人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列的前n项和》教学设计1
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列的前n项和》教学设计1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 239.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 18:19:32 | ||
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文档简介
《等比数列的前n项和》教学设计
一、创设情境
关于国际象棋有这样一个传说,古印度国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.已知1000颗麦粒的质量约为40g,据查,2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨,根据以上数据,判断国王是否能实现他的诺言.
教师提问:同学们,如何计算从第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和呢
学生回答:.
教师小结:我们发现,这是首项为1,公比为2的等比数列前64项的和.
教师提问:如何求这个等比数列前64项的和呢
设计意图:
通过创设情境,把实际问题转化为求等比数列的前项和的问题,激发学生的学习兴趣和热情.
二、探索发现
1.探索求和
(主要引导学生通过对等比数列的前项和的式子特点进行观察与分析,从而解决问题)
师生活动:设,记为(1)式,引导学生观察这个式子的右边每一项的特征,思考它们之间的联系.
教师提问:用什么办法可以消除它们之间的不同
(这个式子的右边每一项都是前一项的2倍,每一项都乘2,就变成了它的后一项)
教师提问:将(1)式两边同乘2,可得,记为(2)式.比较(1)(2)两式,你有什么发现
经过比较、研究之后,学生发现:(1)(2)两式的右边有许多相同的项,把两式相减,相同的项就消去了,得到.
师生活动:教师指出这就是“错位相减法”,并让学生整理解题思路.
师:这个数很大,超过了.如果1000颗麦粒的质量约为,那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨,约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍.因此,国王根本不可能实现他的诺言.
设计意图:
通过对具体的实例进行分析,探索求和的方法,为进一步推导等比数列的前项和公式作准备.与此同时,对引入课题时的问题给予解答,有助于学生进一步思考问题.
2.推导公式
教师提问:刚才我们求的是首项为1,公比为2的等比数列前64项的和.设等比数列的首项为,公比为,怎样求其前项和
师生活动:学生思考、讨论、交流,教师巡视指导,归纳总结.
等比数列的前项和是.
根据等比数列的通项公式,上式可写成
我们发现,如果用公比乘①的两边,可得
①②两式的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,就可以消去这些相同的项,可得,即.
因此,当时,我们就得到了等比数列的前项和公式
教师提问:当时,等比数列的前项和等于多少
生:当时,.
师:结合等比数列的通项公式,当时,公式(1)还可以写成.(2)
讨论交流,延伸拓展:
教师提问:探究等比数列的前项和公式,还有其他方法吗
师生共同讨论并总结出三种方法.
方法一:累加法
,
,
,
……
.
上式累加得到.
当时,;
当时,.
方法二:提取公比法
当时,;
当时,.
方法三:等比定理法
当时,;
当时,.
设计意图:通过问题引导学生思考,激发学生的探索欲望,对学生的思维发展具有促进作用.
三、知识辨析
判 对错.
(1)( )
(2).(
(3)若且,则.
师生活动:教师引导学生用所学方法解决问题.
设计意图:
在理解公式的基础上,及时进行练习,考查学生对公式的掌握情况,加深学生对公式的理解.
四、典例讲解
例1 已知数列是等比数列.
(1)若,求;
(2)若,求;
(3)若,求.
师生活动:教师先让学生独立思考,自主解题,再请学生板演,然后让其他同学进行评价,最后教师提出问题:对于等比数列的相关量,已知几个量就可以确定其他量 学生讨论交流后回答问题,最后师生共同进行总结.
解:(1)因为,
所以.
(2)由,可得
,即.
又由,得,
所以.
(3)把代入,得
.
整理,得.解得.
设计意图:通过例题的解答和讲解,让学生熟练公式的运用,重视公式的选择,进一步提高学生运用知识解决问题的能力.另外,要让学生明确若知道等比数列的五个基本量中的任意三个就能求出另外两个.
例2 已知等比数列的首项为,前项和为.若,求公比.
师生活动:首先让学生独立思考,自主解题,再请学生上台来用实物投影仪演示他们的解答过程,最后教师进行评价,指出解答过程中要注意的问题.
解:若,则,所以.
当时,由,得
整理,得,则.所以.
设计意图:
通过例题的解答,渗透分类讨论思想,加深对等比数列的前项和公式的理解.
例3 已知等比数列的公比,前项和为.证明成等比数列,并求这个数列的公比.
师生活动:教师引导学生分析证明思路,指名学生板演证明过程.
证明:当时,
,
,
,
所以成等比数列,公比为1.
当时,
所以.
因为为常数,所以成等比数列,公比为.
设计意图:
通过例题的证明与讲解,了解等比数列前项和的性质,培养学生的逻辑推理核心素养.
五、课堂小结
师生活动:教师引导学生从知识、思想、方法三个方面对本节内容进行总结.
设计意图:通过课堂小结,加深学生对所学知识的理解,培养学生的语言表达能力和归纳概括能力.
六、布置作业
教材第37页练习第题.
板书设计:
第1课时 等比数列的前项和 一、创设情境 二、探索发现 等比数列的前项和公式: 三、知识辨析 四、典例讲解 例1 例2 例3 五、课堂小结 六、布置作业
教学研讨:
本案例的教学设计通过让学生在教师创设的问题情境中提炼、思考、解决数学问题,进而提高观察、概括、归纳和动手尝试的能力.结合教师的点拨提问,学生经过探究论证形成对等比数列的前n项和公式的认识.在反馈矫正环节,学生通过训练题,及时发现并纠正自身不足,在教师的及时点拨下提高对等比数列的前n项和公式的应用能力,通过课堂小结回顾当堂所学,加深学生对新知的理解与记忆.整个过程,体现了学生的主体地位,变学生被动接受式学习为主动参与式学习,培养了学生的数学素养,形成了实事求是的科学态度,增强了锲而不舍的求学精神.
