人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列的前n项和》教学设计2
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列的前n项和》教学设计2 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 234.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 18:19:58 | ||
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文档简介
《等比数列的前n项和》教学设计
一、创设情境,提出问题
为了渡过难关,有个穷人决定到财主那里去借钱,原以为财主不会借钱给自己,哪知财主立刻就答应了自己的请求.但提出了如下条件:在30天中,每天借给穷人10万元.借钱第一天,穷人还1分钱;第二天,还2分钱;以后每天所还的钱数都是前一天的2倍,30天后,互不相欠.穷人听后觉得很划算,本想同意这个条件,但又想到此财主平时是出了名的吝啬,怕上当受骗,便请教阿凡提.阿凡提眼珠一转,就痛斥了为富不仁的财主一番,你知道为什么吗 相信学习了等比数列的前n项和这节课后,你就能明白其中的缘由了.
设计意图:
故事内容紧扣本节课题,在引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学生的积极性.
二、师生互动,探究问题
教师提问:同学们,你们知道借款数目和还款数目分别是多少吗
引导学生写出借款数目:(万元),还款数目:(分).
带着这样的问题,学生会动手计算.他们想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和.这时教师可对他们的这种思路给予肯定.
在肯定他们的思路后,教师接着问:是什么数列 有何特征
应归结为什么数学问题呢
学情预设:
探讨1:设,记为(1)式,注意观察这个式子的右边每一项的特征,有何联系 (后一项都是前一项的2倍)
探讨2:如果我们把这个式子的右边每一项都乘2,就变成了它的后一项.
将(1)式两边同乘2,可得,记为(2)式.
师:比较(1)(2)两式,你有什么发现
经过比较、研究之后,学生发现:(1)(2)两式的右边有许多相同的项,把两式相减,相同的项就消去了,得到.
教师指出这就是“错位相减法”,并要求学生整理解题思路,反思:为什么(1)式两边要同乘2呢
设计意图:
让学生在探究问题的过程中,充分感受到成功所带来的喜悦,从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心.
三、类比联想,推导公式
教师继续引导学生将结论一般化,设等比数列的首项为,公比为,如何求其前项和
师生活动:教师让学生自主完成,并指名学生在黑板上写出结论,然后对个别学生进行指导.
设计意图:
在教师的指导下,学生经历从特殊到一般,从已知到未知的学习过程,然后总结出公式,从中体验到学习的愉快和成就感.
在学生推导完成后,教师再问:由,得对不对 这里的能不能等于1 等比数列中的公比能不能为1 当时是什么数列 此时等于多少 (这里引导学生对进行分类讨论,得出公式,同时为后面例题的教学打下基础)
生:当时,;当时,.
再次追问:结合等比数列的通项公式,如何用把表示出来 (引导学生得出公式的另一种形式)
生:因为,所以公式还可以写成.
设计意图:通过不断地提出与解决问题,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识的结构;另一方面使学生由简单的模仿和接受,变为对知识的主动认识和发现,从而进一步提高分析问题、解决问题的能力.
四、讨论交流,延伸拓展
教师提问:探究等比数列的前项和公式,还有其他方法吗
我们知道,,那么我们能否利用这个关系,从而求出呢 根据等比数列的定义又有,能否联想到等比定理,从而求出呢
设计意图:
以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归为,这其实就是关于的一个递推式.递推数列有非常重要的研究价值,是研究性学习和课外拓展的极佳资源,它源于教材,又高于教材,对学生的思维发展具有促进作用.
五、应用举例,变式训练
例1 求等比数列前8项的和.
师生活动:学生自主解题,教师指名学生板演,然后教师进行点评.
解:因为,
所以当时,.
师生活动:学生完成例1的解答后,教师给出下面的变式训练题,先让学生独立完成,然后再进行讲解.
变式训练1 等比数列前多少项的和是
答案:设等比数列前项的和是,则,
整理,得,所以.
所以等比数列前6项的和是.
变式训练2 求等比数列第5项到第10项的和.
