人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】4.3.1_等比数列的概念1(共21张PPT)

(共21张PPT)
§4.3.1 等比数列
目标定位
【学习目标】
1．通过类比，理解等比数列的概念并学会简单应用．
2．通过类比，掌握等比中项的概念并会应用．
3．通过类比，掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
【重、难点】
重点：等比数列的定义和通项公式.
难点：等比数列与指数函数的关系.
学习目标和重难点
新知探究
（一）等比数列的概念
等比数列的定义、通项公式的推导、等比中项、等比数列与指数函数的关系等的研究方法都与等差数列相似，你能否根据研究等差数列的方法来研究等比数列呢？请尝试完成下表.
新知探究
（一）等比数列的概念
等差数列 等比数列
定 义 语言描述 如果一个数列从第2项起，数列的每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
如果一个数列从第2项起，数列的每一项与前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母q表示.
新知探究
（一）等比数列的概念
等差数列 等比数列
定 义 符号表示 或
或
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列 等比数列
通项公式的推导 不完全归纳法 根据等差数列的定义，得 . ∴ ， ， ， … ， .
根据等比数列的定义，得 .
∴ ，
，
，
… ，
.
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列 等比数列
通项公式的推导 累加法 根据等差数列的定义， ，，，…， . 将以上个等式相加，得 即 ， ∴
根据等比数列的定义，，
，，…， .
将以上个等式相乘，得
, 即
∴
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列 等比数列
通项公式的推导 迭代法 根据等差数列的定义， .
根据等比数列的定义，
.
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列 等比数列
通项公式的推导 通项公式
公差 公 比
新知探究
（一）等差数列前n项和与的关系
等差数列 等比数列
中 项 定义 当三个数 a，A，b成等差数列时，A叫做a与b的等差中项.
性质 2A＝a＋b
注意事项 任意两个数a与b都有等差中项，且等差中项是唯一的.
当三个数 a，A，b成等比数列时，A叫做a与b的等比中项.
只有当时，a与b才
有等比中项，且等比中项有
两个，它们互为相反数.
典例突破
例1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.
由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n≈4.
∴ 这种物质的半衰期大约为4年．
（一）等比数列通项公式的应用
典例突破
【解题反思】如何求解等比数列应用题？
答：求解数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．
（一）等比数列通项公式的应用
典例突破
变式. 某人买了一辆价值13.5万元的新车.专家预测这种车每年
按10%的速度折旧.
（1）用一个式子表示n 年后这辆车的价值；
（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得多少钱？
【解析】（1）设n 年后这辆车的价值为，
则
（2）用满4年时，这两车的价值为
（元）
∴ 他大概能得到约元.
（一）等比数列通项公式的应用
典例突破
（二）等比数列的判定
例2. 根据下图中的框图，写出所打印数列的前5 项，并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？
【解析】若将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，… .由框图可知，
a1＝1，，，，.
典例突破
（二）等比数列的判定
于是，可得递推公式，所以，
从而这个数列是等比数列，其通项公式是.
【解题反思】如何判定一个数列是否为等比数列？
要判定一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，是一个与n无关的常数就可以了.
典例突破
变式2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝ (an－1) ()．
(1) 求a1，a2；
(2) 求证：数列{an}是等比数列．
（二）等比数列的判定
【解析】(1) 由S1＝ (a1－1)，得a1＝ (a1－1)，解得a1＝－.
又S2＝ (a2－1)，即a1＋a2＝ (a2－1)，得a2＝.
(2) 证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)，
得 ∴{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
典例突破
（三）等差比数列的项
例3.　一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第
1项与第2项．
【解析】 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
a1q2＝12 ……………… ①
a1q3＝18 ……………… ②
由②÷①，得q＝，将q＝代入①，得a1＝.
∴ a2＝a1q＝×＝8.
∴ 这个数列的第1项与第2项分别是与8.
典例突破
【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？
答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．
（三）等比数列的项
典例突破
变式3. 在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
【解析】∵ ，解得，a1＝32.
∴ an＝a1qn－1＝32×n－1＝26－n.
（三）等差数列的项
典例突破
例4. 已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7
的等比中项．
【解析】设该等比数列的公比为q，首项为a1，则
, 即 ，
解得a1＝96， ∴
设G是a5，a7的等比中项，则
∴ ，即a5，a7的等比中项为.
（四）等比中项的应用
典例突破
变式4. 若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，求实数a的值．
【解析】∵ a,2a＋2,3a＋3成等比数列
∴ (2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－1，或a＝－4.
当 a＝－1时，2a＋2,3a＋3均为0，舍去.
∴ a＝－4.
（四）等比中项的应用