人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列的概念》教学设计2
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列的概念》教学设计2 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 471.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 18:18:29 | ||
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文档简介
《等比数列的概念》教学设计
一、创设情境,引入新课
师:在前几节课中,我们学习了等差数列的概念、通项公式及等差中项,今天我们就来学习另外一种特殊的数列.
实例分析1:某轿车的售价约为36万元,年折旧率约为(就是说这辆车每年减少它上一年的价值的),那么该车从购买当年算起,前4年的价值依次为多少万元
学生通过合作讨论,发现年后此轿车的价值为,从而得到数列:.①
实例分析2:据说,公元前1650年,一个名叫阿莫斯的埃及祭司在纸草上用僧侣文抄下了这样一个在他200年以前就已经被人提出的数学问题:有7座房屋,每座有7只猫,每只猫一天吃7只老鼠,每只老鼠一天吃7棵麦穗,每棵麦穗含麦子7个容积单位.问房屋、猫、老鼠、麦穗、麦子的数量各为多少
师:房屋、猫、老鼠、麦穗、麦子的数量构成的数列是什么样的
学生思考、分析房屋、猫、老鼠、麦穗、麦子之间的关系,得到下面的数列:.②
师:大家知道计算机病毒的传播速度是非常快的,让我们看这样的一个实例.
实例分析3:一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿,并通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计算机的数量构成的数列是什么样的
学生通过分组合作讨论,得到病毒每一轮感染的计算机的数量构成的数列是.③
师:回忆等差数列的概念,观察上面的数列①②③,说说它们有什么共同的特点
引导学生类比等差关系和等差数列的概念,发现等比关系.我们可以发现:
数列①从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于;
数列②从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于7;
数列③从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于20.
也就是说,这些数列有一个共同的特点:从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数.
这就是我们今天要研究的课题——等比数列的概念.
设计意图:通过对实例的探究,激发学生的学习兴趣,也可使学生发现所给数列的共同特点,进一步归纳总结出等比数列的概念.
二、探究新知
1.等比数列的概念
探究1 类比等差数列的概念,大家能否给等比数列下个定义
师:从上面的实例中,我们发现了数列的共同特点.请同学们思考一下,类比等差数列的概念,如何给等比数列下一个定义
师生活动:教师让学生独立思考,通过类比等差数列,得出等比数列的概念,教师随时补充.
等比数列的概念:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示(显然).
设计意图:类比等差数列的概念得出等比数列的概念,让学生体会类比思想.
师:用数学符号语言怎样表示等比数列的概念呢 设一个数列,如果我们用表示第项,那么它的前一项怎样表示,每一项与它的前一项的比怎样表示 这里的的取值范围是多少
学生分组讨论,交流观点,得出或.
师:请同学们思考上面公式中的可否等于0
学生分组讨论,得到.
师:等比数列的概念中,可否去掉“”的条件 为什么 能否将“”改写成“” 为什么
学生分组讨论,得到不能去掉“”的条件.在等比数列中,从第2项起,每一项与它的前一项的比为公比,因为除数不能为0,所以公比这个表达式说明在等比数列中,任意项都不能为0.
设计意图:引导学生进一步理解等比数列的概念.
师:那么是否存在一个数列,既是等差数列又是等比数列呢
生:常数列.
师:有不同的意见吗
生:非零的常数列既是等差数列又是等比数列.
师:下面利用等比数列的概念解决等比数列的一些问题.
例1 判断下列数列是否为等比数列,若是,请指出公比.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
分析:运用等比数列的概念进行判断.
解:(1)不是.(2)是,.(3)是,.(4)是,.(5)不是.
师生活动:学生自主完成,教师巡视指导并及时纠正学生的错误.
师:请同学们思考公比的取值范围是什么呢
生:正数、负数,但是不能为零.
设计意图:通过例题加深学生对等比数列的概念的理解.
例2 求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列.
(1)1,_____,9;(2)-1,_______,;
(3),_______,;(4)1,________,1.
分析:运用等比数列的概念解决问题.
解:(1) (2) (3) (4)
师生活动:教师引导学生利用等比数列的概念自主完成填空.
生1:根据等比数列的定义,(1)中插入3后,构成等比数列.
生(1)中插入后,也能构成等比数列.
学生思考后,得出两个答案都正确的结论.
