人教A版（2019）数学选择性必修一册1.1.2空间向量的数量积运算 课时精练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修一册1.1.2空间向量的数量积运算 课时精练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 117.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 20:37:09 | ||
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文档简介
1.1.2空间向量的数量积运算
一、常考题型
1．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B．a2
C.a2 D.a2
3.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2· B．2·
C．2· D．2·
4．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．90°
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________.
7．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．
8.如图，正四棱锥P ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC；
(2)求|＋|的值．
二、易错专项
9．已知在正四面体A BCD中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为( )
A. B．
C. D.
10．如图所示，在一个直二面角α AB β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．
三、难题突破
11．.如图，正四面体V ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；
(2)求〈，〉．
参考答案
1．解析：选B 设向量a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，
则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
2．解析：选C ·＝(＋)·
＝(·＋·)＝＝a2.
3.解析：选B 2·＝－2a2cos 60°＝－a2，
2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，
2·＝·＝－a2，
2·＝·＝－·＝－a2，故选B.
4．解析：选B a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝＝.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.
5．解析：选B 如图所示，
(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；
·(－)＝·＝0；
与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；
正方体的体积为||||||.
综上可知，①②正确．
6．解析：法一：连接A1D，
则∠PA1D就是与所成角．连接PD，
在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
即与所成角的大小为60°.
因此·＝××cos 60°＝1.
法二：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，
从而〈，〉＝60°.
答案：60° 1
7．解析：＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线a，b所成角是60°.
答案：60°
8. 解：(1)证明：∵＝＋，
∴·＝(＋)·＝·＋·
＝||||·cos 60°＋||||cos 120°＝a2－a2＝0.
∴BD⊥PC.
(2)∵＋＝＋＋，
∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，
∴|＋|＝a.
9．解析：选D 如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，
∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，
∴＝，
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋
＝(＋＋)，
而(＋＋)2＝＋＋＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，
∴||＝.
10．解析：∵＝＋＋＝－＋，
∴＝(－＋)2
＝＋＋－2·＋2·－2·
＝16＋36＋64＝116，
∴||＝2.
答案：2
11．解：设＝a， ＝b， ＝c，正四面体的棱长为1，
(1)证明：因为＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)， ＝(a＋c－5b)， ＝(a＋b－5c)，
所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)
＝(18a·b－9|a|2)
＝＝0，
所以⊥，即AO⊥BO.
同理，AO⊥CO，BO⊥CO.
所以AO，BO，CO两两垂直．
(2) 因为＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，
所以||＝ ＝.
又||＝ ＝，
·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos〈，〉＝＝.
又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.
一、常考题型
1．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B．a2
C.a2 D.a2
3.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2· B．2·
C．2· D．2·
4．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．90°
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________.
7．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．
8.如图，正四棱锥P ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC；
(2)求|＋|的值．
二、易错专项
9．已知在正四面体A BCD中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为( )
A. B．
C. D.
10．如图所示，在一个直二面角α AB β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．
三、难题突破
11．.如图，正四面体V ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；
(2)求〈，〉．
参考答案
1．解析：选B 设向量a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，
则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
2．解析：选C ·＝(＋)·
＝(·＋·)＝＝a2.
3.解析：选B 2·＝－2a2cos 60°＝－a2，
2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，
2·＝·＝－a2，
2·＝·＝－·＝－a2，故选B.
4．解析：选B a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝＝.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.
5．解析：选B 如图所示，
(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；
·(－)＝·＝0；
与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；
正方体的体积为||||||.
综上可知，①②正确．
6．解析：法一：连接A1D，
则∠PA1D就是与所成角．连接PD，
在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
即与所成角的大小为60°.
因此·＝××cos 60°＝1.
法二：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，
从而〈，〉＝60°.
答案：60° 1
7．解析：＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线a，b所成角是60°.
答案：60°
8. 解：(1)证明：∵＝＋，
∴·＝(＋)·＝·＋·
＝||||·cos 60°＋||||cos 120°＝a2－a2＝0.
∴BD⊥PC.
(2)∵＋＝＋＋，
∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，
∴|＋|＝a.
9．解析：选D 如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，
∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，
∴＝，
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋
＝(＋＋)，
而(＋＋)2＝＋＋＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，
∴||＝.
10．解析：∵＝＋＋＝－＋，
∴＝(－＋)2
＝＋＋－2·＋2·－2·
＝16＋36＋64＝116，
∴||＝2.
答案：2
11．解：设＝a， ＝b， ＝c，正四面体的棱长为1，
(1)证明：因为＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)， ＝(a＋c－5b)， ＝(a＋b－5c)，
所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)
＝(18a·b－9|a|2)
＝＝0，
所以⊥，即AO⊥BO.
同理，AO⊥CO，BO⊥CO.
所以AO，BO，CO两两垂直．
(2) 因为＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，
所以||＝ ＝.
又||＝ ＝，
·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos〈，〉＝＝.
又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.