人教A版（2019）数学必修第一册期末复习：函数的奇偶性与周期性 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
函数的奇偶性与周期性
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奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫偶函数
关于y轴对称
奇函数 如果对于f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫奇函数
关于原点对称
核心考点
1．函数的奇偶性
奇偶性的5个重要结论
(1)若一个奇函数f(x)在原点处有定义，那么一定有f(0)＝0.
(2)若函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；
奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
核心考点
周期性的4个
常用结论
若f (x＋a)＝－f (x)，则函数的周期为2a
若f (x＋a)＝，则函数的周期为2a
若f (x＋a)＝－ ，则函数的周期为2a
若f (x＋a)＝f (x－a)，则周期为2a
核心考点
若y＝f (x＋a)是偶函数，则y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称
若对于R上的任意 x 都有f (2a－x)＝f (x)或f (－x)＝f (2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称
若y＝f (x＋b)是奇函数，则函数y＝f (x)关于点(b,0)中心对称
对称性的3个常用结论
核心考点
1．下列函数中为偶函数的是 (　　)
A．y＝x2sin x　　　　　　 B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
奇
偶
非奇非偶
非奇非偶
B
过关检测
2．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是 (　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
y＝f(x)是奇函数
图象关于原点对称
(a，f(a))是y＝f(x)图象上的点
(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上
B
过关检测
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
a－1＋2a＝0
a＝
f(－x)＝f(x)
b＝0
a＋b＝
过关检测
4．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝, 则f ＝________.
1
过关检测
题型一
函数奇偶性的判定
例1 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝(x＋1) ；
(2)
常考题型
－1＜x≤1
f(x)的定义域不关于原点对称
f(x)为非奇非偶函数
所以f(x)为奇函数．
－x＜0，f(－x) ＝x2－2x－1＝－f(x)
－x>0，f(－x) ＝－x2－2x＋1＝－f(x)
当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1
定义法
题型一
函数奇偶性的判定
例1 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝(x＋1) ；
(2)
常考题型
－1＜x≤1
f(x)的定义域不关于原点对称
f(x)为非奇非偶函数
图象法
由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数
判断奇偶性的
3种方法
图象法
性质法
定义法
技巧点拨
定义法
第二步：验证f(-x)=±f(x)
第一步：判断定义域是否关于原点对称
技巧点拨
图象法
技巧点拨
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，
偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，
奇×偶＝奇．
分段函数只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性。
技巧点拨
性质法
易错提示
题型二
函数奇偶性的应用
例2　(广州调研)已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则实数a＝________.
f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
f(x)为奇函数
f(－x)＝－f(x)
＋a= ﹣a
2a＝﹣
常考题型
例3 函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
x－1
x>0时，f(x)＝x＋1
当x＜0时，－x>0
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1
f(x)为奇函数
题型二
函数奇偶性的应用
常考题型
例4 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2017)＋f(2019)的值为________．
g(－x)＝f(－x－1)
g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)
f(x－1)＝－f(x＋1)
f(x－1)＋f(x＋1)＝0
f(2017)＋f(2019)＝f(2018－1)＋f(2018＋1)＝0
0
题型二
函数奇偶性的应用
常考题型
函数奇偶性问题的解题策略
利用奇函数、偶函数的定义求解
特殊值法求解
x＝0处有定义的奇函数 f(x)，可考虑 f(0)＝0
求函数解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再用奇偶性求
求解析式中的参数值
求函数值：用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解
技巧点拨
1．设f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为 (　　)
A．g(x)＝x3　　　　　　 B．g(x)＝cos x
C．g(x)＝1＋x D．g(x)＝xex
B
f(x)＝x2＋g(x)
f(x)为偶函数
(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)
g(－x)＝g(x)
g(x)为偶函数
过关检测
2．设函数f(x)＝，若f(x)是奇函数，则g(3)的值是 (　　)
A．1 B．3 C．－3 D．－1
C
f(x)是奇函数
f(－3)＝－f(3)
f(x)＝
log2(1＋3)＝－(g(3)＋1)
g(3)＝－3
过关检测
3．若关于x的函数f(x)＝(t≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝________.
f(x)＝=
设g(x)=
g(x)为奇函数
g(x)max＋g(x)min＝0
g(x)max＝a－t
g(x)min＝b－t
a＋b－2t＝0
a＋b＝2
t＝1
1
过关检测
题型
三
函数的周期性
例5　设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.
f(x＋2)＝f(x)
当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2
f(x)的周期T＝2
f(0)＝0，f(1)＝1
f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1
f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝1010
1010
常考题型
函数周期性有关问题的求解策略
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．
技巧点拨
1.已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，，则f(6)等于 (　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．2
D
当x>时，
周期为1
f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2
过关检测
题型
四
函数性质的综合应用
考法(一)　单调性与奇偶性综合
例6 (石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为(　　)
A．{x|0＜x＜1或x>2}　 B．{x|x＜0或x>2}
C．{x|x＜0或x>3} D．{x|x＜－1或x>1}
常考题型
例6 (石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为 (　　)
A．{x|0＜x＜1或x>2}　B．{x|x＜0或x>2}
C．{x|x＜0或x>3}
D．{x|x＜－1或x>1}
f(x)的示意图
A
f(x－1)>0
－1＜x－1＜0或x－1>1
0＜x＜1或x>2
f(x)为奇函数
f(－1)＝－f(1)＝0
f(x)在(0，＋∞)上单调递增
常考题型
考法(二)　奇偶性与周期性综合
例7 (赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
题型
四
函数性质的综合应用
常考题型
例7 (2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(－∞，－3)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(1，＋∞)
D
f(x＋3)＝f(x)
f(x)是定义在R上的以3为周期的函数
f(7)＝f(7－9)＝f(－2)
函数f(x)是偶函数
f(－2)＝f(2)
f(7)＝f(2)>1
a>1
常考题型
考法(三)　单调性、奇偶性与周期性综合
例8 (达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)， c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．a>c>b
题型
四
函数性质的综合应用
常考题型
例8 (达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)， c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是 (　　)
A．a>b>c
B．c>a>b
C．b>c>a
D．a>c>b
D
f(x＋2)＝f(x)
函数的周期为2
a＝f(－2.8)＝f(－0.8)
b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)
c＝f(0.5)＝f(－0.5)
函数f(x)在 [－1,0]上单调递减
a>c>b
常考题型
考法(一) 已知函数单调递增且为奇函数，求自变量范围，有时也比较大小
常利用奇、偶函数图象的对称性；
考法(二)已知f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值的范围
常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
考法(三)函数周期性、奇偶性与单调性结合
解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
技巧点拨
1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是 (　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
D
f(x＋1)＝－f(x)
f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)
f(x)的周期是2
f(x)在定义域R上是偶函数
在[－1,0]上是减函数
f(x)在[0,1]上是增函数
f(x)在[1,2]上是减函数在[2,3]上是增函数
f(x)在[1,3]上是先减后增的函数
过关检测
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝ (　　)
A．－50　　　　　　　　　 B．0
C．2 D．50
f(x)是奇函数
f(1－x)＝－f(x－1)
f(1－x)＝f(1＋x)
－f(x－1)＝f(x＋1)
f(x＋2)＝－f(x)
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)
f(1－x)＝f(1＋x)
f(x)的图象关于直线x＝1对称
f(2)＝f(0)＝0
f(－2)＝0
f(1)＝2
f(－1)＝－2
f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝0
C
f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2) ＝2
周期为4
过关检测
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－ )＝f()
f(2|a－1|)＞f(－)
f(2|a－1|)＞f()
2|a－1|＜ ＝
|a－1|＜
过关检测
再见