下面三个小题可根据(1),顺利得到答案.
师:在学习等差数列的概念后,我们也做过这样的题目,在两数中间插入一个数,使三数成等差数列,那么我们把中间的这个数称为等差中项.类比等差中项的概念,我们把刚才插入的那个数称为等比中项.
设计意图:通过运用等比数列的概念解决问题,初步感知等比中项的概念.
2.等比中项的概念
探究2:在前面的等差数列的一节里,我们已学过等差中项的概念,你能仿照等差中项的概念,给出等比中项的概念吗 等差中项与等比中项有何差异
师:类比等差中项的概念,同学们给等比中项下个定义吧.
师生活动:学生分组讨论,类比等差中项的概念,各组汇报等比中项的概念,教师补充.
等比中项的概念:如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项.任何两个数都有等差中项,有且只有一个,但只有同号的两个数才有等比中项,并且有两个,且互为相反数.
3.等比数列的通项公式
师:我们继续来研究以下情境中的三个数列.
探究3:试着写出情境中的三个数列的通项公式,并猜想等比数列的通项公式.
师:请各位同学试着写出以上三个数列的通项公式.
生:通过观察,看出这三个数列的通项公式分别是
①;②;③.
师:请同学们思考一下这三个公式中相同的地方,猜想等比数列的通项公式.
生:观察发现每一个公式都有次幂的形式,而且乘号前面的数字都是首项,乘号后面的数字都是各数列的公比,所以猜想等比数列的通项公式是.
设计意图:通过引导学生先写出具体实例的通项公式,再猜想出等比数列的通项公式,让学生重新经历“发现数学知识”的过程,理解由特殊到一般的数学思想.
探究4:类比等差数列的通项公式的推导过程,请你推导出首项为,公比是的等比数列的通项公式.
师:请同学们类比之前的等差数列的通项公式的推导过程,推导出首项为,公比是的等比数列的通项公式.
生:类比等差数列的通项公式的推导过程,设等比数列的首项为,公比为,根据等比数列的定义,可得
,
,
,
......
由此可得.
又,这就是说,当时上式也成立.
因此,首项为,公比为的等比数列的通项公式为.
师:请同学们想一想,还有其他的方法推导等比数列的通项公式吗
生:根据等比数列的定义,我们还可以写出,把个等式的左右两侧分别依次相乘,得.整理后得.
又,这就是说,当时上式也成立.
因此,首项为,公比为的等比数列的通项公式为.
师:等比数列的通项公式为.
师:我们知道了等比数列的通项公式后,下面来看一下它有哪些应用.
例3 已知等比数列的公比为,试用的第项表示.
解:由题意,得,①.②
②的两边分别除以①的两边,得,
所以.
师生活动:教师引导学生分析题目并让学生自主完成,师生共同总结结论.
设计意图:此公式可看作等比数列的通项公式的推广.
例4 数列共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132,求这个数列.
分析:先利用已知条件表示出数列的各项,再进一步根据条件列方程组求解.
解:设前三项的公比为,后三项的公差为,则数列的各项依次为.
于是得
解方程组,得或
所以这个数列是,或,.
师生活动:教师引导学生分析解题思路,指名学生板演,教师评价讲解.
设计意图:通过解决等比数列与等差数列的综合问题,培养学生的知识应用能力.
4.等比数列与函数的关系
探究5:类比等差数列与一次函数的关系,想一想等比数列与哪类函数有关系
师:请同学们画出通项公式为的数列的图象,再在坐标系中画出函数的图象,观察它们之间的关系.
学生通过动手作图,发现规律,总结规律.当且时,等比数列的第项是函数当时的函数值,即.
教师通过几何画板演示动画,并进行解释:等比数列的通项公式还可以写成(其中,当为不等于1的正数时,是一个指数函数,是一个非零常数与一个指数函数的积.因此从图象上看,表示数列的点都在函数的图象上(如图所示).
设计意图:探究等比数列的图象与函数的图象之间的关系,引导学生深入理解函数思想.
三、归纳总结,提炼精华
1.等比数列的概念:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示.
2.等比中项的概念:如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项.此时,.
3.(1)等比数列的通项公式:.
(2)等比数列的通项公式的推广:.
4.等比数列与函数的关系.
