人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《4.4* 数学归纳法课时2》教学设计

《数学归纳法》教学设计
课时2数学归纳法的应用
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
数学归纳法的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 逻辑推理 【考查内容】 1.数学归纳法的概念 2.利用数学归纳法进行基础的证明 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
数学归纳法的基本思想及应用 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容既是一种独立的数学推理证明方法,也是对前边学过的数列相关证明的一个深入研究.与正整数n有关的命题的证明可以利用数学归纳法得到较严格的证明.本节知识主要涉及数学归纳法的概念及利用数学归纳法进行证明的方法,即“归纳——猜想——证明”,突出探究问题的方法,然后论证探讨的结论,培养学生概括理解能力、推测解释能力以及说明论证的能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.数学归纳法的概念 2.数学归纳法的基本思想及应用 数学抽象 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生具有一定的逻辑思维能力,通过前边数列通项公式以及前n项和公式的推导,也积累了一定的证明方法,但是对于与正整数n有关的命题的证明还没有形成系统认识,证明方法也尚未熟练,对于一些综合证明,容易忽视条件的细节、证明的要点.所以证明方法的理解及掌握的灵活程度对学生来讲也是一个需要提高的地方.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.数学归纳法的概念
2.数学归纳法的应用
【教学目标设计】
1.了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,达到数学抽象核心素养水平.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.达到逻辑推理核心素养水平.
【教学策略设计】
对于数学归纳法原理,可以采取类比、推广活动,引导学生经历从特殊到一般的过程,形成数学归纳法原理:以证明一个具体的数学命题为背景引出问题——如何通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数时命题都成立；然后,先分析多米诺骨牌全部倒下的过程中蕴含的数学原理,再通过类比得到证明一个与正整数n有关的数学命题的递推结构以及证明方法；最后,抽象出数学归纳法的两个步骤,得到原理.
【教学方法建议】
情境教学法、探究教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
难点:
数学归纳法中递推思想的理解.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,还记得我们在等比数列的数列求和一节中,补充过一个数列求和的公式吗 这个公式是怎样计算出来的呢 现在我们已经知道了数学归纳法的原理与解题步骤,你能否利用数学归纳法证明出这一结论呢
【学生阅读教材,仔细思考,独立完成】
师:这节课我们主要的学习目标是应用数学归纳法证明一些简单的数列问题,所以接下来我们就一起完成这道题的证明过程.
【设情境,巧引入】
由上一节提出的公式引出要证明的问题,在巩固本节课所学知识概念后也对上一节课内容建立了联系.
教学精讲
【典型例题】
用数学归纳法证明
例1 用数学归纳法证明:.①
师:本题的取值范围是全体正整数,所以用数学归纳法证明时,第一步应当是:
证明:(1)当时,①式的左边,
右边.
而第二步要证明的是一个以“当时,①式成立”为条件,得出“当时,①式也成立”的命题,证明时必须用上上述条件.接下来重点展示一下上述问题的第二步.
【典例解析】
用数学归纳法证明
证明:(2)假设当时,①式成立,即,
在上式两边同时加上,有即当时,①式也成立.
师:由证明可知,对任何正整数都成立.接下来我们证明一道关于数列通项公式的例题.
【说明论证能力】
学生用本节课的学习重点即数学归纳法,证明了一个求和公式,是对证明方法中的重要步骤的强化,锻炼说明论证能力.
【推测解释能力】
学生能提取相关知识,对其进行直接推理,应用数学归纳法的解题步骤进行证明,知识掌握更牢固,培养推测解释能力.
【典型例题】
用数学归纳法证明
例2 已知数列满足,试猜想数列的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
师:这道题同样是已知数列的递推公式,经由数学归纳法证明出数列的通项公式.解决这道题需要先将数列的递推关系进行改写,改写为,应用数学归纳法,我们可以先通过计算前几项,猜想其规律.请同学们计算一下的值.
生:由可得,.
同理可得.
师:归纳上述结果,我们可以猜想得出数列的通项公式为①.可是这道题里是有关全体正整数的命题,只计算前几项就猜想得出其通项公式显然不够严谨,那么我们再用数学归纳法证明一下.同学们自行完成之后小组内交流.
【以学论教】
教师将问题分解,拆分难度,启发学生思考猜想,并就猜想的结果小组内讨论验证,并没有直接给予这个题目的答案,让学生一边思考,一边引导出答案,可以使学生更充分地掌握知识.
【学生积极思考,组内交流,深度理解数学归纳法的应用】
师:关于这道题的猜想归纳解答,同学们请看课件.
【典例解析】
用数学归纳法证明
证明:(1)当时,①式左边,右边,猜想成立.
(2)假设当时,①式成立,即,
那么,即当时,猜想也成立.
由(1)(2)可知,猜想对任何都成立.
【观察记忆能力】
在所给问题情境中,学生选择、提取相关的知识,用合理的步骤展现出过程,并将自己的解法同标准过程进行对比,培养观察记忆能力.
师:我们再共同看一道关于证明不等式的例题.
【典型例题】
用数学归纳法证明
例3 设为正实数,为大于1的正整数,若数列的前项和为,试比较与的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
师:该问题中涉及两个字母和,其中是正实数,是大于1的正整数,可不可以不求和,而直接通过取特殊值比较前项和与的大小关系呢 请同学们先回答下的值.
生:解答如下:
当时,,由,可得;
当时,,由,可得.
