人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列前n项和---性质和应用》名师课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
②
①
复习引入
① ②,得
当时,
当时,
(错位相减法)
推导方法一
等比定理的应用
复习引入
推导方法二
当时,
当时,
等比数列的前项和公式
或
复习引入
人教A版同步教材名师课件
等比数列前项和
性质和应用
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解等比数列前项和公式的结构特征和应用条件 数学抽象
掌握等比数列前项和公式的运算与性质应用 数学运算
理解等比数列前项和在实际中的应用和综合运用 数学建模
学习目标
学习目标:
1.掌握等比数列前项和的性质的应用.
2.掌握等差数列与等比数列的综合应用.
3.能用分组转化法求数列的和.
学科核心素养:
1.通过等比数列前项和公式的函数特征的学习,体现了逻辑推理素养.
2.借助等比数列前项和性质的应用及分组求和,培养学生的数学运算素养.
探究新知
1.在等差数列中,我们知道仍组成等差数列.在等比数列中,若连续项的和不等于,那么仍组成等比数列吗？为什么？
仍组成等比数列.
在等比数列中有,
,
.
同理
在时,仍组成等比数列.
解析
探究新知
2.若数列为项数为偶数的等比数列,且,那么等于何值？
由等比数列的通项公式可知.
提示
等比数列前项和的性质
(1)性质一:若表示数列的前项和,且
,则数列是______数列.
等比
探究新知
(2)性质二:若数列是公比为的等比数列,则
①在等比数列中,若项数为,则___.
②在等比数列中,若项数为,则.
③成等比数列.
探究新知
思考:在数列中,(为非零常数)且前项和,则实数的取值是什么？
由题知是等比数列,的系数与常数项互为相反数,
而的系数为,.
提示
典例讲解
(1)∵为等比数列,也为等比数列,
即成等比数列,
,解得或.
,.
(1)由,,成等比数列求解.(2)利用,及求解.
例1、(1)等比数列的前项和为,,,则为(　　)
A.28 B.32　 　 C.21　　D.28或 21
(2)等比数列中,公比,,则=________.
思路探究
A
解析
典例讲解
(2)设,
.
则,即.
又,,
解得.即.
例1、(1)等比数列的前项和为,,,则为(　　)
A.28 B.32　　C.21　　D.28或 21
(2)等比数列中,公比,,则=________.
A
24
解析
典例变式
1.(变条件)将例题(1)中的条件“,”改为“正数等比数列中,”,求的值.
设,,
则,,,成等比数列,
所以
所以或(舍去),所以.
解析
典例变式
2.(变条件,变结论)将例题(1)中条件“”改为“公比,”,求的值.
法一:
法二:设,
,
,
则,且,
解析
典例变式
2.(变条件,变结论)将例题(1)中条件“”改为“公比,”,求的值.
.
即.
解析
方法归纳
1.在涉及奇数项和与偶数项和时,常考虑对其差或比进行简化运算.若项数为,则;若项数为,则.
2.等比数列前项和为(且),则,,仍成等比数列,其公比为.
典例讲解
例2、在各项均为正数的等比数列中,已知,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
(1)利用等比数列的基本运算求出的通项公式.(2)根据的特点,和分别是等比数列和等差数列,所以可用分组求和法求数列前项和.
(1)设等比数列的公比为,
,又,
.
解得:,
解析
思路探究
典例讲解
例2、在各项均为正数的等比数列中,已知,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
(2)由(1)知:,
.
数列的前项和为
解析
方法归纳
(1)应用条件
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成.
(2)解题步骤
分组转化求和法的应用条件和解题步骤
变式训练
1.求数列的前项和.
.
解析
典例讲解
(1)根据已知条件得出关于,的方程组,求解即可;(2)只需表示出前项和,解指数不等式.
(1)设等比数列的公比为,则.
由题意得即
解得故数列的通项公式为.
例3、已知是等比数列的前项和,,,成等差数列,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在正整数,使得？若存在,求出符合条件的所有的集合;若不存在,说明理由.
思路探究
解析
典例讲解
(2)由(1)有.
若存在,使得,则,即.当为偶数时,,上式不成立;
当为奇数时,,即,则.
综上,存在符合条件的正整数,
且的集合为.
例3、已知是等比数列的前项和,,,成等差数列,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在正整数,使得？若存在,求出符合条件的所有的集合;若不存在,说明理由.
解析
方法归纳
与等差、等比数列有关的综合问题,其解题过程应注意以下方法与技巧:
(1)转化思想:将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列,以便于利用其公式和性质解题.
(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.
(3)当题中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,又要关注各数列之间的相互联系.
变式训练
2.已知数列的前项和为,且,.
(1)证明:数列为常数列;
(2)求数列的前项和.
(1)当时,,所以;
当时,由①,
得②,
① ②得,,
所以,
因为,所以,
所以,故数列为常数列.
解析
变式训练
2.已知数列的前项和为,且,.
(1)证明:数列为常数列;
(2)求数列的前项和.
(2)由(1)知,,
所以
所以
.
解析
素养提炼
1.在利用等比数列前项和公式时,一定要对公比或作出判断;若是等比数列,且,则构成等差数列.
2.等比数列前项和中用到的数学思想
(1)分类讨论思想:
①利用等比数列前项和公式时要分公比和两种情况讨论;
②研究等比数列的单调性时应进行讨论:
当,或,时为递增数列;
当,或,时为递减数列;
当时为摆动数列;当时为常数列.
素养提炼
(2)函数思想:等比数列的通项且常和指数函数相联系;等比数列前项和.
设,则与指数函数相联系.
(3)整体思想:应用等比数列前项和公式时,常把, 当成整体求解.
当堂练习
1.已知等比数列的各项均为正数,前项和为,若,
,则(　　)
A.4　 B.10　　 　C.16　　　 D.32
由得,,,解得或(舍去),从而,故选C.
C
2.设等比数列的前项和为,若,则
(　　)
A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3
在等比数列中,,,,…成等比数列,
因为,所以,,得,故选A.
A
解析
解析
当堂练习
3.记为数列的前项和.若,则________.
法一:因为,
所以当时,,解得,
当时,,所以,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以,所以.
法二:时,由得,
∴,可得.又.
∴是首项为,公比为的等比数列,
∴,即.
解析
当堂练习
4.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项的和的两倍,它的首项为,且中间两项的和为,则此等比数列的项数为________.
设该等比数列的项数为,
依题意得,
.
,.又中间两项为和,
则,
,解得,.
8
解析
当堂练习
5.设等比数列的前项和为,已知,,求的值.
由等比数列前项和的性质,
可知成等比数列.
由题意可知上面数列的首项为,公比为
故,
所以.
解析
归纳小结
等比数列前项和的性质
(1)性质一:若表示数列的前项和,且
,则数列是______数列.
等比
(2)性质二:若数列是公比为的等比数列,则
①在等比数列中,若项数为,则___.
②在等比数列中,若项数为,则.
③成等比数列.
作 业
P40 习题4.3: 3、7