； 方法二:由,利用二次函数求得的最值. 回顾本节课所学的内容,培养学生反思总结的学习习惯.
布置作业 1.教材第22~23页练习第1~4题. 2.教材第24页练习第1,3题. 学生课后独立完成,教师批阅. 巩固本节课学习的知识.
板书设计:
4.2.2等差数列的前项和公式 一、情境引入 二、探索公式 1.高斯的算法 2.泰姬陵所镶饰的宝石的数量 3.用“高斯的算法”推导等差数列的前项和公式 4.用“倒序相加法”推导等差数列的前项和公式(1) 5.等差数列的前项和公式(2) 三、理解公式 1.将公式(1)变形可得 2.等差数列的前项和公式的几何解释 四、应用举例 例1 例2 例3 例4 五、课堂总结 六、布置作业
教学研讨:
1.本案例重点突出了学生活动的部分,共设计了四个环节:(1)公式的探究活动；(2)公式的认识；(3)公式的应用；(4)总结提升.
2.“公式的探究活动”是本节的重点内容,本案例主要介绍了两种引入新课的方法.一是通过介绍高斯的算法,探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项求和问题.该方法反映了等差数列的本质,可以进一步促进学生对等差数列性质的理解,而且该推导过程体现了解决数列问题的一般思路.二是借助泰姬陵所镶饰的宝石,利用“全等三角形”倒置与原图所构成的“平行四边形”,引导学生使用“倒序相加法”,进而推导等差数列的前n项和公式.
3.本案例充分利用了多媒体技术的强大功能,把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,使学生乐意进入到现实性、探索性的教学活动中.
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