人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等差数列的前n项和公式---第2课时》教学设计

《等差数列的前项和公式---第2课时》教学设计
一、单元内容及其解析
1.内容
等差数列前项和公式的推导与应用.
本单元的知识结构：
本单元建议用2课时：第1课时，等差数列前项和公式的推导；第2课时，等差数列前项和公式的应用.
2.内容解析
本单元内容具有承上启下的作用.等差数列的前项和公式不仅是等差数列的定义、通项公式和有关性质的延续，而且为后面类比地学习等比数列前项和公式提供学习内容、思维方法的基础，更是今后研究级数的预备知识.
等差数列的前项和公式是等差数列的又一重要性质，是进一步认识等差数列的函数特性的又一重要角度，是感受等差数列与一次函数、等差数列的前项和公式与一元二次函数之间的联系，体会数学的整体性的又一重要载体.
等差数列的前项和公式是等差数列的定义、通项公式和相关性质的直接应用.寻找合适的算理、算法是研究等差数列前项和的基本线索，将不同数的求和转化为相同数的求和是算理、算法的逻辑起点，是引导学生学习等差数列求和方法的基础，是学生领悟化归与转化思想的合适素材.
等差数列的前项和公式是数列单元的重点内容.在公式的推导过程中，“倒序相加法”是历史上遗留下来的经典方法，因此，等差数列的前项和公式的建立，可以数学文化为背景，构建一个从简单到复杂、从特殊到一般、历史与现实有机结合、算法与性质交融并进的研究过程，使学生从对等差数列求和的简单情形的算法分析和推广中，逐步认识到“倒序相加法”所蕴含的算理和本质，并最终能用这种方法推导出等差数列的前项和公式，这一过程也体现了内容与数学文化的融合.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：等差数列的前项和公式的推导及其应用.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）了解等差数列前项和公式发现的背景；
（2）推导并掌握等差数列的前项和公式；
（3）在具体问题情境中，能运用等差数列的前项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题，提升数学建模素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等差数列的前项和公式的来龙去脉，感悟特殊与一般的思想，感受前人严谨的治学精神和数学文化的熏陶.
（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，在经历“类比推理探公式---归纳推理猜公式---演绎推理证公式”的推导过程中，明确基本公式的学习套路，掌握等差数列的前项和公式的“倒序相加法”以及其他推导方法，能分析等差数列的通项公式与前项和公式的关系，描述等差数列的前项和公式的特征，以及它与相应二次函数的关系，领悟等差数列的性质是导出求和公式的关键.
（3）学生能在具体的问题情境中，特别是在具有数学史料和实际应用的问题情境下，运用等差数列的前项和公式解决相应的问题.
三、教学问题诊断分析
从学生已有的数学思维特点来看，等差数列的前项和公式的学习，其认知基础是等差数列的定义与性质、数列求和的一般观念，以及学生对特殊数列求和的研究经验等.这些认知准备，对于分析等差数列项的变化规律，利用等差数列的性质减少项数，发现倒序相加的运算特点，从而达到简化的目的，并最终能够顺利地导出求和公式等，都能起到思路引领的作用.
从学生积累的数学活动经验来看，学生很容易把高斯的“首尾配对法”过渡到“倒序相加法”.尽管这两种方法的共性本质都是如何“减项化简”（即如何把不同数的求和化归为相同数的求和），但两者的推导方法又有着形式上的差异（即首尾配对要分奇偶，而倒序相加则可一步到位）.正是这种差异导致了等差数列的前项和公式推导过程中的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的？因此，怎样让等差数列的前项和公式的推导能够相对自然地呈现，成为学生理解公式推导过程的合理性的关键.
为了有效突破这一难点，在推导过程中，既要在从特殊到一般的问题情境中，通过归纳推理，分类讨论公式的结构特征；又要在遵循“倒序相加法”产生的数学背景中，通过推理再次获得公式；还要在数形结合的过程中，通过类比推理直观感知公式的几何意义，在求和公式的教学中，让学生经历等差数列的前项和公式的再创造过程，从而培养学生的逻辑推理素养，提升学的思维品质.
