人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】4.3.2_等比数列的前n项和(共24张PPT)

(共24张PPT)
§4.3.2 等比数列的前n项和
目标定位
【学习目标】
1．理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程；
2．能够应用前n项和公式解决等比数列的有关问题；
3．进一步提高解方程（组）的能力，以及整体代换思想的应
用能力.
【重、难点】
重点：探索并掌握等差数列前n项和公式.
难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得
学习目标和重难点
知识链接
完成下面的因式分解：
（1）______________________________；
（2）______________________________.
新知探究
问题1. 已知等比数列{an}中，公比为.
（1）若
① 求的值； ② 求.
（一）等比数列的前n项和公式
【解析】
①
②
新知探究
（2）若已知，，求.
（一）等比数列的前n项和公式
【解析】
以上两式相减，得
∵ ，即 ∴ .
新知探究
问题2. 若把等比数列通项公式代入上式，你会得到什么呢？
（一）等比数列的前n项和公式
答：
新知探究
【获取新知】
（1）等比数列前n项和公式：
_________________________________________________.

（2）上面推导等比数列前n项和公式的方法是:_____________.
（一）等比数列的前n项和公式
错位相减法
典例突破
例1. （1）求下列等比数列前8项的和：
① ，，，…； ② a127，a9
（一）等比数列前n项和公式的基本运算
【解析】
（1）① 由条件易， ∴
② 由a127，a9，可得27q8，解得
典例突破
（一）等比数列前n项和公式的基本运算
当 时， ；
当q 时，
典例突破
（一）等比数列前n项和公式的基本运算
【解析】
若q1，则S33a16，符合题意，此时q1，a3a12.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式得，
即，化简整理得，
解得q1(舍去)或q 2. 此时，a3a1q22×(2)28.
（2）已知等比数列{an}中，a12，S36，求a3和q.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
典例突破
（一）等比数列前n项和公式的基本运算
【解题反思】
（1）等比数列前n项和公式的使用条件是什么？利用该公式解
题时，需要注意什么问题？
（2）在等比数列的五个基本量a1，an，n，q，Sn中，至少要
知道几个量才能求其他的量呢？
典例突破
（一）等比数列前n项和公式的基本运算
答：
（1）等比数列前n项和公式的使用条件是. 利用该公式解
题时，要注意对公比q是否为1进行讨论.
（2）在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，
q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可通过方程组求
出其余两个量．
典例突破
（一）等比数列前n项和公式的基本运算
变式1. 在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.
【解析】由已知 ∴
又 S3，S6 ∴ ，解得a1，q2.
∴ ana1qn－12n－2
典例突破
（二）等比数列前n项和的实际应用
例2．某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)
典例突破
（二）等比数列前n项和的实际应用
【解析】根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30000.
于是得到，整理，得1.1n＝1.6.
两边取对数，得nlg 1.1＝lg 1.6.
用计算器算得n (年)．
∴大约5年可使总销售量达到30 000台
典例突破
（二）等比数列前n项和的实际应用
【解题反思】如何求解以等比数列为模型的应用题？
答：建立数列的模型，首先要确定数列类型，然后根据题意找准首项、公比和项数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找准n的取值与年份的对应．
典例突破
（二）等比数列前n项和的实际应用
变式2. 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．已知西部某地区有耕地3 000万亩需要退耕还林，国家确定2000年在该地区退耕还林的土地面积为300万亩，以后每年退耕还林的土地面积比上一年递增20%.那么从2000年起，到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？(计算时取log1.23＝6)
典例突破
（二）等比数列前n项和的实际应用
【解析】设该地区从2000年起每年退耕还林的面积组成一个数列{an}，由题意，得an＋1＝an(1＋20%)，
∴ {an}是首项为a1＝300，公比为1.2的等比数列 ．
设 {an}的前n项和为Sn，则Sn＝3 000.
∴ ，即1.2n＝3，解得n＝log1.23＝6.
∴ 到2005年该地区基本解决退耕还林问题．
新知探究
等差数列 等比数列
与 函 数 的 关 系 公式
问题3. 类比等差数列前n项和的性质，你能否得出等比数列前n项和的性质 请完成下表.
一．前n项和公式与函数的关系
（一）等比数列前n项和公式与函数的关系
新知探究
等差数列 等比数列
与 函 数 的 关 系 与函数的关系 是关于序号n的二次函数，其图像是抛物线 上一系列孤立的点， d决定了该抛物线的开口方向.
设法 求解时，常设 ，然后用待定系数法求解.
是关于n的一个指数式与一个常数的差构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
求解时，常设
，用待定系数法.
（一）等比数列前n项和公式与函数的关系
新知探究
等差数列 等比数列
数列中的项与序号的关系 性质1 ， …成等差数列，且公差为.
性质2 当 的项数为偶数 时， .
…成等比数列，且公比为.
二．性质对比
当 的项数为偶数 时， .
（二）等比数列前n项和的性质
典例突破
（三）等比数列前n项和性质的应用
例3. 在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若S10＝10，S30＝
130，则S20的值为________．
【解析】由S10，S20－S10，S30－S20 成等比数列，
得 (S20－S10)2＝S10(S30－S20)，
即 (S20－10)2＝10(130－S20)，
解得S20＝40或S20＝－30
又 S20>0 ∴ S20＝40.
40
典例突破
变式3. 在等比数列{an}中，已知，则
( )
A． B．
C． D．
C
（三）等比数列前n项和性质的应用
典例突破
【解析】
∵ ，解得
∴ ，
又 也是等比数列，且首项为，公比为
∴ .
（三）等比数列前n项和性质的应用