师:由此我们可以猜想,当为正整数,为正整数且大于1时,有.
【深度学习】
学生在教师的启发下,多角度分析问题,思考多种解题方法,在归纳、猜想、证明的基础上,强化所学知识,深度学习.
师:你可以用数学归纳法严格证明一下这个结论吗 回想数学归纳法的证明步骤,请同学们自己先证明一下.
【学生积极思考,自主练习,教师巡视检查,点评证明过程,并出示规范证明过程】
【典例解析】
用数学归纳法证明
证明:下面用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当时,由上述过程知,不等式成立.
(2)假设当,且时,不等式成立,即,由,可得,所以.于是,所以,当时,不等式也成立.
由(1)(2)可知,不等式对任何大于1的正整数都成立.
师:同学们,这是第一种猜想,并用数学归纳法进行了证明.但是大家想一想,这道题目本身是关于等比数列的,所以根据等比数列前项和公式的性质,我们是否还可以从这个角度证明这个问题呢
【推测解释能力】
能够在熟悉的数学问题情境中直接应用数学归纳法解决问题.加深对知识的理解,培养分析计算能力.
【典例解析】
用数学归纳法证明
证明:显然,所给数列是等比数列,公比为,于是.
当时,,由,可得;
当时,,由,可得.
由此,我们猜想,当,且时,都有.
【猜想探究能力】
由问题引导出要学习的内容,强调和之前所学知识的联系,以学生自己思考探索为主提升猜想探究能力.
师:我们通过等比数列的前项和公式,计算出前几项的结果,也可以得到相应的猜想,接下来再通过数学归纳法去证明这个猜想,不过要结合前项和公式,同学们独立完成,证明完成后可以在小组里互相交流讨论一下.
【学生积极思考,自主练习,小组内部交流讨论,教师巡视检查,点评证明过程】
师:好的,我们出示一下完整的证明过程,大家注意比对这一种思路和上一种思路在证明过程中的不同.
【典例解析】
用数学归纳法证明
证明:下面用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当时,由上述过程知,不等式成立.
(2)假设当,且时,不等式成立,即,
由,知,所以.
又,所以.所以,当时,不等式也成立.
由(1)(2)可知,不等式对任何大于1的正整数都成立.
【自主学习】
教师引导学生独立完成问题,并自主检查答案,标记重点内容,更正解题步骤上的细节,培养学生自主思考的意识和习惯.
师:通过这几个题目,想必大家也对数学归纳法的证明步骤熟悉了,在一些简单的数列命题的证明中是非常好用的一种证明方法,接下来,我们再通过几道习题加深巩固.
【巩固练习】
用数学归纳法证明
1.用数学归纳法证明:.
2.若数列的前项和为,计算,,由此推测计算的公式,并用数学归纳法进行证明.
3.观察下列两个数列:
数列;
数列.
猜想从第几项起小于,并证明你的结论.
4.猜想满足的数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
师:好的,同学们,本节课我们主要学了数学归纳法这种证明方法,下面请同学具体帮我们回忆一下,具体的证明步骤.
生:(1)(归纳奠基)证明当取第一个值时命题成立;
(2)(归纳递推)假设时命题成立,证明当时命题也成立.
【推测解释能力】
通过习题巩固数学归纳法的证明过程,加深学生对知识的理解和运用,提升推测解释能力,提升观察记忆、说明论证.推测解释能力,数学抽象、逻辑推理核心素养.
师:很好!我们再用框图整理一下重点知识.
【课堂小结】
数学归纳法的应用
【设计意图】
通过本节课的学习,利用思维框图总结回顾,了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.能更好地巩固所学.
教学评价
学完本节课,我们应该理解数学归纳法的概念,理解其基本原理,熟悉记忆证明的步骤,并能够利用这种证明方法解决一些数列简单命题的证明.
应用所学知识,完成下题:
有一位同学用数学归纳法证明:对所有均成立的证明过程如下:
证明:(1)当时,左式右式,∴等式成立.
(2)假设当时等式成立,
即,
当时,左式,而这是以1为首项,公差为3的等差数列的前项的和,所以左式右式,
即当时,等式成立.
由(1)(2)可知,等式对所有均成立.
问题:这样证明对吗 如有问题,请予指出.
思路:不对.因为在证明等式成立时,没有用到时的假设结论,不符合数学归纳法的证明步骤.正确的证明如下:
证明:(1)当时,左式右式,∴等式成立.
(2)假设当时等式成立,
即,
当时,左式右式.
即当时,等式成立.
由(1)(2)可知,等式对所有均成立.
【设计意图】
教师引导学生整理有关数学归纳法的知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生锻炼自己的学科能力(观察记忆、说明论证、概括理解能力、推测解释能力、猜想探究),从而达到数学抽象、逻辑推理的素养目标要求.
教学反思
本节课内容较少,分为2课时,主要学习内容是:数学归纳法的证明原理和方法应用,这一节知识和前边所学联系紧密,等差数列、等比数列的通项公式都可以利用数学归纳法进行严格地证明,在教学过程中,教师要更注重引导学生,在不同的问题情境中,突出数学概念、启发学生独立思考,完成证明过程,必要的时候可以进行小组交流探讨.落实了逻辑推理、数学抽象的学科素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的观察记忆、概括理解、说明论证、推测解释能力.
【以学定教】
理解数学归纳法的概念,并能够通过数学归纳法进行一些数列简单命题的证明,在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.
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