人教A版（2019）数学选择性必修一册 1.3空间向量及其运算的坐标表示 课时精练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修一册 1.3空间向量及其运算的坐标表示 课时精练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 28.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 20:38:40 | ||
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文档简介
1.3空间向量及运算的坐标表示
一、常考题型
1．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝( )
A. B．
C. D.
2．若向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则( )
A．cos〈a，b〉＝ B．a⊥b
C．a∥b D．|a|＝|b|
3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为( )
A. B．
C. D.
4．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
5．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
7．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．
8．已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．
二、易错专项
9．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B．
C. D.
10．已知M1(2，5，－3)，M2(3，－2，－5)，设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为________．
三、难题突破
11．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且向量a＝(－1，1，3)，b＝(1，0，－2)，c＝a＋tb.
(1)当|c|取最小值时，求t的值；
(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值．
参考答案
1．答案：C
解析：由已知得a＝(1，，)，b＝(1，0，)，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
2．答案：D
解析：∵向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，
cos〈a，b〉＝＝＝－.
由上知A、B不正确，D正确．C显然也不正确．
3．答案：D
解析：由已知得ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)．
由ka＋b与2a－b互相垂直，得(k－1，k，2)·(3，2，－2)＝0，
即5k－7＝0，解得k＝，故选D.
4．答案：B
解析：由题意知，a＋2b＝(2x＋1， 4 ， 4－y)，
2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．
∵(a＋2b)∥(2a－b)，
∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
∴解得
5．答案：C
解析：∵＝(3，4，－8)，＝(5，1，－7)，＝(2，－3，1)，
∴||＝＝，||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC一定为直角三角形．
6．答案：(－∞，－2)
解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，
设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，
所以cos θ＝<0，
又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，
又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
7．答案：
解析：由已知，得
b－a＝(2，t，t)－(1－t，1－t，t)＝(1＋t，2t－1，0)．
∴|b－a|＝
＝＝ .
∴当t＝时，|b－a|的最小值为.
8．解：
(1)∵a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)，
∴a－3b＝(1，5，－1)－3(－2，3，5)＝(1，5，－1)－(－6，9，15)＝(7，－4，－16)，
λa＋b＝λ(1，5，－1)＋(－2，3，5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2，3，5)＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)．
∵(λa＋b)∥(a－3b)，∴＝＝，
解得λ＝－.
(2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)，∴(7，－4，－16)·(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)＝0，
即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，
解得λ＝.
9．答案：D
解析：∵a，b，c三向量共面，
则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，
即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)＝(2x－y，－x＋4y ， 3x－2y)，
所以解得∴λ＝3x－2y＝.
10．答案：
解析：设M(x，y，z)，则＝(1，－7，－2)，
＝(3－x，－2－y，－5－z)．
又∵＝4，∴∴
11．解：
(1)∵关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，
∴Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－.
又c＝a＋tb＝(－1＋t，1，3－2t)，
∴|c|＝＝ .
∵当t∈时，关于t的函数y＝52＋是单调递减的，
∴当t＝－时，|c|取最小值.
(2)由(1)，知当t＝－时，c＝，|b|＝＝，|c|＝，
∴cos〈b，c〉＝＝－.
一、常考题型
1．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝( )
A. B．
C. D.
2．若向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则( )
A．cos〈a，b〉＝ B．a⊥b
C．a∥b D．|a|＝|b|
3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为( )
A. B．
C. D.
4．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
5．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
7．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．
8．已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．
二、易错专项
9．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B．
C. D.
10．已知M1(2，5，－3)，M2(3，－2，－5)，设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为________．
三、难题突破
11．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且向量a＝(－1，1，3)，b＝(1，0，－2)，c＝a＋tb.
(1)当|c|取最小值时，求t的值；
(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值．
参考答案
1．答案：C
解析：由已知得a＝(1，，)，b＝(1，0，)，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
2．答案：D
解析：∵向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，
cos〈a，b〉＝＝＝－.
由上知A、B不正确，D正确．C显然也不正确．
3．答案：D
解析：由已知得ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)．
由ka＋b与2a－b互相垂直，得(k－1，k，2)·(3，2，－2)＝0，
即5k－7＝0，解得k＝，故选D.
4．答案：B
解析：由题意知，a＋2b＝(2x＋1， 4 ， 4－y)，
2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．
∵(a＋2b)∥(2a－b)，
∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
∴解得
5．答案：C
解析：∵＝(3，4，－8)，＝(5，1，－7)，＝(2，－3，1)，
∴||＝＝，||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC一定为直角三角形．
6．答案：(－∞，－2)
解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，
设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，
所以cos θ＝<0，
又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，
又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
7．答案：
解析：由已知，得
b－a＝(2，t，t)－(1－t，1－t，t)＝(1＋t，2t－1，0)．
∴|b－a|＝
＝＝ .
∴当t＝时，|b－a|的最小值为.
8．解：
(1)∵a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)，
∴a－3b＝(1，5，－1)－3(－2，3，5)＝(1，5，－1)－(－6，9，15)＝(7，－4，－16)，
λa＋b＝λ(1，5，－1)＋(－2，3，5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2，3，5)＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)．
∵(λa＋b)∥(a－3b)，∴＝＝，
解得λ＝－.
(2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)，∴(7，－4，－16)·(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)＝0，
即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，
解得λ＝.
9．答案：D
解析：∵a，b，c三向量共面，
则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，
即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)＝(2x－y，－x＋4y ， 3x－2y)，
所以解得∴λ＝3x－2y＝.
10．答案：
解析：设M(x，y，z)，则＝(1，－7，－2)，
＝(3－x，－2－y，－5－z)．
又∵＝4，∴∴
11．解：
(1)∵关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，
∴Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－.
又c＝a＋tb＝(－1＋t，1，3－2t)，
∴|c|＝＝ .
∵当t∈时，关于t的函数y＝52＋是单调递减的，
∴当t＝－时，|c|取最小值.
(2)由(1)，知当t＝－时，c＝，|b|＝＝，|c|＝，
∴cos〈b，c〉＝＝－.