师:通过本节课的学习,你有哪些收获
生1:在本节课中,我学习了等比数列的概念、等比中项的概念,学习了等比数列的通项公式的推导方法,最后学习了等比数列和函数之间的关系.
生2:在本节课中我还学习了类比的思想.
师:我们还学习了方程的思想以及函数的思想.
设计意图:通过自已的总结,加深对所学知识的理解,更进一步体会本节所涉及的数学思想.同时也构建了知识体系,理清了知识脉络,形成了良好的学习习惯.
四、当堂检测
1.在等比数列中,若,则公比( )
A.
B.
C.
D.或
2.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为( )
A.4
B.8
C.6
D.32
和80的等比中项为_______.
4.在等比数列中.
(1)已知,求;
(2)已知,求.
参考答案:
1.C(点拨:由解得或又,因此.)
2.C(点拨:由等比数列的通项公式得,,所以.)
(点拨:设45和80的等比中项为,则,所以.)
4.(1)由等比数列的通项公式得.
(2)设等比数列的公比为,
由题意得解得
所以.
五、布置作业
教材第31页练习第题.
板书设计:
第1课时等比数列的概念 一、创设情境,引入新课 实例.① 实例.② 实例③ 二、探究新知 1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示 例1 例2 2.等比中项的概念 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项 3.等比数列的通项公式 首项为,公比为的等比数列的通项公式为 例3 等比数列的通项公式的推广: 例4 4.等比数列与函数的关系 三、归纳总结,提炼精华 四、当堂检测 五、布置作业
教学研讨:
本案例将类比思想贯穿整节课.等差数列和等比数列具有极其相似的特点,运用类比的方法,可使很多相关性质得以类比和迁移.在这个过程中让学生体会到:探究陌生的知识并不都是高不可攀的事情,我们也可以做一些看似数学家才能完成的事.
本案例加强了教学的实际背景.等比数列有着非常广泛的实际应用,如轿车折旧的问题、计算机病毒的传播问题等.教师在教学时不是简单地教授学生等比数列的相关知识,而是通过创设一些实际的问题情境,使学生自已去发现知识并探索其意义.
本案例训练了学生的数学思维,在教学过程中逐渐培养了学生的逻辑思维能力,强调学生发现新知识的过程,强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验,不再让教学脱离学生的内心感受,从而可以进一步提升学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
1 / 10
一、创设情境,引入新课
师:在前几节课中,我们学习了等差数列的概念、通项公式及等差中项,今天我们就来学习另外一种特殊的数列.
实例分析1:某轿车的售价约为36万元,年折旧率约为(就是说这辆车每年减少它上一年的价值的),那么该车从购买当年算起,前4年的价值依次为多少万元
学生通过合作讨论,发现年后此轿车的价值为,从而得到数列:.①
实例分析2:据说,公元前1650年,一个名叫阿莫斯的埃及祭司在纸草上用僧侣文抄下了这样一个在他200年以前就已经被人提出的数学问题:有7座房屋,每座有7只猫,每只猫一天吃7只老鼠,每只老鼠一天吃7棵麦穗,每棵麦穗含麦子7个容积单位.问房屋、猫、老鼠、麦穗、麦子的数量各为多少
师:房屋、猫、老鼠、麦穗、麦子的数量构成的数列是什么样的
学生思考、分析房屋、猫、老鼠、麦穗、麦子之间的关系,得到下面的数列:.②
师:大家知道计算机病毒的传播速度是非常快的,让我们看这样的一个实例.
实例分析3:一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿,并通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计算机的数量构成的数列是什么样的
学生通过分组合作讨论,得到病毒每一轮感染的计算机的数量构成的数列是.③
师:回忆等差数列的概念,观察上面的数列①②③,说说它们有什么共同的特点
引导学生类比等差关系和等差数列的概念,发现等比关系.我们可以发现:
数列①从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于;
数列②从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于7;
数列③从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于20.
也就是说,这些数列有一个共同的特点:从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数.
这就是我们今天要研究的课题——等比数列的概念.
设计意图:通过对实例的探究,激发学生的学习兴趣,也可使学生发现所给数列的共同特点,进一步归纳总结出等比数列的概念.
二、探究新知
1.等比数列的概念
探究1 类比等差数列的概念,大家能否给等比数列下个定义
师:从上面的实例中,我们发现了数列的共同特点.请同学们思考一下,类比等差数列的概念,如何给等比数列下一个定义
师生活动:教师让学生独立思考,通过类比等差数列,得出等比数列的概念,教师随时补充.
