人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列的前n项和的拓展和实际应用》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《等比数列的前n项和的拓展和实际应用》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 513.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 18:20:12 | ||
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文档简介
《等比数列的前n项和的拓展和实际应用》教学设计
一、复习旧知,导入新课
首先回忆一下上一节课我们所学习的主要内容:
设等比数列的首项为,公比为,前项和为,则当时,;当时,或.
思考:(1)等比数列的前项和公式具有怎样的函数特征
(2)如何应用等比数列的前项和公式解决几何问题与实际问题
设计意图:
通过复习等比数列的前项和公式,并提出问题让学生思考,为进一步学习等比数列的前项和公式的应用作准备.
二、问题探究,认识公式
问题:等比数列的前项和为,若,则满足的条件是什么
师生活动:教师提出问题,学生讨论交流.
学生展示讨论结果后,教师点评并总结:
若设等比数列的公比为,则
,
令,
显然有,且.
设计意图:
类比等差数列的前项和公式的函数特征的研究方法,从函数角度认识等比数列的前项和公式.
三、典例讲解,应用提高
例1 如图,正方形的边长为,取正方形各边的中点,作第2个正方形,然后再取正方形各边的中点,作第3个正方形,依此方法一直继续下去.
(1)求从正方形开始,连续10个正方形的面积之和;
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去,那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少
师生活动:教师引导学生分析解题思路后,由学生自主完成解答.
分析:可以利用数列表示各正方形的面积,根据条件可知,这是一个等比数列.
解:设正方形的面积为,后继各正方形的面积依次为,则.
由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点,所以.
因此,是以25为首项,为公比的等比数列.
设的前项和为.
.
所以,前10个正方形的面积之和为.
(2)当无限增大时,无限趋近于所有正方形的面积和.
而,
随着的无限增大,将趋近于将趋近于50.
所以,所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
设计意图:
以几何图形为背景的应用题是一类重要题型,通过本例可引导学生思考此类问题的解题策略.
例2 去年某地产生的生活垃圾为20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式处理,6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年增加万吨.为了确定处理生活垃圾的预算,请写出从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式,并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到万吨).
师生活动:教师先指名学生读题,然后提出下面两个问题,学生思考、讨论交流,分析解题思路,然后自主完成解答.
问题1:“每年生活垃圾的总量”和“每年以环保方式处理的垃圾量”分别构成什么数列 你能写出它们的通项公式吗
提示:每年生活垃圾的总量构成等比数列,而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列,且.
问题2:从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式是什么
提示:“年内通过填埋方式处理的垃圾总量”“年内生活垃圾的总量”-“年内以环保方式处理的垃圾总量”,
即.
解:设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列,每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列年内通过填埋方式处理的垃圾总量为(单位:万吨),则
.
当时,.
所以,从今年起5年内,通过填埋方式处理的垃圾总量约为万吨.
设计意图:
通过问题串,帮助学生弄清楚题目的意思,引导学生建立数列模型,同时介绍分组求和法.
例3 某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为.
(1)写出一个递推公式,表示与之间的关系;
(2)将(1)中的递推公式表示成的形式,其中为常数;
(3)求的值(精确到1).
师生活动:师生共同分析题意,寻找解题思路,由教师板书解答过程.
分析:(1)可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立与之间的关系;(2)这是待定系数法的应用,可以将它还原为(1)中的递推公式的形式,通过比较系数,得到方程组;(3)利用(2)的结论可得出解答.
解:(1)由题意,得,并且.①
(2)将化成.②
比较①②的系数,可得
解这个方程组,得
所以,(1)中的递推公式可以化为.
(3)由(2)可知,数列是以为首项,为公比的等比数列,则
.
所以.
设计意图:本例以实际问题为背景,介绍了如何根据题目条件构造特殊数列(等比数列),其中用到了待定系数法.通过解决此例题,培养学生的知识应用能力,提升学生的逻辑推理与数学运算核心素养.
四、课堂训练,巩固知识
1.已知等比数列的前项和,则实数的值为( )
A.4
B.5
C.
D.
2.已知数列,试求的前项和.
3.一个热气球在第一分钟上升了的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的.这个热气球上升的高度能超过吗
答案
1.B(点拨:由,得,所以.)
2.设的前项和为,则
,即的前项和为.
3.用表示热气球在第分钟上升的高度,由题意,得.因此,数列是首项,公比的等比数列.
因此,热气球在前分钟内上升的总高度为
故这个热气球上升的高度不能超过.
五、课堂小结
师:通过本节课的学习,你有什么新的收获 与同伴交流一下吧!
六、布置作业
教材第40页练习第题.
板书设计:
第2课时 等比数列的前n项和的拓展和实际应用 一、复习旧知,导入新课 二、问题探究,认识公式 等比数列的前n项和公式的函数特征 三、典例讲解,应用提高 例1 例2 例3 四、课堂训练,巩固知识 五、课堂小结 六、布置作业
教学研讨:
本案例的教学设计立足教材,设计合理,层次分明,充分体现了以学生发展为本,培养学生的观察、概括和探究能力,遵循学生的认知规律,体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则.通过复习引入,激发学生的学习兴趣,使学生在问题解决的探索过程中,由学会走向会学,由被动答题走向主动探究.在教学过程中既注重知识的形成过程,也注重学习方法的指导,探究能力的训练,引导学生发现数学的美,体验求知的乐趣.
