人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.4*数学归纳法 练习（解析版）

数学归纳法
一、单选题
1．（2020·河南省高二月考（理））利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））某个命题与自然数有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知时，该命题不成立，那么可以推得
A．时该命题不成立 B．时该命题成立
C．时该命题不成立 D．时该命题成立
3．（2020·宁县第二中学高二期中（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了A中的一项，但又减少了另一项
D．增加了B中的两项，但又减少了另一项
4．（2020·梅河口市第五中学高二月考（理））用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
5．（2018·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二期中（理））用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是( )
A． B． C． D．
6．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
7.（2020·江苏省天一中学高二期中）对于不等式(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即那么当n=k+1时,=(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知对于任何n∈N*,不等式均成立.
则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B．n=1验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从n=k到n=k+1的证明过程不正确
8．（2020·郏县第一高级中学高二开学考试（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（ ）
A．增加了 B．增加了
C．增加了，但减少了 D．以上各种情况均不对
9．（2020·甘肃省兰州一中高二月考（理））用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·巴楚县第一中学高二期中（理））在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．0
11．（2020·河南省高二学业考试（理））利用数学归纳法证明“，”时，从””变到“”时，左边应增加的因式是（ ）
A． B． C． D．
12．（2018·浙江省诸暨中学高二月考）已知,存在自然数,使得对任意,都能使整除,则最大的的值为( )
A．30 B．9 C．36 D．6
二、填空题
13．（2019·邳州市第四中学高二期中（理））用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是_________．
14．（2016·上海市金山中学高一期末）用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______.
15．（2019·江苏省连云港市锦屏高级中学高二期中（理））利用数学归纳法证明“”时从“”变到“”时，左边应增加的项是______________.
16．（2019·江苏省高二期中（理））用数学归纳法证明“当时，能被31整除”时，从到时需添加的项是______.
三、解答题
17．（2020·陕西省西安一中高二期中（理））用数学归纳法证明：
．
18．（2020·武威第六中学高二期中（理））已知数列的前项和为，且满足，
（1）求，，，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
19．（2020·新疆维吾尔自治区高二期中（理））已知数列，，，…，，…，
（1）计算；
（2）由以上结果推测计算的公式，并用数学归纳法给出证明.
20．（2020·湖北省高二月考）已知数列满足，．
（1）计算，，的值，并猜想数列通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
21．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））已知数列，首项，前项和足.
（1）求出，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
22．（2018·浙江省高三月考）已知是等差数列,是等比数列,．设是数列的前项和．
(1)求；
(2)试用数学归纳法证明：．
数学归纳法答案
一、单选题
1．（2020·河南省高二月考（理））利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
的初始值应为1，而.
故选D
2．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））某个命题与自然数有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知时，该命题不成立，那么可以推得
A．时该命题不成立 B．时该命题成立
C．时该命题不成立 D．时该命题成立
【答案】C
【解析】
假设时该命题成立，由题意可得时，该命题成立，而时，该命题不成立，所以时，该命题不成立.而时，该命题不成立，不能推得该命题是否成立．故选C．
3．（2020·宁县第二中学高二期中（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了A中的一项，但又减少了另一项
D．增加了B中的两项，但又减少了另一项
【答案】D
【解析】
当时，左边，
当时，左边
，
所以，由递推到时，不等式左边增加了，；减少了；
故选：D
4．（2020·梅河口市第五中学高二月考（理））用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
【答案】D
【解析】
当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；
当时，左边，共有项；
所以从“到”左边增加的项数是项.
故选D
5．（2018·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二期中（理））用数学归纳法证明“”，在验证是否成立时，左边应该是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
用数学归纳法证明“”，在验证时，把代入，左边.
故选：C.
6．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，
增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．
故选：C．
7.（2020·江苏省天一中学高二期中）对于不等式(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即那么当n=k+1时,=(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知对于任何n∈N*,不等式均成立.
则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B．n=1验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从n=k到n=k+1的证明过程不正确
【答案】D
【解析】
题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k时的不等式，正确的证明过程如下：
在（2）中假设 时有 成立，即成立，即时成立，故选D．
8．（2020·郏县第一高级中学高二开学考试（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（ ）
A．增加了 B．增加了
C．增加了，但减少了 D．以上各种情况均不对
【答案】C
【解析】
当时，，
当时，，
故增加了，但减少了.
故选：.