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一、创设情境
关于国际象棋有这样一个传说,古印度国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.已知1000颗麦粒的质量约为40g,据查,2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨,根据以上数据,判断国王是否能实现他的诺言.
教师提问:同学们,如何计算从第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和呢
学生回答:.
教师小结:我们发现,这是首项为1,公比为2的等比数列前64项的和.
教师提问:如何求这个等比数列前64项的和呢
设计意图:
通过创设情境,把实际问题转化为求等比数列的前项和的问题,激发学生的学习兴趣和热情.
二、探索发现
1.探索求和
(主要引导学生通过对等比数列的前项和的式子特点进行观察与分析,从而解决问题)
师生活动:设,记为(1)式,引导学生观察这个式子的右边每一项的特征,思考它们之间的联系.
教师提问:用什么办法可以消除它们之间的不同
(这个式子的右边每一项都是前一项的2倍,每一项都乘2,就变成了它的后一项)
教师提问:将(1)式两边同乘2,可得,记为(2)式.比较(1)(2)两式,你有什么发现
经过比较、研究之后,学生发现:(1)(2)两式的右边有许多相同的项,把两式相减,相同的项就消去了,得到.
师生活动:教师指出这就是“错位相减法”,并让学生整理解题思路.
师:这个数很大,超过了.如果1000颗麦粒的质量约为,那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨,约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍.因此,国王根本不可能实现他的诺言.
设计意图:
通过对具体的实例进行分析,探索求和的方法,为进一步推导等比数列的前项和公式作准备.与此同时,对引入课题时的问题给予解答,有助于学生进一步思考问题.
2.推导公式
教师提问:刚才我们求的是首项为1,公比为2的等比数列前64项的和.设等比数列的首项为,公比为,怎样求其前项和
师生活动:学生思考、讨论、交流,教师巡视指导,归纳总结.
等比数列的前项和是.
根据等比数列的通项公式,上式可写成
我们发现,如果用公比乘①的两边,可得
①②两式的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,就可以消去这些相同的项,可得,即.
因此,当时,我们就得到了等比数列的前项和公式
教师提问:当时,等比数列的前项和等于多少
生:当时,.
师:结合等比数列的通项公式,当时,公式(1)还可以写成.(2)
讨论交流,延伸拓展:
教师提问:探究等比数列的前项和公式,还有其他方法吗
师生共同讨论并总结出三种方法.
方法一:累加法
,
,
,
……
.
上式累加得到.
当时,;
当时,.
方法二:提取公比法
当时,;
当时,.
方法三:等比定理法
当时,;
当时,.
设计意图:通过问题引导学生思考,激发学生的探索欲望,对学生的思维发展具有促进作用.
三、知识辨析
判 对错.
(1)( )
(2).(
(3)若且,则.
师生活动:教师引导学生用所学方法解决问题.
设计意图:
在理解公式的基础上,及时进行练习,考查学生对公式的掌握情况,加深学生对公式的理解.
四、典例讲解
例1 已知数列是等比数列.
(1)若,求;
(2)若,求;
(3)若,求.
师生活动:教师先让学生独立思考,自主解题,再请学生板演,然后让其他同学进行评价,最后教师提出问题:对于等比数列的相关量,已知几个量就可以确定其他量 学生讨论交流后回答问题,最后师生共同进行总结.
解:(1)因为,
所以.
(2)由,可得
,即.
又由,得,
所以.
(3)把代入,得
.
整理,得.解得.
设计意图:通过例题的解答和讲解,让学生熟练公式的运用,重视公式的选择,进一步提高学生运用知识解决问题的能力.另外,要让学生明确若知道等比数列的五个基本量中的任意三个就能求出另外两个.
例2 已知等比数列的首项为,前项和为.若,求公比.
师生活动:首先让学生独立思考,自主解题,再请学生上台来用实物投影仪演示他们的解答过程,最后教师进行评价,指出解答过程中要注意的问题.
解:若,则,所以.
当时,由,得
整理,得,则.所以.
设计意图:
通过例题的解答,渗透分类讨论思想,加深对等比数列的前项和公式的理解.
例3 已知等比数列的公比,前项和为.证明成等比数列,并求这个数列的公比.
师生活动:教师引导学生分析证明思路,指名学生板演证明过程.
证明:当时,
,
,
,
所以成等比数列,公比为1.
当时,
所以.
因为为常数,所以成等比数列,公比为.
设计意图:
通过例题的证明与讲解,了解等比数列前项和的性质,培养学生的逻辑推理核心素养.
五、课堂小结
师生活动:教师引导学生从知识、思想、方法三个方面对本节内容进行总结.
设计意图:通过课堂小结,加深学生对所学知识的理解,培养学生的语言表达能力和归纳概括能力.
六、布置作业
教材第37页练习第题.
板书设计:
第1课时 等比数列的前项和 一、创设情境 二、探索发现 等比数列的前项和公式: 三、知识辨析 四、典例讲解 例1 例2 例3 五、课堂小结 六、布置作业
教学研讨:
本案例的教学设计通过让学生在教师创设的问题情境中提炼、思考、解决数学问题,进而提高观察、概括、归纳和动手尝试的能力.结合教师的点拨提问,学生经过探究论证形成对等比数列的前n项和公式的认识.在反馈矫正环节,学生通过训练题,及时发现并纠正自身不足,在教师的及时点拨下提高对等比数列的前n项和公式的应用能力,通过课堂小结回顾当堂所学,加深学生对新知的理解与记忆.整个过程,体现了学生的主体地位,变学生被动接受式学习为主动参与式学习,培养了学生的数学素养,形成了实事求是的科学态度,增强了锲而不舍的求学精神.
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