人教A版（2019）数学选择性必修一册 2.2.1直线的点斜式方程 课时精练（含解析）

2.2.1直线的点斜式方程
一、常考题型
1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示(　　)
A．任何一条直线
B．不过原点的直线
C．不与坐标轴垂直的直线
D．不与x轴垂直的直线
2．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)
A．x＝－1 B．y＝1
C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1)
3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　)
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
4．在同一直角坐标系中，表示直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b15．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
6．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．
7．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)
8．已知直线l的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程．
二、易错专项
9．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．
10．等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为，点B(－3,2)，求直线AC、BC及∠A的平分线所在直线的方程．
三、难题突破
11. 已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3参考答案
1．答案：D
解析：点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．
2．答案：C
解析：由方程知，已知直线的斜率为，
∴所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)，
∴选C.
3．答案：D
解析：直线y＝2x＋1的斜率为2，
∴与其垂直的直线的斜率是－，
∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D.
4．答案：A
解析：在选项B、C中，b1>b2，不合题意；在选项D中，
k15．答案：A
解析：直线x－2y－2＝0的斜率为，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
6．解：直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)．即x＋3y－6＋＝0.
∵k1＝－＝tan α1，∴α1＝150°.
如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，
∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－2＋＝0.
7．答案：C
解析：法一　(1)当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；
(2)当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；
(3)当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角且过原点，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距a<0.C项正确．
法二(排除法) A选项中：直线y＝ax的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y＝x＋a在y轴上的截距a<0，所以不满足．同理可排除B，D，从而得C正确．
8．解：设直线l的方程为y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为A(b,0)和B(0，b)，所以直角三角形OAB的两个直角边长都为|b|，故其面积为b2，由b2＝，解得b＝±1，
∴所求直线的方程为y＝－x＋1或y＝－x－1.
9．答案：k≥1或k≤－1
解析：令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.
由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的范围是k≥1或k≤－1.
10．解：直线AC的方程：y＝x＋2＋.
∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，
∴BC的倾斜角为30°或120°.
当α＝30°时，BC方程为y＝x＋2＋，
∠A平分线倾斜角为120°，
∴所在直线方程为y＝－x＋2－.
当α＝120°时，BC方程为y＝－x＋2－3
∠A平分线倾斜角为30°，
∴所在直线方程为y＝x＋2＋.
11. (1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．
(2)解：设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3需满足
即
解得－≤k≤1.
所以，实数k的取值范围是－≤k≤1.