《等比数列的拓展和实际应用》教学设计
一、复习旧知,导入新课
首先回忆一下上一节课所学的主要内容:
1.等比数列的概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示,即.
2.等比中项的概念:如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项.此时,.
3.等比数列的通项公式:.
4.等比数列的通项公式的推广:.
5.等比数列与函数的联系:当且时,等比数列的第项是函数当时的函数值,即.
设计意图:通过复习旧知,为进一步学习等比数列的性质及实际应用作准备.
二、小组合作,探究新知
师:请同学们回忆一下等差数列的性质是什么
生:在等差数列中,若,则.
师:那么对于等比数列来说,有什么类似的性质呢
学生独立思考,猜想得到:
在等比数列中,若,则.
师:我们如何证明以上猜想呢
生:由等比数列的通项公式可得.所以,.又因为,所以.
师:特别地,如果,则.这一结论,可作为等比数列的性质,在解题时直接应用.
设计意图:引导学生类比等差数列的性质的研究方法,推导出等比数列的一条重要性质.
三、例题讲练,应用提高
例1 在等比数列中,已知,求.
分析:题目中出现了等比数列的第1项、第9项、第10项与第18项,进而联想到等比数列的性质.
解:在等比数列中,因为,所以,所以.
设计意图:通过运用等比数列的性质解决问题,培养学生的知识应用能力.
例2 用10000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率的复利计息,12个月能获得多少利息(精确到1元)
(2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到)
分析:复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金,再计算下一期的利息,所以若原始本金为元,每期的利率为,则从第一期开始,各期的本利和,构成等比数列.
解:(1)设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列,则是等比数列,首项,公比,所以.所以,12个月后的利息为(元).
(2)设季度利率为,这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列,则也是一个等比数列,首项,公比为,于是.
因此,以季度复利计息,存4个季度后的利息为元.
解不等式,得.
所以,当季度利率不小于时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.
设计意图:通过运用等比数列的相关知识解决实际问题,培养学生将实际问题转化为数学问题的能力,提升数学抽象与数学运算核心素养.
例3 已知数列的首项.
(1)若为等差数列,公差,证明数列为等比数列;
(2)若为等比数列,公比,证明数列为等差数列.
分析:根据题意,需要从等差数列、等比数列的定义出发,利用指数、对数的知识进行证明.
证明:(1)由,得的通项公式为.
设,则.又,
所以,是以27为首项,9为公比的等比数列.
(2)由,得.
两边取以3为底的对数,得.
所以.
又,所以,是首项为1,公差为的等差数列.
师生活动:师生完成例3后,教师提出教材第32页的思考题,让学生思考讨论.师生总结.
设计意图:通过例题,进一步理解等比数列的概念,引导学生发现等差数列与等比数列的内在联系.
例4 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品,产品合格率为.从今年1月开始,工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产,以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%,产品合格率比前一个月增加,那么生产该产品一年后,月不合格品的数量能否控制在100个以内
分析:设从今年1月起,各月的产量及不合格率分别构成数列,则各月不合格品的数量构成数列.
由题意可知,数列是等比数列,是等差数列.由于数列既非等差数列又非等比数列,所以可以先列表观察规律,在寻求问题的解决方法.
解:设从今年1月起,各月的产量及不合格率分别构成数列.由题意,知
,其中,
则从今年1月起,各月不合格产品的数量是.
由计算工具计算(精确到),并列表.
观察发现,数列先递增,在第6项以后递减,所以只要设法证明当时,递减,且即可.
由,得.
所以,当时,递减.
又,
所以,当时,.
所以,生产该产品一年后,月不合格品的数量能控制在100个以内.
设计意图:通过建立数列模型解决实际生活中的问题,培养学生的数学建模与数学运算核心素养.
四、课堂总结
1.等比数列的性质:在等比数列中,若,则.
2.等比数列在实际问题中的应用.
3.等比数列与等差数列的综合应用.
设计意图:通过课堂总结,使学生进一步体会知识的形成、发展和完善的过程,培养学生的归纳总结能力.
五、布置作业
教材第34页练习第题.
板书设计:
第2课时等比数列的拓展和实际应用 一、复习旧知,导入新课 二、小组合作,探究新知 在等比数列中,若,则 三、例题讲练,应用提高 例1 例2 例3 例4 四、课堂总结 五、布置作业
教学研讨:
本案例首先复习等比数列的概念、等比中项、等比数列的通项公式等知识,在此基础上深入探究等比数列的性质,随后运用等比数列的知识解决实际问题.在整个教学过程中,充分发挥了以教师为主导,学生为主体的教育理念,留给学生充足的时间进行思考,并注重学完知识点后的及时练习.
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