人教A版（2019）数学必修第一册期末复习：函数与方程 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
函数与方程
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考点概要
2.零点与方程根的关系
3.零点的存在性定理
4.二次函数的图象与零点
1.零点的概念
函数与方程
核心考点
1.零点的概念
对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点.
易错提示：
(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(2)零点一定在定义域内.
核心考点
函数与方程
2.零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数f(x)有零点
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
核心考点
函数与方程
3.零点的存在性定理
条件
y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线
端点值满足
结论
存在x0∈(a,b)，使得f(x0)=0
易错提示：由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如右图所示
核心考点
函数与方程
3.零点的存在性定理
注意：零点存在性定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数．若函数在某区间上是单调函数，则该函数在该区间上至多有一个零点．
核心考点
函数与方程
4.二次函数图象与零点
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无
零点个数 2 1 0
要点提示：判断二次函数f(x)的零点个数就是判断一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0的实根个数，一般由判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0完成
核心考点
函数与方程
常用结论
1．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0 函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．
2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点．
核心考点
1．已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 (　　)
A．2个　　　　　B．3个 C．4个 D．5个
由零点存在性定理及题中的对应值表可知，
函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，
所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3个零点.
B
过关检测
f(x)为增函数
f(2)＝ln 2－1＜0
f(3)＝ln 3－＞0
f(2)·f(3)＜0
B
过关检测
3．函数 f(x)＝ex＋3x的零点个数为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数
f(－1)＝－3＜0
f(－1)·f(0)＜0
函数f(x)有唯一零点，且在(－1,0)内
f(0)＝1＞0
B
过关检测
4．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为_________________．
，，， 2
x2－2=0
x=或
x2－3x＋2=0
x=或2
过关检测
5．函数y＝－m有两个零点，则m的取值范围是_______．
画出函数y＝ 和y＝m的图象，如图所示，由于原函数有两个零点，故0(0,1)
过关检测
题型一
函数零点所在区间的判断
例1 (郑州名校联考)已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是 (　　)
A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
常考题型
2a＝3,3b＝2
a＞1,0＜b＜1
f(x)＝ax＋x－b是单调递增函数
f(－1)＝－1－b＜0
f(0)＝1－b＞0
f(x)在区间(－1,0)上存在零点
B
题型一
函数零点所在区间的判断
常考题型
C
例3 (河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
f(x)在(0，＋∞)上单调递增
f(2)＝－1＋ln 2＜0
f(3)＝2＋ln 3＞0
函数f(x)的零点位于区间(2,3)内
n＝2
2
题型一
函数零点所在区间的判断
常考题型
确定f(x)零点
所在区间的
方法
首先看f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续
再看是否有f(a) f(b)＜0
画函数图象
观察图象与x轴在给定区间上是否有交点
利用零点的
存在性定理
数形结合法
技巧点拨
题型二
判断函数零点个数
例4 已知函数f(x)＝ ，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
常考题型
g(x)＝3－f(2－x)＝
函数y＝f(x)－g(x)的零点个数
由图可知函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2
函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点个数
A
函数零点个数的判断方法
零点存在性定理
令f(x)＝0，直接求零点
利用图象交点个数
技巧点拨
1．(郑州质检)已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________．
作出g(x)＝ 与h(x)＝cos x的图象
可知其在[0,2π]上的交点个数为3，
所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.
3
过关检测
2．函数f(x)＝的零点个数是________．
令f(x)＝0，即x2＋2x＝0
f(x)＝ex－x－2
f(x)在[0，＋∞)上单调递增
f(0)＝e0－0－2＜0，f(2)＝e2－4＞0
2
当x<0时
当x≥0时
x＝－2或x＝0(舍去)
f ′(x)＝ex－1
f′(x)≥0
一个零点
一个零点
过关检测
3．(全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
f(x)＝0
3x＋＝kπ＋(k∈Z)
x∈[0，π]
零点有
3
过关检测
例5 ( 郑州模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1]　　　　　　 B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
题型三
函数零点应用
考法(一)　根据函数零点个数或存在情况求参数范围
常考题型
例5 (郑州模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1]　　　　　　 B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
f(x)的大致图象如图所示
函数f(x)在R上有两个零点
f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点
当x≤0时，f(x)有一个零点，需0＜a≤1
当x＞0时，f(x)有一个零点，需－a＜0，即a＞0
0＜a≤1
A
常考题型
例6 (全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ ，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
题型三
函数零点应用
常考题型
考法(一)　根据函数零点个数或存在情况求参数范围
例6 ( 全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．
画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点
当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点,此时a＝－1
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点
a的取值范围为[－1，＋∞)
C
常考题型
考法(二)　根据函数零点的范围求参数范围
例7 若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是____________．
m≠2
题型三
函数零点应用
常考题型
考法(一)是根据函数零点的个数及零点存在情况求参数范围
解题策略：解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解．
考法(二)是根据函数零点所在区间求参数
解题策略：解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．
技巧点拨
根据零点的存在性定理或函数图象列式
2.列式
求出参数的取值范围
3.结论
1.转化
零点的存在情况转化为方程的解
或两函数图象的交点问题
根据函数零点求参数范围的一般步骤
技巧点拨
1．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)　　 　　B．[2，＋∞) C. D.
方程ax＝x2＋1在上有解
a＝x＋在上有解
设t＝x＋ ，x∈
t∈
a∈
D
过关检测
2．已知函数f(x)＝有3个零点，则实数a的取值范围是________．
当x＞0时，ax－3＝0有解
当x≤0时,=0有两个不等的解
a＞0
0＜a＜1
(0,1)
过关检测
再见