人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列---性质》名师课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
复习引入
如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等 数列.这个常数叫做等 数列的 ,
通常用___表示.
公比
等比数列的定义：
第项
同一个常数
比
比
比
等比数列：
公 比：
通项公式：
等比中项：
(常数)
复习引入
人教A版同步教材名师课件
等比数列
---性质
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解等比数列、等比中项的相关概念 数学抽象
掌握等比数列的通项公式及其应用 数学运算
了解等比数列通项与指数函数的关系 直观想象
学习目标
学习目标：
1.掌握等比数列的性质及其应用;
2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用;
3.能用递推公式求通项公式.
学科核心素养：
1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用,培养数学运算素养.
2.借助递推公式转化为等比数列求通项,培养逻辑推理及数学运算素养.
等差数列的常用性质
性质1 通项公式的推广：
性质2 若为等差数列,且,则
性质3 若是等差数列,则
性质4 若、分别是以、为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列
性质5 若是等差数列,则,,,…()组成公差为的等差数列
探究新知
类比猜想等比数列的性质
等差数列的常用性质 等比数列的常用性质
在等差数列中,
若,
则.
证明：设等差数列的首项为 ,公差为,则
∵
∴ .
特别地,若, 则.
在等比数列中,
若 ,
则.
特别地,若,则
探究新知
等比数列的常用性质
性质1 通项公式的推广：
性质2 若为等比数列,且,则
性质3 若是等比数列(项数相同),则,
,,仍是等比数列.
性质4 在等比数列中距首末两端等距离的两项的积相等,即
性质5 在等比数列中,序号成等差数列的项仍成等比数列
探究新知
例1、若数列是递增的等比数列,,则(　　)
A. B. C. D.
典例讲解
因为数列是递增的等比数列,,,
所以,
所以,是一元二次方程的两个根,
且,解得,,
所以, .
C
解析
典例讲解
各项都为正数的等比数列满足:,
所以,所以,
因为,所以.
例2、已知各项都为正数的等比数列满足:,,则(　　)
A. B. C. D.
解析
B
1.解答等比数列问题的基本方法——基本量法
(1)基本步骤:运用方程思想列出基本量和的方程组,
解出和,然后利用通项公式求解.
(2)优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.
方法归纳
2.利用等比数列的性质解题
(1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,
分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
(2020·眉山高二检测)已知数列为正项的递增等比数列,
,,则(　　)
A. B. C. D.
设等比数列的公比为.
因为数列为正项的递增等比数列,
,
所以解得,
所以.
变式训练
C
解析
由根与系数的关系可知,,
则,,
从而,且,所以 .
变式训练
2.(2020·惠州高二检测)已知数列是等比数列,函数的两个零点是,,则 (　　)
A. B. C. D.
解析
D
例3、三个数成等比数列,其积为,如果第一个数与第三个数各减去,则这三个数成等差数列,求这三个数.
典例讲解
因为三个数成等比数列,
设三个数为,则 ,
所以,所以三个数为,
第一个数与第三个数各减去为,
则,即,
解得或,所以这三个数为或.
解析
本例中的条件若改为“其积为,如果第一个数与第三个数各减去 ”,试求这三个数.
典例变式
设三个数依次为 ,,,
因为,所以.
因为,
所以,
所以或,
所以这三个数为,,或,,.
解析
典例讲解
法一：设前三个数分别为,
则第四个数为.
由题意得
解得或.
当时,,这四个数为;
当时, ,这四个数为, , , .
解析
例4、有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为,中间两个数的和为,求这四个数.
典例讲解
法二：设后三个数分别为,,,
则第一个数为,因此这四个数为, , ,,.
由题意得解得或
故这四个数为,,,或, , , .
例4、有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为,中间两个数的和为,求这四个数.
解析
典例讲解
法三：设第一个数为,则第四个数为,
设第二个数为,则第三个数为,
则这四个数为,
由题意得解得或
故这四个数为,,,或, , , .
解析
例4、有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为,中间两个数的和为,求这四个数.
方法归纳
巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三数成等差数列,常设成,,.
若三数成等比数列,常设成,,或,,.
(2)若四个数成等比数列,可设为,,,.
若四个正数成等比数列,可设为, ,,.
3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是,第二个数与第三个数的和是,求这四个数.
变式训练
法一：设前三个数依次为,,,
则第四个数为,
由条件得
解得或
所以当,时,所求四个数为;
当时,所求四个数为.
