人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列的概念》教学设计1
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列的概念》教学设计1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 887.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 18:17:34 | ||
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文档简介
《等比数列的概念》教学设计
一、复习回顾
教师引导学生回忆前面所学等差数列的主要内容:
1.等差数列的概念是什么
2.等差数列的通项公式是什么
师:前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列,今天我们一起研究第二类特殊的数列——等比数列.
设计意图:通过复习等差数列的有关知识,为学习等比数列作准备.
二、新知探究
请看下面几个问题中的数列.
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
①
②
.③
2.《庄子 天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”,那么从第1天开始,各天得到的“棰”的长度依次是.④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是,.⑤
4.某人存入银行元,存期为5年,年利率为,那么按照复利,他5年内每年末得到的本利和分别是,.⑥
问题1:类比等差数列的研究方法,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律 你发现了什么规律
师生活动:学生分组讨论交流,教师选代表分享讨论结果.
教师总结:我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.如果用表示数列(1),那么有,.这表明,数列①有这样的取值规律:从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于9.
师:其余几个数列也有这样的取值规律,请你写出相应的规律.
师生活动:教师先让学生自行思考,然后选择学生进行板演.
设计意图:从学生熟悉的知识背景出发,使学生在具体的问题情境中,经历知识的形成和发展过程.
问题2:类比等差数列的概念,你能从上述几个数列的规律中抽象出等比数列的概念吗
师生活动:学生相互讨论交流,必要时教师启发学生类比等差数列相关的概念得出等比数列的概念和等比中项的概念.教师参与讨论并补充学生给出概念中的不足之处,并板书概念.
等比数列的概念:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示(显然).例如,数列①~⑥的公比依次是.
与等差中项类似,如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项.此时,.
设计意图:通过几个实例帮助学生提炼出等比数列的概念,培养学生类比推导、归纳总结的能力.通过让学生发表自已的见解的过程,充分体现学生的主体地位,强调“以学生发展为核心”的原则.
问题3:你能根据等比数列的定义推导出它的通项公式吗
师生活动1:学生在教师的引导下,对实例进行观察、分析并归纳出等比数列的通项公式,教师板书推导过程.
方法一:设一个等比数列的公比为,根据等比数列的定义,可得.
所以,
,
,
……
由此可得.
又,这就是说,当时上式也成立.
因此,首项为,公比为的等比数列的通项公式为.
师生活动2:学生在教师的引导下,分析由等比数列的定义得到的几个等式,思考怎样处理能消去一些项,从而得到有关和的式子.学生自主思考,教师巡视指导,选择学生代表板演.
方法二:根据等比数列的定义,得.
把个等式的左右两侧分别依次相乘,得.整理后得.
又,这就是说,当时上式也成立.
因此,首项为,公比为的等比数列的通项公式为.
设计意图:通过引导学生用两种方法推导等比数列的通项公式,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
问题4:类似于等差数列与一次函数的关系,想一想等比数列与哪类函数有关系
师生活动:师生一起讨论,等比数列的图象有什么特点
教师总结:由可知,当且时,等比数列的第项是函数当时的函数值,即(如图所示).
反之,任给函数为常数,,且,则构成一个等比数列,其首项为,公比为.
设计意图:探究等比数列的图象与函数的图象之间的关系,引导学生深入理解函数思想.
三、例题剖析
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12,求的第5项.
师生活动:教师指名学生板演,巡视指导,纠正学生的错误.
分析:等比数列由唯一确定,可利用条件列出关于的方程(组),进行求解.
解法由,得
②的两边分别除以①的两边,得.解得或.
把代入①,得.
此时.
把代入①,得.
此时.
因此,的第5项是24或.
解法2:因为是与的等比中项,所以.所以.
因此,的第5项是24或.
教师总结:等比数列的通项公式中有四个基本量,分别是.一般已知其中的三个基本量可求得第四个基本量,我们将这类问题归结为公式的正用、逆用、变形使用问题.对于等比数列来说,因为有时计算起来会非常烦琐,所以方法的选取非常重要.一般来说,涉及列方程组的等比数列问题,大多采用两式相比,消掉首项的方式进行求解.
例2 已知等比数列的公比为,试用的第项表示.
