《等比数列的概念》学考达标练
一、选择题
1.（2020·山东潍坊一中高二月考）已知数列是等比数列，则实数满足的条件是（ ）
A.
B.或
C.
D.且
2.（2020·山东师范大学附中高二月考）若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（ ）
A.4
B.2
C.
D.
3.(2020·山东烟台一中高二月考)已知等比数列的公比为正数，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.2
4.(2020·衡水中学月考)一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙伴;第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.
A.55986
B.46656
C.216
D.36
二、填空题
5.（2020·杭州二中月考）已知是等差数列，公差不为零.若成等比数列，且，则______，______.
6.（2020·江苏扬州中学高一月考）已知成等差数列，成等比数列，则______.
三、解答题
7.（2020·北京人大附中高二检测）设二次方程有两个实根和，且满足.
(1)试用表示；
(2)求证:是等比数列；
(3)当时，求数列的通项公式.
参考答案
1.
答案：D
解析：由等比数列定义可知且，即且.
2.
答案：D
解析：由互不相等的实数成等差数列可设，由可得，所以，又成等比数列，可得或舍去，所以，故选D.
3.
答案：B
解析：设公比为，由已知得，即，又因为等比数列的公比为正数，所以，故，故选B.
4.
答案：B
解析：设第天蜂巢中的蜜蜂数量为，根据题意得数列成等比数列，且，所以的通项公式为，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，故选B.
5.
答案： -1
解析：由题意可得，故有(1).，即(2)，联立(1)(2)解得.
6.
答案：
解析：因为成等差数列，所以5;因为成等比数列，所以，又，所以，所以.
7.
答案：见解析
解析：由题意知，而，得，即，得;
(2)证明:由(1)知，得，所以是等比数列;
(3)当时，是以为首项，以为公比的等比数列，，得.
2 / 2《等比数列的概念》高考通关练
一、选择题
1.（2020·辽宁庄河中学高二月考）公比为的等比数列的各项都是正数，且，则（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
2.(2020·济南历城第二中学高二期中)在正项等比数列中，若成等差数列，则（ ）
A.3或
B.9或1
C.3
D.9
3.(2020 重庆一中高二月考)等比数列中，，则数列的前10项和等于（ ）
A.2
B.lg50
C.5
D.10
4.(2020·山东束庄八中高二期末)已知数列满足:.若，则数列的通项公式是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.(2020·山东 岛二中月考)(多选)已知等比数列中，满足，公比，则（ ）
A.数列是等比数列
B.数列是等比数列
C.数列是等比数列
D.数列是递减数列
二、填空题
6.(2020·广东实验中学高一月考)在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙，丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为______.
7.(2020·武汉二中高一月考)若数列的前项和，则的通项公式是______.
8.(2017·全国高中数学联赛)在等比数列中，，则的值为______.
9.(2020·辽宁鞍山一中高二期中考试)已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值是，此时______.
三、解答题
10.(2020上海格致中学高一检测)已知数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.
(1)求;
(2)求证:.
参考答案
1.
答案：B
解析：.故选
2.
答案：D
解析：设等比数列的公比为，因为，成等差数列，故.因为，故.故，故选D
3.
答案：C
解析：由题意可知，即，所以数列的前10项和等于，故选C.
4.
答案：C
解析：由，得，所以，所以数列是公比为2的等比数列，所以，所以，故选C.
5.
答案：BC
解析：因为等比数列中，满足，公比，所以.由此可得.，故错误，故数列是等比数列，故B正确，故数列是等比数列，故正确，故数列是递增数列，故错误.故选BC.
6.
答案：
解析：设衰分比例为，则甲、乙、丙各分得石，所以，所以或.又，所以.
7.
答案：
解析：当时，由，得，即;当时，由已知得到，到，即，故数列是以1为首项，为公比的等比数列，从而的通项公式是.
8.
答案：
解析：数列的公比为，故.
9.
答案：
解析：根据题意，设正项等比数列的公比为，若满足，则有，解得或含去，若存在两项使得，即，变形可得，则有，则，又由，当且仅当即时，等号成立.则，此时.
10.
答案：见解析
解析：(1)设的公差为的公比为，则为正整数，依题意有①
由知为正有理数，故为6的因子之一，
解①得故.
(2)证明:，
所以
.
2 / 2《等比数列的概念》竞赛培优
一、选择题
1.（2017·北京大学优特测试）已知数列的通项公式是,数列的通项公式是,那么集合中的元素个数为（ ）
A.503
B.504
C.505
D.506
二、解答题
2.（全国高中数学联赛）已知是各项均为正数的等比数列,且是方程的两个不同的解,求的值.
参考答案
1.
答案：C
解析：数列是首项为2,公比为2的等比数列,数列中的数被5除余3.注意到被5除的余数依次为,不难发现,仅有形如的数被5除余3因为,所以集合,中的元素个数为505.
2.
答案：见解析
解析：对,有,即.
因此是一元二次方程的两个不同的解,
从而即.
由等比数列的性质知.
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