解析
变式训练
法二：设第一个数为,则第四个数为,
设第二个数为,则第三个数为,
这四个数为,
由题意得
解得或
故所求四个数为或.
3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是,第二个数与第三个数的和是,求这四个数.
解析
1.如果数列满足,,你能判断出是等差数列,还是等比数列吗？
由等差数列与等比数列的递推关系,可知数列既不是等差数列,也不是等比数列.
探究问题
探究新知
提示
探究新知
2.若数列满足,,能否证明是一个等比数列？
在两边都加得,
显然数列是以为首项,以为公比的等比数列.
提示
探究问题
探究新知
3.在探究1中,若将改为,又应如何构造出一个等比数列？你能求出吗？
先将变形为.
将该式整理为与对比可知,即;
所以在两边都加,
可构造出等比数列.
利用等比数列求出即可求出.
探究问题
提示
典例讲解
例5、已知是数列的前项和,且.
(1)求的值;
(2)若,试证明数列为等比数列.
(1)把代入求得;(2)先由,利用和的关系得的递推关系,然后构造出数列利用定义证明.
(1)因为,
所以当时,,解得.
(2)证明：因为,
所以当时, ,
思路探究
解析
典例讲解
,
即,
所以,
又,所以,
且,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列.
例5、已知是数列的前项和,且.
(1)求的值;
(2)若,试证明数列为等比数列.
解析
典例变式
1.(变条件,变结论)将本例条件“”改为“”,“”改为“”,试证明数列是等比数列,并求的通项公式.
.
.
所以数列是公比为的等比数列,首项为.
因为,
所以,所以.
所以.
解析
2.(变条件,变结论)将本例中条件“”改为“”,试证明为等比数列,并求的通项公式.
典例变式
令,
则
由已知条件知,得
所以
又
所以是首项为,公比为的等比数列.
于是,故.
证明
方法归纳
两种递推公式构造等比数列的模型
(1)由递推关系(为常数,且,)求时,由待定系数法设可得
这样就构造了等比数列
(2)形如的递推关系式,
除利用待定系数法直接化归为等比数列外,
也可以两边同除以得 ,进而化归为等比数列.还可以两边同除以得,
再利用累加法求出,即得.
素养提炼
1.与等差、等比数列有关的综合问题,其解题过程应注意以下方法与技巧：
(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列,
以便于利用其公式和性质解题.
(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.
(3)题中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,
又要关注各数列之间的相互联系.
2.在等比数列的有关运算中,常常涉及次数较高的指数运算,往往是建立关于,的方程组求解,但这样解起来很麻烦.
若能避开求,,直接利用等比数列的性质求解,往往可使问题简单明了.
当堂练习
1.已知等差数列的公差为,且,,成等比数列,则(　　)
A.26　　 B.30　　　　C.34　　　　D.38
2.已知数列为等比数列,为等差数列的前项和,且,
,,则(　　)
A. B. C. D
由题意可得： 即
结合题意有：,解得,则.
由题意,数列为等比数列,满足,,
根据等比数列的性质,可得,,可得,
所以,则.
C
A
解析
解析
当堂练习
3.在和之间插入个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这个数的积为________.
设插入的个数依次为,
即,成等比数列,
由等比数列的性质可得,
因为,(舍负).
所以这3个数的积为.
解析
当堂练习
4.已知在公比为的等比数列中,,则的值为________.
解析
当堂练习
5.(1)已知数列为等比数列,,,求;
(2)已知为等比数列,,,求公比.
(1)法一：相除得.
所以,所以.
法二：因为,所以,
又,所以.
(2)因为,而,
所以或.
所以或,所以 或.
解析
归纳小结
等比数列的常用性质
性质1 通项公式的推广：
性质2 若为等比数列,且,则
性质3 若是等比数列(项数相同),则,
,,仍是等比数列.
性质4 在等比数列中距首末两端等距离的两项的积相等,即
性质5 在等比数列中,序号成等差数列的项仍成等比数列
等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列 等比数列
不同点 (1)强调每一项与前一项的差; (2)和可以为零; (3)等差中项唯一. (1)强调每一项与前一项的比;
(2)与均不为零;
(3)等比中项有两个值.
相同点 (1)都强调每一项与前一项的关系; (2)结果都必须是常数; (3)数列都可以由、或、确定.
联系 (1)若为正项等比数列,则为等差数列; (2) 为等差数列,为等比数列,则为等比数列.
归纳小结
作 业
P34 练习：1、5