人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 4.4*《数学归纳法课时1》教学设计

《数学归纳法》教学设计
课时1数学归纳法的概念
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
数学归纳法的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 逻辑推理 【考查内容】 1.数学归纳法的概念 2.利用数学归纳法进行基础的证明 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
数学归纳法的基本思想及应用 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容既是一种独立的数学推理证明方法,也是对前边学过的数列相关证明的一个深入研究.与正整数n有关的命题的证明可以利用数学归纳法得到较严格的证明.本节知识主要涉及数学归纳法的概念及利用数学归纳法进行证明的方法,即“归纳——猜想——证明”,突出探究问题的方法,然后论证探讨的结论,培养学生概括理解能力、推测解释能力以及说明论证的能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.数学归纳法的概念 2.数学归纳法的基本思想及应用 数学抽象 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生具有一定的逻辑思维能力,通过前边数列通项公式以及前n项和公式的推导,也积累了一定的证明方法,但是对于与正整数n有关的命题的证明还没有形成系统认识,证明方法也尚未熟练,对于一些综合证明,容易忽视条件的细节、证明的要点.所以证明方法的理解及掌握的灵活程度对学生来讲也是一个需要提高的地方.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.数学归纳法的概念
2.数学归纳法的应用
【教学目标设计】
1.了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,达到数学抽象核心素养水平.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.达到逻辑推理核心素养水平.
【教学策略设计】
对于数学归纳法原理,可以采取类比、推广活动,引导学生经历从特殊到一般的过程,形成数学归纳法原理:以证明一个具体的数学命题为背景引出问题——如何通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数时命题都成立；然后,先分析多米诺骨牌全部倒下的过程中蕴含的数学原理,再通过类比得到证明一个与正整数n有关的数学命题的递推结构以及证明方法；最后,抽象出数学归纳法的两个步骤,得到原理.
【教学方法建议】
情境教学法、探究教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
难点:
数学归纳法中递推思想的理解.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在数列的学习过程中,我们已经用归纳的方法得出了一些结论,例如等差数列的通项公式,但并没有给出严格的数学证明.那么,对于这类与正整数有关的命题,我们怎样证明它对每一个正整数都成立呢 本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法.同学们先来看一下数列的递推公式:,并且还已知首项,那么我们通过计算后面几项,能否猜想证明出其通项公式 请一位同学回答.
【学生思考问题,展开计算、讨论】
生:计算可得.再结合,由此猜想:.
师:如何证明这个猜想呢 我们自然会想到从开始一个个往下验证,一般地,与正整数有关的命题,当比较小时可以逐个验证,但是比较大时,还能逐个验证吗 所以为了进行严格地数学证明,我们需要采取另一种方法!
【设计意图】
以学生熟悉的数列通项公式切入课程主题,由怎样更严格地证明出与正整数n有关的命题引出课程主题,激发学生学习兴趣,让学生探索其中的规律.
教学精讲
师:同学们,我们先来从一个游戏看起,大家都知道多米诺骨牌吧,在码放骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若前一块倒下,则一定会导致后一块也倒下,这样的结果就是:只要推倒第一块骨牌,无论有多少块骨牌,最终都能全部倒下.同学们请思考这个问题:在这个游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么
生:首先第一块骨牌倒下,接着任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.
师:没错,但是还有一个条件,就是:第一块骨牌倒下.由这个小游戏,我们能从中发现什么数学关系吗 是不是可以这样理解“任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下”这个条件实际上是给出了一个递推关系:即第块骨牌倒下第块骨牌倒下.
师:那么由这个递推关系,还回到前面求数列通项公式的那个问题,是不是就有如下关系式:由,利用递推关系,推出;由,利用递推关系,推出;由,利用递推关系,推出
师:你能归纳上述过程中的共性,得出推理的一般结构吗
【引导学生思考交流师生共同推理】
师:以成立为条件,就可以推出也成立.
事实上,如果时猜想成立,即,那么,即当时,猜想也成立.
这样,对于猜想“”,由成立,就有成立;由成立,就有成立所以,对于任意正整数,猜想都成立,即数列的通项公式是.
【设活动,深探究】
从学生的角度出发,以学生感兴趣的游戏来引出数学的证明方法,更能把抽象的数学归纳法形象地展示出来,有助于学生对知识的理解和掌握.
【概括理解能力】
通过列举前几项递推关系,培养学生的概括理解能力,从而自主总结出相关规律及方法.
师:以上的证明方法是什么
【要点知识】
数学归纳法的概念
一般地,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立,上述证明方法叫做数学归纳法.
【自主学习】
教师先由实例分析引导出分析过程,再讲授数学归纳法的概念；学生先理解了分析的内容,再接受新的概念.
师:这就是数学归纳法的概念,为了方便同学们记忆,我们再将其步骤用图示方式展现出来.
【要点知识】
数学归纳法步骤图示
师:证明命题成立是不是判定该命题为真 所以从命题的真假角度,我们也可以将数学归纳法的形式改写如下.