等比数列的概念:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示(显然).
设计意图:类比等差数列的概念得出等比数列的概念,让学生体会类比思想.
师:用数学符号语言怎样表示等比数列的概念呢 设一个数列,如果我们用表示第项,那么它的前一项怎样表示,每一项与它的前一项的比怎样表示 这里的的取值范围是多少
学生分组讨论,交流观点,得出或.
师:请同学们思考上面公式中的可否等于0
学生分组讨论,得到.
师:等比数列的概念中,可否去掉“”的条件 为什么 能否将“”改写成“” 为什么
学生分组讨论,得到不能去掉“”的条件.在等比数列中,从第2项起,每一项与它的前一项的比为公比,因为除数不能为0,所以公比这个表达式说明在等比数列中,任意项都不能为0.
设计意图:引导学生进一步理解等比数列的概念.
师:那么是否存在一个数列,既是等差数列又是等比数列呢
生:常数列.
师:有不同的意见吗
生:非零的常数列既是等差数列又是等比数列.
师:下面利用等比数列的概念解决等比数列的一些问题.
例1 判断下列数列是否为等比数列,若是,请指出公比.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
分析:运用等比数列的概念进行判断.
解:(1)不是.(2)是,.(3)是,.(4)是,.(5)不是.
师生活动:学生自主完成,教师巡视指导并及时纠正学生的错误.
师:请同学们思考公比的取值范围是什么呢
生:正数、负数,但是不能为零.
设计意图:通过例题加深学生对等比数列的概念的理解.
例2 求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列.
(1)1,_____,9;(2)-1,_______,;
(3),_______,;(4)1,________,1.
分析:运用等比数列的概念解决问题.
解:(1) (2) (3) (4)
师生活动:教师引导学生利用等比数列的概念自主完成填空.
生1:根据等比数列的定义,(1)中插入3后,构成等比数列.
生(1)中插入后,也能构成等比数列.
学生思考后,得出两个答案都正确的结论.
下面三个小题可根据(1),顺利得到答案.
师:在学习等差数列的概念后,我们也做过这样的题目,在两数中间插入一个数,使三数成等差数列,那么我们把中间的这个数称为等差中项.类比等差中项的概念,我们把刚才插入的那个数称为等比中项.
设计意图:通过运用等比数列的概念解决问题,初步感知等比中项的概念.
2.等比中项的概念
探究2:在前面的等差数列的一节里,我们已学过等差中项的概念,你能仿照等差中项的概念,给出等比中项的概念吗 等差中项与等比中项有何差异
师:类比等差中项的概念,同学们给等比中项下个定义吧.
师生活动:学生分组讨论,类比等差中项的概念,各组汇报等比中项的概念,教师补充.
等比中项的概念:如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项.任何两个数都有等差中项,有且只有一个,但只有同号的两个数才有等比中项,并且有两个,且互为相反数.
3.等比数列的通项公式
师:我们继续来研究以下情境中的三个数列.
探究3:试着写出情境中的三个数列的通项公式,并猜想等比数列的通项公式.
师:请各位同学试着写出以上三个数列的通项公式.
生:通过观察,看出这三个数列的通项公式分别是
①;②;③.
师:请同学们思考一下这三个公式中相同的地方,猜想等比数列的通项公式.
生:观察发现每一个公式都有次幂的形式,而且乘号前面的数字都是首项,乘号后面的数字都是各数列的公比,所以猜想等比数列的通项公式是.
设计意图:通过引导学生先写出具体实例的通项公式,再猜想出等比数列的通项公式,让学生重新经历“发现数学知识”的过程,理解由特殊到一般的数学思想.
探究4:类比等差数列的通项公式的推导过程,请你推导出首项为,公比是的等比数列的通项公式.
师:请同学们类比之前的等差数列的通项公式的推导过程,推导出首项为,公比是的等比数列的通项公式.
生:类比等差数列的通项公式的推导过程,设等比数列的首项为,公比为,根据等比数列的定义,可得
,
,
,
......
由此可得.
又,这就是说,当时上式也成立.
因此,首项为,公比为的等比数列的通项公式为.
师:请同学们想一想,还有其他的方法推导等比数列的通项公式吗
生:根据等比数列的定义,我们还可以写出,把个等式的左右两侧分别依次相乘,得.整理后得.
