人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列---概念和通项公式》名师课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
(1)
(2)当时,
等差数列：
公 差：
通项公式：
等差中项：
重要性质:
注意：这里
(常数)
复习引入
人教A版同步教材名师课件
等比数列
---概念和通项公式
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解等比数列、等比中项的相关概念 数学抽象
掌握等比数列的通项公式及其应用 数学运算
了解等比数列通项与指数函数的关系 直观想象
学习目标
学习目标：
1.理解等比数列的概念;
2.掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用;
3.熟练掌握等比数列的判定方法.
学科核心素养：
1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用,体现了数学运算素养.
2.借助等比数列的判定与证明,培养逻辑推理素养.
探究新知
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰,日取其半,万世不竭. ”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“ 1 ” ,那么从第1天开始,各天得到的“棰”的长度依次是
3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一个
这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是
4.某人存入银行元,存期为5年,年利率为,那么按照复利,他5年内每年末得到的本利
和分别是
; ①
； ②
. ③
.④
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , .⑤
.⑥
对于数列②从第项起,每一项与它前一项的比等于
观察思考:
六个数列有什么共同特点？
对于数列①从第项起,每一项与它前一项的比等于
对于数列③从第项起,每一项与它前一项的比等于
5
探究新知
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , . ⑤
.⑥
; ①
; ②
. ③
. ④
100
9
2
如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等 数列.这个常数叫做等 数列的 ,
通常用___表示.
公比
等比数列的定义：
第项
同一个常数
比
比
比
探究新知
（4） 4 , 0 , 4 , 0 , ….
0 0
（2） 2 , 4 , 8 , 32 , 64 , 128 ;
不是等比数列
判断下列数列是否是等比数列,如果是,说出首项和公比;如果不是,说出理由:
（3）
小试牛刀
思考：有既是等差数列又是等比数列的数列吗？
（1） , , , …;
,
1
1
8 , 32
不是等比数列
概念测试
定义:如果在与中间插入一个数,使,, 成等比数列,
那么叫做与的 .
练习:
等比中项
=
在等比数列中, ,则.
探究新知
等比中项
★叠乘法★
…
这个式子相乘得
所以
个
,
,
,
,
…
等比数列首项是,公比是 .
探究新知
等比数列的通项公式
如果等比数列首项是,公比是,那么通项公式如何表示？
探究新知
小试牛刀
（4） 4 , 0 , 4 , 0 , ….
0 0
（2） 2 , 4 , 8 , 32 , 64 , 128 ;
（3）
（1） , , , …;
,
1
1
8 , 32
探究新知
类似于等差数列与一次函数的关系,由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即.
反之,任给指数函数
,
则,,. . .,,
构成一个等比数列其首项为,
公比为.
探究新知
若数列是等比数列,易知有(为常数,且)或(,)成立.反之,能说明数列是等比数列吗
能.若数列满足(为常数, )或都能说明是等比数列.
若数列是公比为的等比数列,则它的通项公式为
(为非零常数,).反之,能说明数列是等比数列吗？
能.根据等比数列的定义可知.
提示
提示
典例讲解
例1、在等比数列中,
(1),,求；
(2),,,求.
设首项为,公比为.
(1)法一：因为所以
由得,从而,而,
于是,所以.
法二：因为,所以,.
所以.
解析
典例讲解
(2)法一：因为
由得从而
又
即所以.
例1、在等比数列中,
(1),,求；
(2),,,求.
解析
典例讲解
法二：因为,
所以.
由,知.
由,知.
例1、在等比数列中,
(1),,求；
(2),,,求.
解析
方法归纳
1.等比数列的通项公式涉及个量,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这四个量中,和是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解.
2.关于和的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件,建立关于的方程组,求出后再求,
这是常规方法.
(2)充分利用各项之间的关系,直接求出后,再求,最后求,
这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
1.在等比数列中,
(1)已知,求；
(2)已知,求；
(3)已知,求公比和通项公式.
变式训练
(1)
(2),
.
解析
变式训练
(3),即,
当时,,
当时,,
数列的公比为或,
对应的通项公式为或.
1.在等比数列中,
(1)已知,求；
(2)已知,求；
(3)已知,求公比和通项公式.
解析
典例讲解
例2、已知在等比数列中,,.
求,的等比中项.
设该等比数列的公比为,
解析
得,.
设是的等比中项,则应有的等比中项是.
方法归纳
等比中项应用的三点注意
(1)由等比中项的定义可知,
所以只有,同号时,,的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.
(2)在一个等比数列中,从第项起,
每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3),,成等比数列等价于
变式训练
2.已知是,的等比中项,求证：是与的等比中项.
因为是,的等比中项,则,且,,均不为零,
又,
,
即是与的等比中项.
证明
典例讲解
例3、已知数列的前项和为,试判断是否是等比数列.
.
当时, ；
当时,.
故当时,数列成等比数列,
其首项为,公比为；
当时,数列不是等比数列.
解析
典例变型
1.(变条件,变结论)将例题中的条件“”变为“
”.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求出的通项公式.
(1)证明：由,
得
因为,所以,所以,
所以数列是首项为,公比为的等比数列.
(2)由(1),可知,
于是数列的通项公式为.
解析
典例变型
2.(变条件)将例题中的条件“”变“”.求证数列是等比数列.
.又
又由知,,
是等比数列.
证明
方法归纳
定义法 (为常数且不为零,)
为等比数列
中项公式法 (且)
为等比数列
通项公式法 (且)
为等比数列
1.有关等比数列的判断证明方法
方法归纳
2.因为等比数列中任一项均不为,
所以由知,,
即同号的两个数(不为)才有等比中项,
且等比中项是互为相反数的两个值.
如与的等比中项为.
3.由等比数列的通项公式与指数型函数的关系可得等比数列的单调性如下：
方法归纳
(1)当或时,
等比数列为递增数列；
(2)当或时,
等比数列为递减数列；
(3)当时,数列是常数列；
(4)当时,数列是摆动数列.
素养提炼
1.等比中项与等差中项的区别
(1)只有当两个数同号且不为时,才有等比中项.
(2)两个数,的等差中项只有一个,两个同号且不为的数的等比中项有两个.
2.已知是等比数列
(1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,
即,,,…仍是等比数列,公比为.
(2)若,是等比数列,
则,,,仍是等比数列.
当堂练习
1.根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是(　　)
A. B. C. D.
　只有具备的形式,故应选C.
2.等比数列,,,…的第四项等于(　　)
A.－24 B.0 C.12 D.24
由,,成等比数列,知,解得或(舍去).
所以此等比数列的前三项为.
故第四项为,故选A.
C
解析
解析
A
当堂练习
3.在等比数列中,已知,则数列为________数列(填“递增”或“递减”).
由,可知,解得.
又,所以数列为递增数列.
4.在等比数列中,若公比,且前三项之和等于,则该数列的通项公式________.
由题意知,解得,
所以通项公式.
递增
解析
解析
当堂练习
5.已知为等比数列,且,,该数列的各项都为正数,求.
由知等比数列的公比,设其通项公式为.
由已知得解得,
,
解析
归纳小结
如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等 数列.这个常数叫做等 数列的 ,
通常用___表示.
公比
等比数列的定义：
第项
同一个常数
比
比
比
归纳小结
定义法 (为常数且不为零,)
为等比数列
中项公式法 (且)
为等比数列
通项公式法 (且)
为等比数列
有关等比数列的判断证明方法
书面作业：课本P31 练习： 1,3 ；
预习作业：等比数列有哪些性质？
作 业