人教A版（2019）数学必修第一册期末复习： 函数的单调性与最值 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
函数的单调性与最值
期 末
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1．函数的单调性
核心考点
①增函数与减函数
②单调区间
注意事项
求单调区间或讨论单调性必须先求定义域
一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接
函数在某个区间上单调时，在整个定义域上不一定就单调
如函数y＝
核心考点
1．函数的单调性
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值
核心考点
2．函数的最值
若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1) f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性．
(2) f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)是增(减)函数.
(3) 当f(x)，g(x)都是增(减)函数时
若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；
若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．
常用结论
核心考点
重 要
结 论
复合函数 y＝f [g(x)]的单调性：同增异减
开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)
1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x|　　　　　　　　 B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
A
R上递减
（0，+∞）递减
（0，+∞）递减
过关检测
y=-x递减
y=递减
f(x)=-x+ 递减
f(x)的最大值为f(－2)=
A
过关检测
3．若函数f(x)满足“对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则满足f(2x－1)＜f(1)的实数x的取值范围为__________．
对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)
函数f(x)在定义域内为减函数
f(2x－1)＜f(1)
2x－1>1
x>1
(1，＋∞)
过关检测
题型一
确定函数的单调性
考法(一)　确定不含参函数的单调性(区间)
例1　函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)
A.　　　　　　 B. 和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D. 和[2，＋∞)
常考题型
如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)
B
例2　函数y＝的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．
常考题型
题型一
确定函数的单调性
考法(一)　确定不含参函数的单调性(区间)
令u＝x2＋x－6
u≥0
u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数
y＝在[0，＋∞)上是增函数
y＝ 的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)
x≤－3或x≥2
[2，＋∞)
(－∞，－3]
例3 试讨论函数 f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
考法(二)　确定含参函数的单调性(区间)
常考题型
题型一
确定函数的单调性
设－1＜x1＜x2＜1
大于0
小于0
小于0
当a>0时，f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a＜0时，f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
定义法
确定函数单调性的方法
定义法
图象法
性质法
①对于和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性判断；
②对于复合函数，根据 “同增异减”判断
技巧点拨
令t＝
函数的定义域为[0,1]
g(t)＝是减函数
t＝ 的单调递减区间为
原函数的单调递增区间为
D
过关检测
2．判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
设x1，x2是任意两个正数，且x1＜x2
f(x1)－f(x2)＝(x1x2－a)．
当0＜x1＜x2≤时
0＜x1x2＜a，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0， ]上是减函数；
当≤x1＜x2时
x1x2>a，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
过关检测
题型二
函数单调性的应用
考法(一)　比较函数值的大小
例4　已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b　　　　B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c
常考题型
f(x)的图象关于直线x＝1对称
f= f
x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立
f(x)在(1，＋∞)上单调递减
1＜2＜＜e
f(2)>f >f(e)
b>a>c
D
考法(二)　解函数不等式
例5　已知函数f(x)为R上的减函数，则满足＜f(1)的实数x的取值范围是 (　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
题型二
函数单调性的应用
常考题型
f(x)为R上的减函数
＜f(1)
>1,且x≠0
－1＜x＜0或0＜x＜1
C
考法(三)　利用函数的单调性求参数
例6　若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．
题型二
函数单调性的应用
常考题型
看个性
找共性
技巧点拨
看个性
考法(一)比较函数值的大小
考法(二)求解与函数单调性有关的抽象函数不等式
考法(三)是在考法(一)(二)基础上的更深一步拓展
根据函数的性质将自变量转化到同一单调区间上
利用单调性比较大小
利用函数的单调性将“f ”符号脱掉
转化为具体的不等式求解
根据单调性把问题转化为单调区间关系
技巧点拨
找共性
1.明确函数在定义域内的单调性
2.利用单调性，结合已知，把要求问题转化为易处理问题
3.求解转化后的问题，得结果
技巧点拨
1．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则 (　　)
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)＜0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0
x1∈(1,2)时，f(x1)＜f(2)＝0
x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0
f(x1)＜0，f(x2)>0
B
过关检测
2．设函数f(x)＝，若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，
即a≤1或a≥4.
D
过关检测
题型
三
函数的最值或值域
例7　函数y＝的值域为________．
x2≥0
－1≤y<1
[－1,1)
常考题型
例8　函数f(x)＝的最大值为________．
x≥1时，函数f(x)＝为减函数
f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1
x＜1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2
故函数f(x)的最大值为2
2
题型
三
函数的最值或值域
常考题型
求最值的
常用方法
单调性法
图象法
基本不等式法
技巧点拨
1．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
6
f(x)在[a，b]上为减函数
单调性法
过关检测
2．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
令t＝，则t≥0
y＝t－t2＝
当t＝，即x＝时，ymax＝
过关检测
3．设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∈
基本不等式法
过关检测
再见