人教A版（2019）数学选择性必修一册 3.2.2双曲线的简单几何性质 课时精练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修一册 3.2.2双曲线的简单几何性质 课时精练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 55.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 20:49:34 | ||
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文档简介
3.2.2双曲线的简单几何性质
一、常考题型
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A．－ B．－4
C．4 D.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C．4 D.
5．若双曲线x2－y2＝1的左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，则a＋b的值为( )
A．－ B.
C．－2 D．2
6．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( )
A. B.
C. D.
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围为________．
8．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
二、易错专项
9．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为________．
三、难题突破
11. 圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．双曲线C1：－＝1过点P且离心率为.
(1)求C1的方程；
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
参考答案
1．答案：B
解析：由题意，双曲线的离心率e＝＝，故＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
2．答案：A
解析：∵方程mx2＋y2＝1表示双曲线，∴m＜0.
将方程化为标准方程为y2－＝1.
则a2＝1，b2＝－.
∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2a，
∴b2＝4a2，∴－＝4，
∴m＝－.
3．答案：A
解析：根据双曲线的渐近线与直线l平行得到渐近线的斜率，由双曲线的一个焦点在直线l上求出c，然后解方程组即可求出a，b的值．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为一条渐近线与直线y＝2x＋10平行，所以＝2.
又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，
所以－2c＋10＝0.所以c＝5.
由
得
故双曲线方程为－＝1.
4．答案：D
解析：由双曲线的定义可得‖PF1|－|PF2‖＝2a，从而可将已知等式转化为关于a，b的方程，求出a，b之间的关系，再将双曲线的离心率用a，b表示即可．
根据双曲线的定义‖PF1|－|PF2‖＝2a，由(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab可得4a2＝b2－3ab，即b2－3ab－4a2＝0，所以2－3－4＝0，解得＝4(负值舍去)．所以e＝＝＝＝＝.
5．答案：A
解析：点P在双曲线上，有a2－b2＝1，
即(a＋b)(a－b)＝1，且到y＝x的距离为，
则＝，且P(a，b)在y＝－x下方，
∴a＋b＜0，
∴|a－b|＝2，∴a＋b＝－.
6．答案：A
解析：利用双曲线的性质及定义得△AF1F2的各边关系，再运用余弦定理求解．
由e＝＝2，得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a，
又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a.
∴cos∠AF2F1＝＝.
7．答案：
解析：由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，
可得|PF1|＝a，|PF2|＝a，
在△PF1F2中，应有|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即a≥2c，
可得e≤，
又e＞1，
∴离心率e的取值范围是.
8.答案：
解析：利用渐近线与直线方程求出交点A，B的坐标，进而得出中点C的坐标；由|PA|＝|PB|可知，PC与直线x－3y＋m＝0(m≠0)垂直，利用斜率关系求出a，b的关系式．
双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
由得A，
由得B，
所以AB的中点C坐标为.
设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，
因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，
所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.
在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝＝.
9．A
解析：椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝，
则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝，
从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.
10．答案：＋＝1
解析：由题意知椭圆离心率e＝＝＝，
∴＝，
∴a＝2b，则椭圆方程为＋＝1，
双曲线x2－y2＝1的两条渐近线为y＝±x，设直线y＝x与椭圆的一个交点为A(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，
∴∴
∴四边形的面积S＝4|x0||y0|＝4×b×b＝b2＝16，
∴b2＝5，
∴所求椭圆C的方程为＋＝1.
11. 解：(1)设切点坐标为P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，
则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝··＝.
由x＋y＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝时，x0y0有最大值，即S有最小值，
因此点P的坐标为(，)．
由题意知解得
故C1的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－，0)，(，0)，由此设C2的方程为＋＝1，其中b1＞0.
由P(，)在C2上，得＋＝1，
解得b＝3，因此C2的方程为＋＝1.
显然，l不是直线y＝0.
设l的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(m2＋2)y2＋2my－3＝0，
又y1，y2是方程的根，因此
由x1＝my1＋，x2＝my2＋，得
因为＝(－x1，－y1)，＝(－x2，－y2)，
由题意知·＝0，
所以x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋4＝0， ⑤
将①②③④代入⑤整理得2m2－2m＋4－11＝0，
解得m＝－1或m＝－＋1.