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一、复习旧知,导入新课
首先回忆一下上一节课我们所学习的主要内容:
设等比数列的首项为,公比为,前项和为,则当时,;当时,或.
思考:(1)等比数列的前项和公式具有怎样的函数特征
(2)如何应用等比数列的前项和公式解决几何问题与实际问题
设计意图:
通过复习等比数列的前项和公式,并提出问题让学生思考,为进一步学习等比数列的前项和公式的应用作准备.
二、问题探究,认识公式
问题:等比数列的前项和为,若,则满足的条件是什么
师生活动:教师提出问题,学生讨论交流.
学生展示讨论结果后,教师点评并总结:
若设等比数列的公比为,则
,
令,
显然有,且.
设计意图:
类比等差数列的前项和公式的函数特征的研究方法,从函数角度认识等比数列的前项和公式.
三、典例讲解,应用提高
例1 如图,正方形的边长为,取正方形各边的中点,作第2个正方形,然后再取正方形各边的中点,作第3个正方形,依此方法一直继续下去.
(1)求从正方形开始,连续10个正方形的面积之和;
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去,那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少
师生活动:教师引导学生分析解题思路后,由学生自主完成解答.
分析:可以利用数列表示各正方形的面积,根据条件可知,这是一个等比数列.
解:设正方形的面积为,后继各正方形的面积依次为,则.
由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点,所以.
因此,是以25为首项,为公比的等比数列.
设的前项和为.
.
所以,前10个正方形的面积之和为.
(2)当无限增大时,无限趋近于所有正方形的面积和.
而,
随着的无限增大,将趋近于将趋近于50.
所以,所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
设计意图:
以几何图形为背景的应用题是一类重要题型,通过本例可引导学生思考此类问题的解题策略.
例2 去年某地产生的生活垃圾为20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式处理,6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年增加万吨.为了确定处理生活垃圾的预算,请写出从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式,并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到万吨).
师生活动:教师先指名学生读题,然后提出下面两个问题,学生思考、讨论交流,分析解题思路,然后自主完成解答.
问题1:“每年生活垃圾的总量”和“每年以环保方式处理的垃圾量”分别构成什么数列 你能写出它们的通项公式吗
提示:每年生活垃圾的总量构成等比数列,而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列,且.
问题2:从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式是什么
提示:“年内通过填埋方式处理的垃圾总量”“年内生活垃圾的总量”-“年内以环保方式处理的垃圾总量”,
即.
解:设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列,每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列年内通过填埋方式处理的垃圾总量为(单位:万吨),则
.
当时,.
所以,从今年起5年内,通过填埋方式处理的垃圾总量约为万吨.
设计意图:
通过问题串,帮助学生弄清楚题目的意思,引导学生建立数列模型,同时介绍分组求和法.
例3 某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为.
(1)写出一个递推公式,表示与之间的关系;
(2)将(1)中的递推公式表示成的形式,其中为常数;
(3)求的值(精确到1).
师生活动:师生共同分析题意,寻找解题思路,由教师板书解答过程.
分析:(1)可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立与之间的关系;(2)这是待定系数法的应用,可以将它还原为(1)中的递推公式的形式,通过比较系数,得到方程组;(3)利用(2)的结论可得出解答.
解:(1)由题意,得,并且.①
(2)将化成.②
比较①②的系数,可得
解这个方程组,得
所以,(1)中的递推公式可以化为.
(3)由(2)可知,数列是以为首项,为公比的等比数列,则
.
所以.
设计意图:本例以实际问题为背景,介绍了如何根据题目条件构造特殊数列(等比数列),其中用到了待定系数法.通过解决此例题,培养学生的知识应用能力,提升学生的逻辑推理与数学运算核心素养.
四、课堂训练,巩固知识
1.已知等比数列的前项和,则实数的值为( )
A.4
B.5
C.
D.
2.已知数列,试求的前项和.
3.一个热气球在第一分钟上升了的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的.这个热气球上升的高度能超过吗
答案
1.B(点拨:由,得,所以.)
2.设的前项和为,则
,即的前项和为.
3.用表示热气球在第分钟上升的高度,由题意,得.因此,数列是首项,公比的等比数列.
因此,热气球在前分钟内上升的总高度为
故这个热气球上升的高度不能超过.
五、课堂小结
师:通过本节课的学习,你有什么新的收获 与同伴交流一下吧!
六、布置作业
教材第40页练习第题.
板书设计:
第2课时 等比数列的前n项和的拓展和实际应用 一、复习旧知,导入新课 二、问题探究,认识公式 等比数列的前n项和公式的函数特征 三、典例讲解,应用提高 例1 例2 例3 四、课堂训练,巩固知识 五、课堂小结 六、布置作业
教学研讨:
本案例的教学设计立足教材,设计合理,层次分明,充分体现了以学生发展为本,培养学生的观察、概括和探究能力,遵循学生的认知规律,体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则.通过复习引入,激发学生的学习兴趣,使学生在问题解决的探索过程中,由学会走向会学,由被动答题走向主动探究.在教学过程中既注重知识的形成过程,也注重学习方法的指导,探究能力的训练,引导学生发现数学的美,体验求知的乐趣.
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