答案:等比数列第5项到第10项构成首项为,公比为,项数为6的等比数列,故所求和为.
变式训练3 求等比数列前项中所有偶数项的和.
答案:等比数列前项中所有偶数项构成首项为,公比为,项数为的等比数列,故所求和为.
设计意图:
通过例题与变式训练,深化学生对公式的认识和理解.
例2 在等比数列中,
(1)若,求和;
(2)已知,求.
师生活动:教师引导学生分析解题思路,适时给予点拨.学生完成解答后,教师进行评价讲解.
解:(1)因为,
所以,所以.
又因为,
所以由公式,得,解得.
又由公式,得,所以,解得.
(2)设的公比为,由知,
所以解得或所以或.
设计意图:培养学生灵活应用等比数列的前项和公式解决问题的能力.
例3 求和:.
师生活动:解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨,学生完成解答过程.
解:记,
当时,;
当时,;
当且时,.
变式训练 求和:.
答案:当时,;
当时,,
,
所以,
所以.
综上所述,
设计意图:培养学生对含有参数的数列求和问题进行分类讨论的能力.
六、归纳总结,加深理解
教师以提问的形式引导学生回顾本节所学的公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后再让学生从知识点及数学思想方法两方面进行归纳总结.
七、故事结束,首尾呼应
现在我们回到这节课开始时故事中的问题,利用等比数列的前项和公式可以计算出(分)(万元)(万元).因此,穷人不能向财主借钱.
设计意图:
把引入课题时的问题给予解答,有助于学生真正理解数学来源于生活,而又应用于生活.
八、布置作业
教材第37页练习第题.
板书设计:
第1课时 等比数列的前项和 一、创设情境,提出问题 二、师生互动,探究问题 借款数目:(万元) 还款数目:(分) 三、类比联想,推导公式 等比数列的前项和公式: 四、讨论交流,延伸拓展 五、应用举例,变式训练 例1 变式训练1 变式训练2 变式训练3 例2 例3 变式训练 六、归纳总结,加深理解 七、故事结束,首尾呼应 八、布置作业
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一、创设情境,提出问题
为了渡过难关,有个穷人决定到财主那里去借钱,原以为财主不会借钱给自己,哪知财主立刻就答应了自己的请求.但提出了如下条件:在30天中,每天借给穷人10万元.借钱第一天,穷人还1分钱;第二天,还2分钱;以后每天所还的钱数都是前一天的2倍,30天后,互不相欠.穷人听后觉得很划算,本想同意这个条件,但又想到此财主平时是出了名的吝啬,怕上当受骗,便请教阿凡提.阿凡提眼珠一转,就痛斥了为富不仁的财主一番,你知道为什么吗 相信学习了等比数列的前n项和这节课后,你就能明白其中的缘由了.
设计意图:
故事内容紧扣本节课题,在引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学生的积极性.
二、师生互动,探究问题
教师提问:同学们,你们知道借款数目和还款数目分别是多少吗
引导学生写出借款数目:(万元),还款数目:(分).
带着这样的问题,学生会动手计算.他们想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和.这时教师可对他们的这种思路给予肯定.
在肯定他们的思路后,教师接着问:是什么数列 有何特征
应归结为什么数学问题呢
学情预设:
探讨1:设,记为(1)式,注意观察这个式子的右边每一项的特征,有何联系 (后一项都是前一项的2倍)
探讨2:如果我们把这个式子的右边每一项都乘2,就变成了它的后一项.
将(1)式两边同乘2,可得,记为(2)式.
师:比较(1)(2)两式,你有什么发现
经过比较、研究之后,学生发现:(1)(2)两式的右边有许多相同的项,把两式相减,相同的项就消去了,得到.
教师指出这就是“错位相减法”,并要求学生整理解题思路,反思:为什么(1)式两边要同乘2呢
设计意图:
让学生在探究问题的过程中,充分感受到成功所带来的喜悦,从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心.