四、教学支持条件分析
为了加强学生对等差数列的前项和公式的整体感受，采取素养导航、推理定位、文化引领、应用落实的“四位一体”的单元教学设计，教学情境围绕等差数列求和的发展历程和应用过程展开，采用历史线索和问题串驱动法.一是，借助多媒体引入古希腊毕达哥拉斯学派的经典算题，演绎德国伟大的数学家高斯“神速求和”的历史短剧，让学生经历“首尾配对法---分类讨论法---倒序相加法”的认知过程，体验把不同数的求和转化为相同数的求和的思维过程，实现化简求和的终极目标.二是，借助信息技术类比梯形的面积公式，动态演示等差数列的前项和公式的几何意义，揭示求和公式的结构特征和其中蕴含的数学思想方法，提升学生的直观想象素养.三是，借助实物投影仪展示学生的小组合作学习成果，让学生经历化归与转化、探索与尝试、总结与提炼以及应用与深化四个阶段，加深学生对求和公式的认知，对推导和应用过程的理解，完成本单元的教学目标.
五、课时教学设计
（一）教学内容
等差数列的前项和公式的应用.
（二）教学目标
在具体的问题情境中，能运用等差数列的前项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题，提升数学建模素养.
（三）教学重点、难点
重点：等差数列的前项和公式的应用.
难点：综合与灵活运用等差数列的前项和公式.
（四）教学过程设计
1.了解公式，简单应用
引导语：在前一节课中，我们导出了等差数列的前项和公式的3种形式：
（1）；（2）；（3）.
本节课我们将根据不同的问题情境，探讨这三个公式的具体应用.
例1 记为等差数列的前项和，若，则_______.
师生活动：教师引导学生将已知条件和表示成关于基本量和的方程，联立这两个二元一次方程，解出和，然后再代入等差数列的前项和公式，即可求出.
设计意图：通过两类公式的联用帮助学生巩固对公式的理解，强化方程的思想，提升学生的数学运算素养.
2.理解公式，综合应用
例2（教科书第23页例8）某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排 座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
师生活动：教师引导学生分析问题，将实际问题转化成等差数列的求和问题，即构建一个等差数列，使其各项依次表示剧场从第1排到第20排的座位数，从而，那么求第1排的座位数就相当于求.
追问：《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中有这样一个问题:“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何.”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布.第一天织5尺，一个月（按30天计）共织390尺，问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，计算女子每天多织的布为多少尺.
师生活动：学生回答，该女子每天织布的数量从第1天起依次构成一个首项为5的等差数列，从而利用前30项的和，可求出数列的公差.
设计意图：通过让学生解决现实世界和数学史中的“实际问题”，让学生体会用等差数列的前项和公式解决实际问题的基本思路和方法.
例3 （教科书第23页例9）已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.
师生活动：教师引导学生分析：一方面，由和，可以证明是递减数列，且存在正整数，使得当时，，递减.这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和.另一方面，如图8，等差数列的前项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值.当时，关于的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此，可以利用二次函数求相应的，.学生独立用两种方法解题，教师请学生展示，并予以纠正.
图 8
追问：当时，有最大值吗？你能研究一下更一般的等差数列前项和的最大值问题吗？
师生活动：教师引导学生结合例题的两种解法来考虑一般的情形，并归纳出如下结论：
（1）是否有最大值，可利用公式，结合数列的图象得出结论.（2）如果有最大值，对应的项数是一个值还是两个值，关键要看数列中是否有一项为0.若有一个，则使取得最大值的有两个；否则，使取得最大值的只有一个.
设计意图：这是一道数列的综合应用问题，涉及应用数值方法和函数方法解决数列的最大值问题，展现了对数列的项的取值规律的分析过程，体现了等差数列的前项和公式与一元二次函数的联系，有利于提升学生的逻辑推理和数学运算素养.同时，“追问”拓展了例3中的问题，引导学生讨论更一般的问题，有利于提高学生发现问题和提出问题的能力.
3.掌握公式，灵活应用
例4 （教科书第21页例7）已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
师生活动：教师引导学生思考：将已知条件代入等差数列前项和的公式（2）后，可得到两个关于与的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得和.学生独立完成解题过程，教师请学生展示，并予以纠正.
追问：设是等差数列的前项和；
（1）若，求的值；
（2）根据（1）求得的结果，写出一个推广后的真命题，并给予证明.
师生活动：教师先让学生分组合作讨论，再让学生分组展示交流，并引导学生从多种解题思路出发，灵活选用等差数列的前项和公式的不同形式进行分析、求解和探究，对问题进行进一步的拓展和延伸.
对于第（1）问，学生分组展示交流中可能会出现如下几种求解思路：
思路1：由解得所以.
思路2：因为，即，所以.