师生活动:教师先让学生自主完成题目,然后教师总结结论.
解:由题意,得,①
.②
②的两边分别除以①的两边,得,
所以.
教师总结:此题结论可作为等比数列通项公式的推广,此公式表明等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
例3 数列共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
师生活动:学生自主完成,教师巡视指导学生,并纠正学生的错误.
分析:先利用已知条件表示出数列的各项,再进一步根据条件列方程组求解.
解:设前三项的公比为,后三项的公差为,则数列的各项依次为.
于是得
解方程组,得或
所以这个数列是,或,.
设计意图:通过解答例题,培养学生的知识应用能力,提升学生的逻辑推理与数学运算核心素养.
四、课堂小结
教师给出下面的表格,让学生从概念、通项公式、与函数的关系等多个角度类比等差数列与等比数列,并填充下列表格:
设计意图:采用类比总结的方式,帮助学生区分等差数列和等比数列,使学生更加深入地理解等比数列的相关知识.
五、布置作业
教材第31页练习第题.
板书设计:
第1课时等比数列的概念 一、复习回顾 二、新知探究 等比数列的概念:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示(显然) 与等差中项类似,如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项.此时, 三、例题剖析 例1 例2 例3 四、课堂小结 五、布置作业
教学研讨:
本案例的教学设计主要采用了两种教学方法:问题式教学法与发现式教学法.
(1)问题式教学法
教师以“问题串”的形式贯穿整个教学过程,学生在问题导向下进行积极的思考,探究,类比,讨论,学习知识.
(2)发现式教学法
新课标强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验,不能再让教学脱离学生的内心感受,必须让学生有追求过程的体验.在教学中,教师提供给学生自主探索的空间,让学生充分体验数学知识的形成过程,让学生经历观察、分析、猜想、抽象、概括、归纳、类比等发现和探索的过程,把人类已发现的“现成的数学”变为学生亲自“发现”的结论.这种亲身体验和经历的过程,如同是让学生重新经历数学的发现过程,也就是学生的“再发现”过程,可以启迪学生发现问题,再创造性地解决问题,为以后适应社会的发展,解决面临的新问题、新情况作准备.
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一、复习回顾
教师引导学生回忆前面所学等差数列的主要内容:
1.等差数列的概念是什么
2.等差数列的通项公式是什么
师:前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列,今天我们一起研究第二类特殊的数列——等比数列.
设计意图:通过复习等差数列的有关知识,为学习等比数列作准备.
二、新知探究
请看下面几个问题中的数列.
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
①
②
.③
2.《庄子 天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”,那么从第1天开始,各天得到的“棰”的长度依次是.④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是,.⑤
4.某人存入银行元,存期为5年,年利率为,那么按照复利,他5年内每年末得到的本利和分别是,.⑥
问题1:类比等差数列的研究方法,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律 你发现了什么规律
师生活动:学生分组讨论交流,教师选代表分享讨论结果.
教师总结:我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.如果用表示数列(1),那么有,.这表明,数列①有这样的取值规律:从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于9.
师:其余几个数列也有这样的取值规律,请你写出相应的规律.
师生活动:教师先让学生自行思考,然后选择学生进行板演.
设计意图:从学生熟悉的知识背景出发,使学生在具体的问题情境中,经历知识的形成和发展过程.
问题2:类比等差数列的概念,你能从上述几个数列的规律中抽象出等比数列的概念吗
师生活动:学生相互讨论交流,必要时教师启发学生类比等差数列相关的概念得出等比数列的概念和等比中项的概念.教师参与讨论并补充学生给出概念中的不足之处,并板书概念.
等比数列的概念:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示(显然).例如,数列①~⑥的公比依次是.
与等差中项类似,如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项.此时,.
设计意图:通过几个实例帮助学生提炼出等比数列的概念,培养学生类比推导、归纳总结的能力.通过让学生发表自已的见解的过程,充分体现学生的主体地位,强调“以学生发展为核心”的原则.
问题3:你能根据等比数列的定义推导出它的通项公式吗
师生活动1:学生在教师的引导下,对实例进行观察、分析并归纳出等比数列的通项公式,教师板书推导过程.
