人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列前n项和---定义和公式》名师课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
复习回顾:等比数列的有关概念
1. 定义:如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(指与无关的数),这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示.
2.等比数列的通项公式为.
3.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法.
复习引入
人教A版同步教材名师课件
等比数列前项和
---定义和公式
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解等比数列前项和公式的结构特征和应用条件 数学抽象
掌握等比数列前项和公式的运算与性质应用 数学运算
理解等比数列前项和在实际中的应用和综合运用 数学建模
学习目标
学习目标:
1.掌握等比数列的前项和公式及其应用.
2.会用错位相减法求数列的和.
3.能运用等比数列的前项和公式解决一些简单的实际问题.
学科核心素养:
1.通过等比数列前项和的实际应用,培养数学建模素养.
2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用,培养数学运算素养.
国际象棋的传说
探究新知
在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏,对他说:我可以满足你的任何要求.西萨说: “请给我棋盘的64个方格上,第一格放1粒小麦,第二格放2粒,第三格放4粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第64格.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.
假设千粒麦子的质量为40g,据查,目前世界小麦年产量为6亿t.根据以上数据判断国王能不能实现他的诺言？
思考:
(1)棋盘中每格的麦粒数将构成什么样的一个数列？
(2)国王需要给发明者多少粒小麦？
探究新知
探求等比数列求和的方法
问题:已知等比数列,公比求:
思考:如何用这些基本量来表示呢？
探究新知
问题探究
若为等比数列,那么等比数列前项和:
由等比数列通项公式:
那么上式就可以转化为 :
探究新知
(错位相减法)
当时
两式相减,得
当时
探究新知
根据通项公式, 可表示为
若将此式两端同乘以,所得式子与原式比较:
此式相邻两项有何关系？
当时,
思路1
(利用定义)
由等比定理,得
等比数列定义:
与什么关系？
与什么关系？
探究新知
比例式连等的形式能否变成和的形式？怎样变？
即
当时
当时
思路2
(利用)
当时
当时
即
探究新知
思路3
公式推导
将以上两个式子相减
错位相减法
当时,等比数列的前项和是什么？
探究新知
观察数列
问题1:该数列是不是等比数列？
是
问题2:公比是多少？能不能用之前的公式求其前项和？
,不能用之前的公式求和
问题3:当公比为时,等比数列前项和如何求解？
探究新知
完善公式
约为亿吨,国王无法实现他的诺言.
探究新知
回顾思考
(1)棋盘中每格的麦粒数将构成什么样的一个数列？
(2)国王需要给发明者多少粒小麦？
例1、在等比数列中,
(1),,求;
(2),求;
(3),,,求.
典例讲解
(1)由题意知
解得或
从而或.
解析
典例讲解
(2)法一:由题意知
解得从而.
法二:由,得,从而.
又,所以,从而.
解析
例1、在等比数列中,
(1),,求;
(2),求;
(3),,,求.
典例讲解
(3)因为,
所以是方程的两根.
从而
或
又,所以为或.
解析
例1、在等比数列中,
(1),,求;
(2),求;
(3),,,求.
方法归纳
1.在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
2.在解决与前项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
1.已知数列是首项为,公比为的等比数列,其前项和为,且有,求公比的值.
变式训练
当时,由知,
则,不合题意,故.
当时,由知,
.
解得即 .
解析
典例讲解
例2、借贷元,以月利率为,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分个月付清,试问每月应支付多少元？(,)
解决等额还贷问题关键要明白以下两点:
(1)所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为,其中代表本金,代表存期,代表利率,代表本利和.
(2)从还贷之月起,每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列,首项是什么,公比或公差是多少.
思路探究
典例讲解
法一:设每个月还贷元,第个月后欠款为元,
以后第个月还贷元后,还剩下欠款元,
则,
,
…
.
例2、借贷元,以月利率为,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分个月付清,试问每月应支付多少元？(,)
解析
典例讲解
由题意,可知,
即,
.
.
故每月应支付元.
例2、借贷元,以月利率为,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分个月付清,试问每月应支付多少元？(,)
解析
典例讲解
法二:一方面,借款元,将此借款以相同的条件存储个月,则它的本利和为
(元).