思路3：设等差数列的前项和为（，为常数）.
则解得所以，所以.
思路4：因为，所以故数列是以为首项，为公差的等差数列，从而，解得.
对于第（2）问，尽管不同的学生可能会展示不同的推广结论，但最终都应该归结为根据（1）的结果，得出如下一般性的推广结论:
设是等差数列的前项和，若，其中，则.
设计意图：先让学生用一种基本的方法（根据等差数列前项和的一个公式）求解教科书上的例题，再让他们对一道变式的题目采用尽可能多的方法（根据等差数列前项和的不同形式的公式，等差数列前项和的定义，等差数列的定义、性质等）求解，使学生加深对等差数列前项和公式及等差数列的定义、性质等的理解，提高应用能力.
问题：数列的前项和，其中为常数，且.任取若干组在电子表格中计算的值，观察数列的特点，研究是一个怎样的数列，试证明你的结论.
图 9
图中的电子表格A栏中A1，A2，A3分别表示的值，B栏表示序号，C栏、D栏中分别是相应的和的值.
师生活动：学生分组进行动手操作实验.第一组选择的情形.例如，首先在上图电子表格A栏的A1，A2，A3分别输入1，2，0（即令），得到.接下来在B栏中分别输入数列的序号1，2，3，4，5，然后在C栏中得出，从而计算出.第二组选择的情形，利用电子表格计算出.
追问1：在上述操作过程中得到的数列分别是什么数列？
师生活动：教师应引导学生就不同的的值对表格中的数据进行观察，形成猜想，得出结论：
（1）当时，数列是以为公差，为首项的等差数列.
（2）当时，数列从第2项起后续各项组成一个等差数列.
追问2：通过上面的探究过程，你能得出更一般的结论吗？
师生活动：学生借助电子表格，通过两组实验，得出结论.教师引导，归纳结论如下：
（1）一个数列是等差数列的充要条件是它的前项和是关于的常数项为0的二次式，.
（2）如果一个数列的前项和公式是关于的常数项不为0的二次式，那么这个数列从第2项起后续各项组成一个等差数列，且
设计意图：设计用电子表格进行探究活动有两个目的：其一，让学生注意到数列是由一列数组成，能从数的角度来观察问题、形成猜想和证明猜想.这既是解决数列问题的一种常规方法，同时也是发现问题、提出问题的一种有效途径.其二，展示信息技术工具在数列研究中的作用.
4.课堂练习
教科书第24页练习第1，2，3，4题.
师生活动：学生独立解答完成，教师引导学生交流，师生互动补充完善.
设计意图：检验学生对等差数列的前项和公式的了解、理解和掌握情况.
5.单元小结
教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：
（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络.
（2）等差数列前项和公式的推导过程是怎样的？其中蕴含了什么思想方法？
（3）我们是如何探讨等差数列前n项和公式的应用的？分了哪几个应用层次？
师生活动：教师提出问题后，先让学生思考并作适当交流，再让学生发言，最后教师帮助完善.
设计意图：（1）强调“史料背景---求和方法---求和公式---公式应用”的基本脉络，可使学生逐步掌握公式学习的基本路径，为后续学习等比数列的前项和公式奠定基础.
（2）回顾“首尾配对法---分类讨论---倒序相加法”的推导过程，提炼其中蕴含的从特殊到一般、挖掘性质、发现算理，以及将数列1，2，3，…，作为研究等差数列求和问题的一个“基础素材”等思想方法.
（3）反思如何应用公式，培养学生学以致用的数学意识，积累运用公式的基本活动经验，落实数学运算和数学建模素养的培养.
6.布置作业
教科书习题4.2第1，3，6，7，8，9，11题.
（五）目标检测设计
1.等差数列的前项和为，若，，则（ ）.
（A）8 （B）10 （C）12 （D）14
设计意图：考查学生对等差数列前项和公式的理解程度.
2.设是等差数列的前项和，若，则__________.
设计意图：考查学生对等差数列前项和公式的理解程度，以及能否运用等差数列的性质解决问题.
3.我国古代数学名著《九章算术》中有如下“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，且上面4节的容积共3L，下面3节的容积共4L，则9节竹的容积共有多少升？
设计意图：考查学生运用等差数列前项和公式解决实际问题的能力.
4.记为等差数列的前项和，已知，
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围.
设计意图：考查学生运用等差数列的通项公式与前项和公式解决问题的能力.
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