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整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.2 公式法：利用平方差公式进行因式分解
用平方差公式分解因式
平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b)
即：两个数（或两个式子）的平方差，等于这两个数（或这两个式子）的和与差的积。
注意：
能否用平方差公式分解因式的关键：看原式是否符合公式的形式（a2－b2的形式）。
应用平方差公式分解因式的关键：弄清公式中的a，b各是什么；
[命题角度1] 运用平方差公式分解因式
【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式
【例1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9
解析：A中a2＋(－b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2－20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中－x2－y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中－x2＋9＝－x2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.
方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
【类型二】 利用平方差公式分解因式
【例2】 分解因式：
(1)9a2－4b2 (2)(x＋y)2－4 (3)(a－b)2－(a＋2b)2
解析：直接运用平方差公式分解因式即可
解：(1) 原式=(3a)2－(2b)2=(3a＋2b)(3a－2b)；
(2) 原式=(x＋y)2－22=(x＋y＋2)(x＋y－2)；
(3) 原式=[(a－b)＋(a＋2b)][(a－b)－(a＋2b)]=(2a＋b)·(－3b)=－3b(2a＋b)
方法总结：运用平方差公式分解因式时，一定要确定哪一项是公式中的“a”，哪一项是公式中的“b”。
【类型三】 提公因式后利用平方差公式分解因式
【例3】分解因式：
(1)a3－9a； (2)4x4－36x2y2； (3)2(a－b)2－8b2。
解析：需先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可。
解：(1)原式=a(a2－9)=a(a＋3)(a－3)
(2)原式=4x2(x2－9y2)=4x2(x＋3y)(x－3y)
(3)原式=2[(a－b)2－4b2]=2(a－b＋2b)(a－b－2b)=2(a＋b)(a－3b)
方法总结：若多项式的各项有公因式，要先提公因式，再运用平方差公式分解因式，最后结果一定要化简到不能再分解为止。
【类型四】 多次利用平方差公式分解因式
【例4】把多项式－x4＋16分解因式，其结果为（ ）
A.(4＋x2)(2＋x)(2－x) B.(x2＋4)(x2－4) C.(16＋x2)(4＋x)(4－x) D.－(4＋x2)(2＋x)(2－x)
解析：利用平方差公式进行多次因式分解即可
解：原式=16－x4=42－(x2)2=(4＋x2)(4－x2)=(4＋x2)(2＋x)(2－x)，故选A
方法总结：能够运用平方差分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。要注意再第一次分解完成以后，要检查是否还能继续分解。
[命题角度2] 运用平方差公式分解因式的应用
【类型五】 利用因式分解整体代换求值
【例5】已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．
解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x＋y的值代入计算即可求出x－y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2.
方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．
【类型六】 利用因式分解解决整除问题
【例6】248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．
解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．
解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．
∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．
【类型七】 利用平方差公式进行简便运算
【例7】利用因式分解计算：
(1)1012－992； (2)5722×－4282×.
解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．
解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)5722×－4282×＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36000.
方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．
【类型八】 在实数范围内分解因式
【例8】 在实数范围内分解因式．
(1)x2－5；(2)x3－2x.
解析：(1)直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式x，然后利用平方差公式进行二次分解，即可求得答案．
解：(1)x2－5＝(x＋)(x－)；
(2)x3－2x＝x(x2－2)＝x(x＋)(x－)．
方法总结：注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的结果可以出现无理数．
[命题角度3] 运用平方差公式的实际问题
【类型九】 因式分解的实际应用
【例9】如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．
答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.
方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
1.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ C ）
A.a2＋b2 B.2a－b2 C.a2－b2 D.－a2－b2
2.若x＋y=3，x－y=1，则x2－y2的值为（ C ）
A.1 B.2 C.3 D.－3
3.利用平方差公式分解因式
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2； (3)5m2a4－5m2b4；
(4)a2－4b2－a－2b. (5)2x4－
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．
(3)原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
(4)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b－1).
