人教A版（2019）数学选择性必修一册2.5.1直线与圆的位置关系 课时精练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修一册2.5.1直线与圆的位置关系 课时精练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 52.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 20:46:52 | ||
图片预览
文档简介
2.5.1直线与圆的位置关系
一、常考题型
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
2．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0 B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B. C. D．2
4．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．± B．± C．±1 D．不存在
6．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
7．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
8．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
二、易错专项
9．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最大时，直线l的方程为( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x－2y＋3＝0 D．2x＋y－4＝0
10．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在的直线方程．
三、难题突破
11. 已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
参考答案
1．答案：A
解析：圆心到直线的距离为d＝＝1＜4.
所以直线与圆相交．
2．答案：C
解析：设过点M的圆的切线上任一点的坐标为(x，y)，
∵点M(2,1)在圆x2＋y2＝5上，
∴·＝－1，即2x＋y－5＝0.
3．答案：D
解析：由于直线y＝x过圆心(0,0)，所以弦长|AB|＝2R＝2.
4．答案：A
解析：将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得
32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3,0)在圆内．
∴过点P的直线l一定与圆C相交．
5．答案：A
解析：由已知利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心O到直线y＝kx＋1的距离为，由点到直线的距离公式得＝，解得k＝±.
6．答案：4±
解析：圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.
因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，
所以2＋12＝22，
解得a＝4±.
7．答案：10
解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|·|BD|＝×2×2＝10.
8．解析：(1)设圆A的半径为r，由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1.
由A(－1,2)到l的距离为1知，1＝得k＝.
∴3x－4y＋6＝0或x＝－2为所求l的方程．
9．答案：D
解析：易知点M(1,2)在圆C的内部，当∠ACB最大时，|AB|应最大，此时线段AB恰好是圆C的直径，由两点式，直线l的方程为2x＋y－4＝0.
10．解析：由已知可得圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C′(2，－2)，如图．则l与圆C′相切．
设l：y－3＝k(x＋3)，
所以＝1，
整理得12k2＋25k＋12＝0，
解得k＝－或k＝－，
所以所求直线方程为y－3＝－(x＋3)，
或y－3＝－(x＋3)，
即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
11. 解析：(1)设圆M的方程为：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为：
(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)由题知，四边形PAMB的面积为
S＝S△PAM＋S△PBM
＝|AM||PA|＋|BM||PB|.
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|.
所以S＝2|PA|，
而|PA|＝ ＝ ，
即S＝2，
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点p，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2＝2＝2.
一、常考题型
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
2．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0 B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B. C. D．2
4．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．± B．± C．±1 D．不存在
6．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
7．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
8．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
二、易错专项
9．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最大时，直线l的方程为( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x－2y＋3＝0 D．2x＋y－4＝0
10．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在的直线方程．
三、难题突破
11. 已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
参考答案
1．答案：A
解析：圆心到直线的距离为d＝＝1＜4.
所以直线与圆相交．
2．答案：C
解析：设过点M的圆的切线上任一点的坐标为(x，y)，
∵点M(2,1)在圆x2＋y2＝5上，
∴·＝－1，即2x＋y－5＝0.
3．答案：D
解析：由于直线y＝x过圆心(0,0)，所以弦长|AB|＝2R＝2.
4．答案：A
解析：将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得
32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3,0)在圆内．
∴过点P的直线l一定与圆C相交．
5．答案：A
解析：由已知利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心O到直线y＝kx＋1的距离为，由点到直线的距离公式得＝，解得k＝±.
6．答案：4±
解析：圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.
因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，
所以2＋12＝22，
解得a＝4±.
7．答案：10
解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|·|BD|＝×2×2＝10.
8．解析：(1)设圆A的半径为r，由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1.
由A(－1,2)到l的距离为1知，1＝得k＝.
∴3x－4y＋6＝0或x＝－2为所求l的方程．
9．答案：D
解析：易知点M(1,2)在圆C的内部，当∠ACB最大时，|AB|应最大，此时线段AB恰好是圆C的直径，由两点式，直线l的方程为2x＋y－4＝0.
10．解析：由已知可得圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C′(2，－2)，如图．则l与圆C′相切．
设l：y－3＝k(x＋3)，
所以＝1，
整理得12k2＋25k＋12＝0，
解得k＝－或k＝－，
所以所求直线方程为y－3＝－(x＋3)，
或y－3＝－(x＋3)，
即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
11. 解析：(1)设圆M的方程为：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为：
(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)由题知，四边形PAMB的面积为
S＝S△PAM＋S△PBM
＝|AM||PA|＋|BM||PB|.
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|.
所以S＝2|PA|，
而|PA|＝ ＝ ，
即S＝2，
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点p，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2＝2＝2.