人教A版（2019）数学选择性必修一册 3.3.1抛物线及其标准方程 课时精练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学选择性必修一册 3.3.1抛物线及其标准方程 课时精练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 97.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-02 20:50:16 | ||
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文档简介
3.3.1抛物线及其标准方程
一、常考题型
1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3 B．6
C. D.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
3．若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标是2的点M到抛物线焦点的距离是3，则p＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A. B．
C. D．2
5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
7．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
8．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
二、易错专项
9．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．
10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)
三、难题突破
11．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
参考答案
1．C
解析：将方程化为标准形式是x2＝y，
因为2p＝，所以p＝.
故到焦点的距离最小值为.
2．C
解析：∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，
∴－＝－1，即p＝2.
3．B
解析：∵抛物线的准线方程为x＝－，点M到焦点的距离为3，
∴2＋＝3，∴p＝2.
4．C
解析：焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，
则由点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，
所以点B的横坐标为，纵坐标为－，
所以S△AOB＝×1×(2＋)＝.
5．D
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由于＝ ＝ ＝2，所以＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，
所以抛物线方程为x2＝16y.
6．答案：
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.
不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，
由已知得－×2＝－1，故a＝.
7．答案：②④
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；
由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
8．解：法一：如图所示，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
则焦点F，准线l：y＝，
作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，3＋＝5，
即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则焦点为F.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
9．答案：x＝－2
解析：将双曲线方程化为标准方程，得－＝1，
∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，
联立抛物线与双曲线方程 x＝3a，
而由 |PF2|＝6－a，
∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，
∴抛物线的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
10. 解：如图所示．
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高为h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
11．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，
因为>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
一、常考题型
1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3 B．6
C. D.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
3．若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标是2的点M到抛物线焦点的距离是3，则p＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A. B．
C. D．2
5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
7．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
8．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
二、易错专项
9．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．
10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)
三、难题突破
11．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
参考答案
1．C
解析：将方程化为标准形式是x2＝y，
因为2p＝，所以p＝.
故到焦点的距离最小值为.
2．C
解析：∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，
∴－＝－1，即p＝2.
3．B
解析：∵抛物线的准线方程为x＝－，点M到焦点的距离为3，
∴2＋＝3，∴p＝2.
4．C
解析：焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，
则由点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，
所以点B的横坐标为，纵坐标为－，
所以S△AOB＝×1×(2＋)＝.
5．D
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由于＝ ＝ ＝2，所以＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，
所以抛物线方程为x2＝16y.
6．答案：
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.
不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，
由已知得－×2＝－1，故a＝.
7．答案：②④
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；
由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
8．解：法一：如图所示，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
则焦点F，准线l：y＝，
作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，3＋＝5，
即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则焦点为F.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
9．答案：x＝－2
解析：将双曲线方程化为标准方程，得－＝1，
∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，
联立抛物线与双曲线方程 x＝3a，
而由 |PF2|＝6－a，
∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，
∴抛物线的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
10. 解：如图所示．
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高为h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
11．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，
因为>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.