(5)原式=2[x4－()4]=2[x2＋()2][x2－()2]=2(x2＋)(x＋)(x－)
4.利用因式分解计算：1002－992＋982－972＋…＋22－12
解：原式=(100＋99)(100－99)＋(98＋97)(98－97)＋…＋(2＋1)(2－1)
=100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
=5050
故答案为：5050
5.若2m＋n=25，m－2n=2，求(m＋3n)2－(3m－n)2的值
解：∵2m＋n=25，m－2n=2，
∴(m＋3n)2－(3m－n)2=[(m＋3n)＋(3m－n)][(m＋3n)－(3m－n)]
=(4m＋2n)(－2m＋4n)=－4(2m＋n)(m－2n)
=－4×25×2=－200
6.在(x2－2x＋a)(3x＋b)的运算结果中，x2的系数为－4，x的系数为－7，求a，b的值并对式子4ax2＋b2进行因式分解。
解：(x2－2x＋a)(3x＋b)=3x3＋bx2－6x2－2bx＋3ax＋ab=3x3＋(b－6)x2＋(3a－2b)x＋ab
∵x2的系数为－4，x的系数为－7，
∴b－6=－4，3a－2b=－7，
∴b=2，a=－1，
∴a的值为：－1，b的值为：2，
∴4ax2＋b2=－4x2＋4=4(1－x2)=4(1＋x)(1－x)
7.如图，某农场需要一种混凝土管道，他的规格是内径d=45cm，外径D=55cm，长l=200cm，利用因式分解计算浇筑一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土。（结果用π表示）
解：V混凝土=π[(D)2－(d)2]·l
=π(D＋d)(D－d)·l
=π×(55＋45)×(55－45)×200
=50000π（cm3）=0.05π（m3）
答：浇筑一节这样的管道需要0.05πm3的混凝土
1、2、3、
知识清单
能力拓展
课后训练
课后反思
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14.3 因式分解
14.3.2 公式法：利用平方差公式进行因式分解
用平方差公式分解因式
平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b)
即：两个数（或两个式子）的平方差，等于这两个数（或这两个式子）的和与差的积。
注意：
能否用平方差公式分解因式的关键：看原式是否符合公式的形式（a2－b2的形式）。
应用平方差公式分解因式的关键：弄清公式中的a，b各是什么；
[命题角度1] 运用平方差公式分解因式
【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式
【例1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9
【类型二】 利用平方差公式分解因式
【例2】 分解因式：
(1)9a2－4b2 (2)(x＋y)2－4 (3)(a－b)2－(a＋2b)2
【类型三】 提公因式后利用平方差公式分解因式
【例3】分解因式：
(1)a3－9a； (2)4x4－36x2y2； (3)2(a－b)2－8b2。
【类型四】 多次利用平方差公式分解因式
【例4】把多项式－x4＋16分解因式，其结果为（ ）
(4＋x2)(2＋x)(2－x) B.(x2＋4)(x2－4)
C.(16＋x2)(4＋x)(4－x) D.－(4＋x2)(2＋x)(2－x)
[命题角度2] 运用平方差公式分解因式的应用
【类型五】 利用因式分解整体代换求值
【例5】已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．
【类型六】 利用因式分解解决整除问题
【例6】248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．
【类型七】 利用平方差公式进行简便运算
【例7】利用因式分解计算：
(1)1012－992； (2)5722×－4282×.
【类型八】 在实数范围内分解因式
【例8】 在实数范围内分解因式．
(1)x2－5； (2)x3－2x.
[命题角度3] 运用平方差公式的实际问题
【类型九】 因式分解的实际应用
【例9】如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
1.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A.a2＋b2 B.2a－b2 C.a2－b2 D.－a2－b2
2.若x＋y=3，x－y=1，则x2－y2的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.－3
3.利用平方差公式分解因式
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2； (3)5m2a4－5m2b4；
(4)a2－4b2－a－2b. (5)2x4－
4.利用因式分解计算：1002－992＋982－972＋…＋22－12
5.若2m＋n=25，m－2n=2，求(m＋3n)2－(3m－n)2的值
6.在(x2－2x＋a)(3x＋b)的运算结果中，x2的系数为－4，x的系数为－7，求a，b的值并对式子4ax2＋b2进行因式分解。
7.如图，某农场需要一种混凝土管道，他的规格是内径d=45cm，外径D=55cm，长l=200cm，利用因式分解计算浇筑一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土。（结果用π表示）
1、2、3、
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