【要点知识】
数学归纳法的证明形式
条件:(1)为真;(2)若为真,则也为真.
结论:为真.
在数学归纳法的两步中,第一步验证(或证明)了当时结论成立,即命题为真;第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若为真,则也为真.
完成这两步,就有为真,真真,真,从而完成证明.
师:为了更深入地理解这种证明方法,我们需要通过题目来具体应用.请看一看例题.
【典型例题】
用数学到归纳法的证明
例 用数学归纳法证明:如果是一个公差为的等差数列,那么,对任何都成立.
师:这个公式我们都记得很熟,但是怎样严格地证明出它来呢 应用数学归纳法,因为等差数列的通项公式涉及全体正整数,所以用数学归纳法证明的第一步应该证明时命题成立,第二步要明确证明的目标,即要证明一个新命题:如果时满足,那么时该式也成立.那同学们独立完成这道练习题.
【学生积极思考,自主完成,教师指定一名学生在黑板上以填空形式,完成证明过程】
师:这道题的完整过程如下:
证明:(1)当时,左边,右边,①式成立.
(2)假设当时,①式成立,即,
根据等差数列的定义,有,
于是.
即当,①式也成立,
由(1)(2)可知,①式对任何都成立.
【情境学习】
学生在理解了数学归纳法的基本原理之后,通过证明熟悉的等差数列通项公式,独立完成用数学归纳法的证明过程,也对数列的知识加深了认识.
【少教精教】
教师传授了相关知识的基本原理和概念方法之后,通过习题,让学生自主练习,对学过的内容反复强化,在练习过程中也是对知识的再认识的过程,达到少教精教的目的.
师:同学们再仔细研读教材,要熟记其中几个关键步骤:第一步:证明时,成立;第二步:假设当时成立,证明出当时,也成立.接下来我们多利用一些练习巩固一下.
【巩固练习】
数学归纳法的概念
1.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中,有没有错误 如果有错误,错在哪里
(1)求证:当时,.
证明:假设当时,等式成立,即.则时,左边右边.
所以当时,等式也成立.
由此得出,对任何,等式都成立.
(2)用数学归纳法证明等差数列的前项和公式是.
证明:①当时,左边,右边,等式成立.
②假设当时,等式成立,即.
则当时,
上面两式相加并除以2,可得,
即当时,等式也成立.
由①②可知,等差数列的前项和公式是.
2.用数学归纳法证明:首项为,公比为的等比数列的通项公式是,前项和公式是.
【说明论证能力】
能够在熟悉的数学问题情境中直接应用数学知识进行说明论证.通过巩固练习加深对数学归纳法的理解,培养说明论证能力.
师:我们来总结一下本节课所学知识.
【课堂小结】
数学归纳法的概念
1.数学归纳法的概念.
2.数学归纳法的步骤.
3.用数学归纳法证明.
【设计意图】
通过本节课的学习了解数学归纳法的概念,明确了证明的方法步骤,培养概括理解、说明论证能力,提升数学抽象、逻辑推理核心素养.
教学评价
学完本节课,我们应该理解数学归纳法的概念,理解其基本原理,熟悉记忆证明的步骤,并能够利用这种证明方法解决一些数列简单命题的证明.
应用所学知识,完成下题:
有一位同学用数学归纳法证明:对所有均成立的证明过程如下:
证明:(1)当时,左式右式,∴等式成立.
(2)假设当时等式成立,
即,
当时,左式,而这是以1为首项,公差为3的等差数列的前项的和,所以左式右式,
即当时,等式成立.
由(1)(2)可知,等式对所有均成立.
问题:这样证明对吗 如有问题,请予指出.
思路:不对.因为在证明等式成立时,没有用到时的假设结论,不符合数学归纳法的证明步骤.正确的证明如下:
证明:(1)当时,左式右式,∴等式成立.
(2)假设当时等式成立,
即,
当时,左式右式.
即当时,等式成立.
由(1)(2)可知,等式对所有均成立.
【设计意图】
教师引导学生整理有关数学归纳法的知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生锻炼自己的学科能力(观察记忆、说明论证、概括理解能力、推测解释能力、猜想探究),从而达到数学抽象、逻辑推理的素养目标要求.
教学反思
本节课内容较少,分为2课时,主要学习内容是:数学归纳法的证明原理和方法应用,这一节知识和前边所学联系紧密,等差数列、等比数列的通项公式都可以利用数学归纳法进行严格地证明,在教学过程中,教师要更注重引导学生,在不同的问题情境中,突出数学概念、启发学生独立思考,完成证明过程,必要的时候可以进行小组交流探讨.落实了逻辑推理、数学抽象的学科素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的观察记忆、概括理解、说明论证、推测解释能力.
【以学定教】
理解数学归纳法的概念,并能够通过数学归纳法进行一些数列简单命题的证明,在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.
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