另一方面,设每个月还贷元,分个月还清,到贷款还清时,其本利和为
例2、借贷元,以月利率为,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分个月付清,试问每月应支付多少元？(,)
解析
典例讲解
例2、借贷元,以月利率为,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分个月付清,试问每月应支付多少元？(,)
解析
(元).
由,得.
以下解法同法一,得,
故每月应支付元.
方法归纳
解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求:
①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题？是求,还是求？特别要注意项数是多少.
②弄清题目中主要的已知事项.
方法归纳
(2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.
(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.
变式训练
2.某人在年初用万元购买了一套住房,付现金万元,按合同余款分年付清,年利率为,每年以复利计算,问每年年底应支付多少元？
余款万元年的本利和是
设每年年底应支付款为元,
支付6次的本利和应是
.
由得(元).
每年年底应支付元.
解析
问题探究
1.对于,用乘以等式的两边可得,对这两个式子作怎样的运算能解出
比较两式易知,两式相减能消去同类项,解出,即.
解析
问题探究
2.由项数相等的等差数列与等比数列相应项的积构成新的数列是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前项和的表达式是什么？
由等差数列及等比数列的定义可知数列既不是等差数列,也不是等比数列.该数列的前项和的表达式为.
解析
问题探究
3.在等式两边同乘以数列的公比后,该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征,你能将求的问题转化为等比数列的前项和问题吗？
在等式 ①
两边同乘以的公比可变形为
,②
② ①得:
.
此时可把求的问题转化为求等比数列的前项和问题.
我们把这种求由一个等差数列和一个等比数列相应项的积构成的数列前项和的方法叫错位相减法.
解析
典例讲解
例3、设是等差数列, 是等比数列,公比大于,
已知.
(1)求和的通项公式;
(2)记,证明:
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
则.
由题意,得解得
故.
解析
典例讲解
(2) ,设数列的前项和为,
①
②
①②得:
例3、设是等差数列, 是等比数列,公比大于,
已知.
(1)求和的通项公式;
(2)记,证明:
解析
典例讲解
,
又,
即,.
例3、设是等差数列, 是等比数列,公比大于,
已知.
(1)求和的通项公式;
(2)记,证明:
解析
典例变式
1.(变条件)本例题(2)中设,求数列的前项和.
由题意知,
所以,
,
两式相减得:
,
所以.
解析
典例变式
2.(变条件)本例题中设,求数列的前项和.
由题意可得:
两式相减得:
所以.
解析
方法归纳
错位相减法的适用条件及注意事项
若数列为等差数列,数列为等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为,当求该数列的前项和时,常常采用将的各项乘公比,并向后错位一项与的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,这种数列求和的方法称为错位相减法.若公比为字母,则需对其进行分类讨论.
素养提炼
1.在等比数列的通项公式和前项和公式中,共涉及五个量:,其中首项和公比为基本量,且“知三求二”.
2.前项和公式的应用中,注意前项和公式要分类讨论,即当和时是不同的公式形式,不可忽略的情况.
3.设数列是公差为的等差数列,数列是公比为的等比数列,数列满足,则的前项和为
①
素养提炼
②
① ②得
当堂练习
1.已知等比数列的首项,公比,则等于(　　)
A.93　 B. 93　　　C.45　　　D. 45
.
2.设为等比数列的前项和,若,则(　)
A.10 B.9 C. 8 D. 5
设数列的公比为,由,
得.
因为,,则,
故.
A
A
解析
解析
当堂练习
3.已知等比数列的前项和,则等于(　　)
A. B. C. D.
时,,
当时,
故,.
.
D
解析
当堂练习
4.在公比为整数的等比数列中,如果,,则这个数列的前项之和________.
,,
两式联立解得或,而为整数,
所以,代入公式求得.
510
解析
当堂练习
5.一个热气球在第一分钟上升了的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的这个热气球上升的高度能超过吗？
用表示热气球在第分钟上升的高度,
由题意,得,
因此,数列是首项,公比的等比数列.
热气球在前分钟内上升的总高度为
.
故这个热气球上升的高度不可能超过 m.
解析
本节课主要学习了等比数列的前项和公式
及其简单应用.
1、知识小结
由特殊到一般 、错位相减法、 分类讨论思想、方程思想等
2、思想方法小结
归纳小结
作 业
课本P37页 练习:1、2、3