人教A版（2019）数学选择性必修一册1.2空间向量基本定理 课时精练（含解析）

1.2空间向量基本定理
一、常考题型
1．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；
②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　　　 B．2　　　　　
C．3　　　　　 D．4
2. 对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有
A.O，A，B，C四点共面 B.P，A，B，C四点共面
C.O，P，B，C共面 D.O，P，A，B，C五点共面
3. 设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1，
A B
C D
4.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，
A B
C D
5.已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
6. 如图，在空间四边形中，，，，，，则与的夹角的余弦值等于 ．．
7. 棱长为的正四面体中，的值等于 ．
8. 平行六面体中，为和的交点，设，化简：
①；②；③；④．
二、易错专项
9．已知是边长为的正三角形所在平面外一点，且，，分别是，的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
10. 设四面体的对边，的中点分别为，；，的中点分别为，；，的中点分别为，时，试证明三线段，，的中点重合．
三、难题突破
11．已知e1，e2，e3是空间的一个基底，e1+2e2-e3e1+e2+2e3e1+e2-e3，试判e1-e2+3e3;若不能，请说明理由.
参考答案
1．解析：选D　根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.
2. 解析：
.又它们有同一公共点P，
∴P，A，B，C四点共面.
3. 解析：
∴x
4.解析：
答案：A
5. 解析：A，B，C，D四点共面的充要条件α+β+γ=1，
则有-2x-3y-4z=1，即2x+3y+4z=-1.
答案：-1
6. 解析：∵，
∴
，
∴，
所以，与的夹角的余弦值为．
7. 解析：由数量积的定义有，
，
因此．
答案：．
8.解析：如图所示，注意到
．
①；
②；
③；
④．
9．解析：
设，，，∴，
∵
，
∴，
所以，异面直线与所成角的余弦值为．
10. 解析：设，，．从而，，，
，，，
因此，如记的中点为，则有，
如记中点为，则有，
如记中点为，则有，
∴，因此三点重合．
11．解析：能.假，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，
∴e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)，
即e1+2e2-e3=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.
∵e1，e2，e3是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面，
，
则不存在实数x，y，
.
.
则有
2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3)=(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3.
∵e1，e2，e3为空间的一个基底，
∴