9．（2020·甘肃省兰州一中高二月考（理））用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意有，假设时，成立，则
当时，
左边
右边
∴由数学归纳法可知上式成立
∴显然等式两边需同乘
故选：D.
10．（2020·巴楚县第一中学高二期中（理））在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】C
【解析】
因为多边形的边数最少是，即三角形，在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证等于，故选C.
11．（2020·河南省高二学业考试（理））利用数学归纳法证明“，”时，从””变到“”时，左边应增加的因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意“”时，左边为，
“”时，左边为，
从而可得增加两项为，
且减少项为，故选D.
12．（2018·浙江省诸暨中学高二月考）已知,存在自然数,使得对任意,都能使整除,则最大的的值为( )
A．30 B．9 C．36 D．6
【答案】C
【解析】
由，得，
，，
，由此猜想.
下面用数学归纳法证明：
(1)当时，显然成立。
(2)假设时， 能被36整除，即
能被36整除；
当时,
是2的倍数，
能被36整除，
当时，也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除，
的最大值为36.
故选：C.
二、填空题
13．（2019·邳州市第四中学高二期中（理））用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是_________．
【答案】
【解析】
式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为．
14．（2016·上海市金山中学高一期末）用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______.
【答案】
【解析】
因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1
所以，左边的式子为，
故答案为.
15．（2019·江苏省连云港市锦屏高级中学高二期中（理））利用数学归纳法证明“”时从“”变到“”时，左边应增加的项是______________.
【答案】
【解析】
当时，等式为，
当时，等式为，
因此，从“”变到“”时，左边应增加的项是.
故答案为：.
16．（2019·江苏省高二期中（理））用数学归纳法证明“当时，能被31整除”时，从到时需添加的项是______.
【答案】
【解析】
根据数学归纳法，
当时：原式为：；
当时，原式为.
故需添加的项是：.
故答案为：.
三、解答题
17．（2020·陕西省西安一中高二期中（理））用数学归纳法证明：
．
【答案】详见解析
【解析】
证明（1）当时，左边，右边，命题成立．
（2）假设时，命题成立，即．
则当时，
．
所以当时，命题成立．
综合（1）（2）可知，原命题成立．
18．（2020·武威第六中学高二期中（理））已知数列的前项和为，且满足，
（1）求，，，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】（1），，，；（2）见解析
【解析】
（1），当时，，且，
于是，从而可以得到，，猜想通项公式；
（2）下面用数学归纳法证明：．
①当时，满足通项公式；
②假设当时，命题成立，即，
由（1）知，，即证当时命题成立.
由①②可证成立．
19．（2020·新疆维吾尔自治区高二期中（理））已知数列，，，…，，…，
（1）计算；
（2）由以上结果推测计算的公式，并用数学归纳法给出证明.
【答案】（1）；（2），证明见详解
【解析】
（1），
，
；
（2）由（1）猜想 ，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立.
①时，，成立；
②假设时，有成立，
则当时，
，
时，猜想也成立，
故由①，②可知，猜想对都成立.
20．（2020·湖北省高二月考）已知数列满足，．
（1）计算，，的值，并猜想数列通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
【答案】（1），，，猜想：．（2）见解析
【解析】
（1）因为数列满足，，
所以当时，，得，
当时，，，得，
当时，，，得
由此猜想，
（2）用数学归纳法证明如下：
①当时，，猜想成立；
②假设当时猜想成立，即；
则当时，
得
所以当 时猜想成立
根据①、②可知猜想正确.
21．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））已知数列，首项，前项和足.
（1）求出，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】（1），，，；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意，由，，得：
，
由，得：，
由，得：，
由，得：，
猜想的表达式为：；
综上所述，答案为：，，，；；
（2）证明：
1.当时，，∵，∴猜想正确；
2.假设当时，猜想正确，即；
那当时，由已知得：
将归纳假设代入上式，得：
∴，
这就是说，当时，猜想正确；
综上所述1，2知：对一切，都有成立.
22．（2018·浙江省高三月考）已知是等差数列,是等比数列,．设是数列的前项和．
(1)求；
(2)试用数学归纳法证明：．
【答案】(1)；(2)见解析
【解析】
(1)设的公差为的公比为,由,得．
又由,得解得．
所以．
(2)证明：由(1)知,,则．
①当时,,结论成立．
②假设当时,成立,则当时,
,结论也成立．
综合①②,由数学归纳法可知,.
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