三、类比联想,推导公式
教师继续引导学生将结论一般化,设等比数列的首项为,公比为,如何求其前项和
师生活动:教师让学生自主完成,并指名学生在黑板上写出结论,然后对个别学生进行指导.
设计意图:
在教师的指导下,学生经历从特殊到一般,从已知到未知的学习过程,然后总结出公式,从中体验到学习的愉快和成就感.
在学生推导完成后,教师再问:由,得对不对 这里的能不能等于1 等比数列中的公比能不能为1 当时是什么数列 此时等于多少 (这里引导学生对进行分类讨论,得出公式,同时为后面例题的教学打下基础)
生:当时,;当时,.
再次追问:结合等比数列的通项公式,如何用把表示出来 (引导学生得出公式的另一种形式)
生:因为,所以公式还可以写成.
设计意图:通过不断地提出与解决问题,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识的结构;另一方面使学生由简单的模仿和接受,变为对知识的主动认识和发现,从而进一步提高分析问题、解决问题的能力.
四、讨论交流,延伸拓展
教师提问:探究等比数列的前项和公式,还有其他方法吗
我们知道,,那么我们能否利用这个关系,从而求出呢 根据等比数列的定义又有,能否联想到等比定理,从而求出呢
设计意图:
以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归为,这其实就是关于的一个递推式.递推数列有非常重要的研究价值,是研究性学习和课外拓展的极佳资源,它源于教材,又高于教材,对学生的思维发展具有促进作用.
五、应用举例,变式训练
例1 求等比数列前8项的和.
师生活动:学生自主解题,教师指名学生板演,然后教师进行点评.
解:因为,
所以当时,.
师生活动:学生完成例1的解答后,教师给出下面的变式训练题,先让学生独立完成,然后再进行讲解.
变式训练1 等比数列前多少项的和是
答案:设等比数列前项的和是,则,
整理,得,所以.
所以等比数列前6项的和是.
变式训练2 求等比数列第5项到第10项的和.
答案:等比数列第5项到第10项构成首项为,公比为,项数为6的等比数列,故所求和为.
变式训练3 求等比数列前项中所有偶数项的和.
答案:等比数列前项中所有偶数项构成首项为,公比为,项数为的等比数列,故所求和为.
设计意图:
通过例题与变式训练,深化学生对公式的认识和理解.
例2 在等比数列中,
(1)若,求和;
(2)已知,求.
师生活动:教师引导学生分析解题思路,适时给予点拨.学生完成解答后,教师进行评价讲解.
解:(1)因为,
所以,所以.
又因为,
所以由公式,得,解得.
又由公式,得,所以,解得.
(2)设的公比为,由知,
所以解得或所以或.
设计意图:培养学生灵活应用等比数列的前项和公式解决问题的能力.
例3 求和:.
师生活动:解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨,学生完成解答过程.
解:记,
当时,;
当时,;
当且时,.
变式训练 求和:.
答案:当时,;
当时,,
,
所以,
所以.
综上所述,
设计意图:培养学生对含有参数的数列求和问题进行分类讨论的能力.
六、归纳总结,加深理解
教师以提问的形式引导学生回顾本节所学的公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后再让学生从知识点及数学思想方法两方面进行归纳总结.
七、故事结束,首尾呼应
现在我们回到这节课开始时故事中的问题,利用等比数列的前项和公式可以计算出(分)(万元)(万元).因此,穷人不能向财主借钱.
设计意图:
把引入课题时的问题给予解答,有助于学生真正理解数学来源于生活,而又应用于生活.
八、布置作业
教材第37页练习第题.
板书设计:
第1课时 等比数列的前项和 一、创设情境,提出问题 二、师生互动,探究问题 借款数目:(万元) 还款数目:(分) 三、类比联想,推导公式 等比数列的前项和公式: 四、讨论交流,延伸拓展 五、应用举例,变式训练 例1 变式训练1 变式训练2 变式训练3 例2 例3 变式训练 六、归纳总结,加深理解 七、故事结束,首尾呼应 八、布置作业
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