人教A版（2019）数学选择性必修一册 3.1.1椭圆及其标准方程 课时精练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修一册 3.1.1椭圆及其标准方程 课时精练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 50.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 20:47:51 | ||
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文档简介
3.1.1椭圆及其标准方程
一、常考题型
1．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
2．若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为( )
A．5 B．3
C．5或3 D．8
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<－2
C．a>3或a<－2 D．a>3或－65．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
6．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
7．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
二、易错专项
9．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
10．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A. B．
C. D.
三、难题突破
11. 如图在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
参考答案
1．B
解析：根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，
因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7.
2．C
解析：由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.
当m>4时，m＝4＋1＝5；
当m<4时，4＝m＋1，∴m＝3.
3．B
解析：利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，
则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
4．D
解析：由a2>a＋6>0得所以
所以a>3或－65．B
解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
6．8
解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
∴在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，
又|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＝8.
答案：8
7．答案：＋＝1
解析：如图，
当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
8．解：
(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|8PF2|＝2a＝2×2＝4.
又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2，
所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝.
故∠F1PF2的余弦值等于.
9．B
解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心：且|PF1|＋|PF2|＝10，
从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
10．A
解析：易知sin α≠0，cos α≠0，
方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1.
因为椭圆的焦点在y轴上，
所以>>0，即sin α>cos α>0.
又α∈，所以<α<.
11. 解：如图，连接MA.
由题意知点M在线段CQ上，
从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
又A(1,0)，C(－1,0)，
故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，
故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.
一、常考题型
1．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
2．若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为( )
A．5 B．3
C．5或3 D．8
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<－2
C．a>3或a<－2 D．a>3或－6
A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
6．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
7．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
二、易错专项
9．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
10．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A. B．
C. D.
三、难题突破
11. 如图在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
参考答案
1．B
解析：根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，
因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7.
2．C
解析：由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.
当m>4时，m＝4＋1＝5；
当m<4时，4＝m＋1，∴m＝3.
3．B
解析：利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，
则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
4．D
解析：由a2>a＋6>0得所以
所以a>3或－6
解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
6．8
解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
∴在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，
又|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＝8.
答案：8
7．答案：＋＝1
解析：如图，
当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
8．解：
(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|8PF2|＝2a＝2×2＝4.
又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2，
所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝.
故∠F1PF2的余弦值等于.
9．B
解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心：且|PF1|＋|PF2|＝10，
从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
10．A
解析：易知sin α≠0，cos α≠0，
方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1.
因为椭圆的焦点在y轴上，
所以>>0，即sin α>cos α>0.
又α∈，所以<α<.
11. 解：如图，连接MA.
由题意知点M在线段CQ上，
从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
又A(1,0)，C(－1,0)，
故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，
故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.