方法一:设一个等比数列的公比为,根据等比数列的定义,可得.
所以,
,
,
……
由此可得.
又,这就是说,当时上式也成立.
因此,首项为,公比为的等比数列的通项公式为.
师生活动2:学生在教师的引导下,分析由等比数列的定义得到的几个等式,思考怎样处理能消去一些项,从而得到有关和的式子.学生自主思考,教师巡视指导,选择学生代表板演.
方法二:根据等比数列的定义,得.
把个等式的左右两侧分别依次相乘,得.整理后得.
又,这就是说,当时上式也成立.
因此,首项为,公比为的等比数列的通项公式为.
设计意图:通过引导学生用两种方法推导等比数列的通项公式,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
问题4:类似于等差数列与一次函数的关系,想一想等比数列与哪类函数有关系
师生活动:师生一起讨论,等比数列的图象有什么特点
教师总结:由可知,当且时,等比数列的第项是函数当时的函数值,即(如图所示).
反之,任给函数为常数,,且,则构成一个等比数列,其首项为,公比为.
设计意图:探究等比数列的图象与函数的图象之间的关系,引导学生深入理解函数思想.
三、例题剖析
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12,求的第5项.
师生活动:教师指名学生板演,巡视指导,纠正学生的错误.
分析:等比数列由唯一确定,可利用条件列出关于的方程(组),进行求解.
解法由,得
②的两边分别除以①的两边,得.解得或.
把代入①,得.
此时.
把代入①,得.
此时.
因此,的第5项是24或.
解法2:因为是与的等比中项,所以.所以.
因此,的第5项是24或.
教师总结:等比数列的通项公式中有四个基本量,分别是.一般已知其中的三个基本量可求得第四个基本量,我们将这类问题归结为公式的正用、逆用、变形使用问题.对于等比数列来说,因为有时计算起来会非常烦琐,所以方法的选取非常重要.一般来说,涉及列方程组的等比数列问题,大多采用两式相比,消掉首项的方式进行求解.
例2 已知等比数列的公比为,试用的第项表示.
师生活动:教师先让学生自主完成题目,然后教师总结结论.
解:由题意,得,①
.②
②的两边分别除以①的两边,得,
所以.
教师总结:此题结论可作为等比数列通项公式的推广,此公式表明等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
例3 数列共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
师生活动:学生自主完成,教师巡视指导学生,并纠正学生的错误.
分析:先利用已知条件表示出数列的各项,再进一步根据条件列方程组求解.
解:设前三项的公比为,后三项的公差为,则数列的各项依次为.
于是得
解方程组,得或
所以这个数列是,或,.
设计意图:通过解答例题,培养学生的知识应用能力,提升学生的逻辑推理与数学运算核心素养.
四、课堂小结
教师给出下面的表格,让学生从概念、通项公式、与函数的关系等多个角度类比等差数列与等比数列,并填充下列表格:
设计意图:采用类比总结的方式,帮助学生区分等差数列和等比数列,使学生更加深入地理解等比数列的相关知识.
五、布置作业
教材第31页练习第题.
板书设计:
第1课时等比数列的概念 一、复习回顾 二、新知探究 等比数列的概念:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示(显然) 与等差中项类似,如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项.此时, 三、例题剖析 例1 例2 例3 四、课堂小结 五、布置作业
教学研讨:
本案例的教学设计主要采用了两种教学方法:问题式教学法与发现式教学法.
(1)问题式教学法
教师以“问题串”的形式贯穿整个教学过程,学生在问题导向下进行积极的思考,探究,类比,讨论,学习知识.
(2)发现式教学法
新课标强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验,不能再让教学脱离学生的内心感受,必须让学生有追求过程的体验.在教学中,教师提供给学生自主探索的空间,让学生充分体验数学知识的形成过程,让学生经历观察、分析、猜想、抽象、概括、归纳、类比等发现和探索的过程,把人类已发现的“现成的数学”变为学生亲自“发现”的结论.这种亲身体验和经历的过程,如同是让学生重新经历数学的发现过程,也就是学生的“再发现”过程,可以启迪学生发现问题,再创造性地解决问题,为以后适应社会的发展,解决面临的新问题、新情况作准备.
1 / 7