因此直线l的方程为x－y－＝0或x＋y－＝0.
一、常考题型
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A．－ B．－4
C．4 D.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C．4 D.
5．若双曲线x2－y2＝1的左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，则a＋b的值为( )
A．－ B.
C．－2 D．2
6．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( )
A. B.
C. D.
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围为________．
8．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
二、易错专项
9．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为________．
三、难题突破
11. 圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．双曲线C1：－＝1过点P且离心率为.
(1)求C1的方程；
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
参考答案
1．答案：B
解析：由题意，双曲线的离心率e＝＝，故＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
2．答案：A
解析：∵方程mx2＋y2＝1表示双曲线，∴m＜0.
将方程化为标准方程为y2－＝1.
则a2＝1，b2＝－.
∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2a，
∴b2＝4a2，∴－＝4，
∴m＝－.
3．答案：A
解析：根据双曲线的渐近线与直线l平行得到渐近线的斜率，由双曲线的一个焦点在直线l上求出c，然后解方程组即可求出a，b的值．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，因为一条渐近线与直线y＝2x＋10平行，所以＝2.
又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，
所以－2c＋10＝0.所以c＝5.
由
得
故双曲线方程为－＝1.
4．答案：D
解析：由双曲线的定义可得‖PF1|－|PF2‖＝2a，从而可将已知等式转化为关于a，b的方程，求出a，b之间的关系，再将双曲线的离心率用a，b表示即可．
根据双曲线的定义‖PF1|－|PF2‖＝2a，由(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab可得4a2＝b2－3ab，即b2－3ab－4a2＝0，所以2－3－4＝0，解得＝4(负值舍去)．所以e＝＝＝＝＝.
5．答案：A
解析：点P在双曲线上，有a2－b2＝1，
即(a＋b)(a－b)＝1，且到y＝x的距离为，
则＝，且P(a，b)在y＝－x下方，
∴a＋b＜0，
∴|a－b|＝2，∴a＋b＝－.
6．答案：A
解析：利用双曲线的性质及定义得△AF1F2的各边关系，再运用余弦定理求解．
由e＝＝2，得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a，
又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a.
∴cos∠AF2F1＝＝.
7．答案：
解析：由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，
可得|PF1|＝a，|PF2|＝a，
在△PF1F2中，应有|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即a≥2c，
可得e≤，
又e＞1，
∴离心率e的取值范围是.
8.答案：
解析：利用渐近线与直线方程求出交点A，B的坐标，进而得出中点C的坐标；由|PA|＝|PB|可知，PC与直线x－3y＋m＝0(m≠0)垂直，利用斜率关系求出a，b的关系式．
双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
由得A，
由得B，
所以AB的中点C坐标为.
设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，
因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，
所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.
在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝＝.
9．A
解析：椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝，
则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝，
从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.
10．答案：＋＝1
解析：由题意知椭圆离心率e＝＝＝，
∴＝，
∴a＝2b，则椭圆方程为＋＝1，
双曲线x2－y2＝1的两条渐近线为y＝±x，设直线y＝x与椭圆的一个交点为A(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，
∴∴
∴四边形的面积S＝4|x0||y0|＝4×b×b＝b2＝16，
∴b2＝5，
∴所求椭圆C的方程为＋＝1.
11. 解：(1)设切点坐标为P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，
则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝··＝.
由x＋y＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝时，x0y0有最大值，即S有最小值，
因此点P的坐标为(，)．
由题意知解得
故C1的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－，0)，(，0)，由此设C2的方程为＋＝1，其中b1＞0.
由P(，)在C2上，得＋＝1，
解得b＝3，因此C2的方程为＋＝1.
显然，l不是直线y＝0.
设l的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(m2＋2)y2＋2my－3＝0，
又y1，y2是方程的根，因此
由x1＝my1＋，x2＝my2＋，得
因为＝(－x1，－y1)，＝(－x2，－y2)，
由题意知·＝0，
所以x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋4＝0， ⑤
将①②③④代入⑤整理得2m2－2m＋4－11＝0，
解得m＝－1或m＝－＋1.
因此直线l的方程为x－y－＝0或x＋y－＝0.