又,这就是说,当时上式也成立.
因此,首项为,公比为的等比数列的通项公式为.
师:等比数列的通项公式为.
师:我们知道了等比数列的通项公式后,下面来看一下它有哪些应用.
例3 已知等比数列的公比为,试用的第项表示.
解:由题意,得,①.②
②的两边分别除以①的两边,得,
所以.
师生活动:教师引导学生分析题目并让学生自主完成,师生共同总结结论.
设计意图:此公式可看作等比数列的通项公式的推广.
例4 数列共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132,求这个数列.
分析:先利用已知条件表示出数列的各项,再进一步根据条件列方程组求解.
解:设前三项的公比为,后三项的公差为,则数列的各项依次为.
于是得
解方程组,得或
所以这个数列是,或,.
师生活动:教师引导学生分析解题思路,指名学生板演,教师评价讲解.
设计意图:通过解决等比数列与等差数列的综合问题,培养学生的知识应用能力.
4.等比数列与函数的关系
探究5:类比等差数列与一次函数的关系,想一想等比数列与哪类函数有关系
师:请同学们画出通项公式为的数列的图象,再在坐标系中画出函数的图象,观察它们之间的关系.
学生通过动手作图,发现规律,总结规律.当且时,等比数列的第项是函数当时的函数值,即.
教师通过几何画板演示动画,并进行解释:等比数列的通项公式还可以写成(其中,当为不等于1的正数时,是一个指数函数,是一个非零常数与一个指数函数的积.因此从图象上看,表示数列的点都在函数的图象上(如图所示).
设计意图:探究等比数列的图象与函数的图象之间的关系,引导学生深入理解函数思想.
三、归纳总结,提炼精华
1.等比数列的概念:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示.
2.等比中项的概念:如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项.此时,.
3.(1)等比数列的通项公式:.
(2)等比数列的通项公式的推广:.
4.等比数列与函数的关系.
师:通过本节课的学习,你有哪些收获
生1:在本节课中,我学习了等比数列的概念、等比中项的概念,学习了等比数列的通项公式的推导方法,最后学习了等比数列和函数之间的关系.
生2:在本节课中我还学习了类比的思想.
师:我们还学习了方程的思想以及函数的思想.
设计意图:通过自已的总结,加深对所学知识的理解,更进一步体会本节所涉及的数学思想.同时也构建了知识体系,理清了知识脉络,形成了良好的学习习惯.
四、当堂检测
1.在等比数列中,若,则公比( )
A.
B.
C.
D.或
2.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为( )
A.4
B.8
C.6
D.32
和80的等比中项为_______.
4.在等比数列中.
(1)已知,求;
(2)已知,求.
参考答案:
1.C(点拨:由解得或又,因此.)
2.C(点拨:由等比数列的通项公式得,,所以.)
(点拨:设45和80的等比中项为,则,所以.)
4.(1)由等比数列的通项公式得.
(2)设等比数列的公比为,
由题意得解得
所以.
五、布置作业
教材第31页练习第题.
板书设计:
第1课时等比数列的概念 一、创设情境,引入新课 实例.① 实例.② 实例③ 二、探究新知 1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示 例1 例2 2.等比中项的概念 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项 3.等比数列的通项公式 首项为,公比为的等比数列的通项公式为 例3 等比数列的通项公式的推广: 例4 4.等比数列与函数的关系 三、归纳总结,提炼精华 四、当堂检测 五、布置作业
教学研讨:
本案例将类比思想贯穿整节课.等差数列和等比数列具有极其相似的特点,运用类比的方法,可使很多相关性质得以类比和迁移.在这个过程中让学生体会到:探究陌生的知识并不都是高不可攀的事情,我们也可以做一些看似数学家才能完成的事.
本案例加强了教学的实际背景.等比数列有着非常广泛的实际应用,如轿车折旧的问题、计算机病毒的传播问题等.教师在教学时不是简单地教授学生等比数列的相关知识,而是通过创设一些实际的问题情境,使学生自已去发现知识并探索其意义.
本案例训练了学生的数学思维,在教学过程中逐渐培养了学生的逻辑思维能力,强调学生发现新知识的过程,强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验,不再让教学脱离学生的内心感受,从而可以进一步提升学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
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