中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 三角函数单元测试卷（巅峰版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·重庆·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆·高一期末）下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·云南玉溪·高一期末）在半径为2的圆上，一扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·安徽合肥·高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·安徽合肥·高一期末）已知函数的部分图像如图所示，则正数A值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·安徽合肥·高一期末）已知函数的图象，给出以下四个论断
①的图象关于直线对称
②的图象的一个对称中心为
③在区间上是减函数
④可由向左平移个单位
以上四个论断中正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（2021·安徽合肥·高一期末）已知函数，，则（ ）
A．的最大值为 B．在区间上只有个零点
C．的最小正周期为 D．为图象的一条对称轴
8．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若是第二象限角，则点在第三象限
B．圆心角为，半径为2的扇形面积为2
C．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是
D．若，且，则
10．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．其最小正周期为
B．其图象由向右平移个单位而得到
C．其表达式可以写成
D．其图象关于点对称
11．（2022·重庆·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．，
D．函数在上无最小值
12．（2022·广东中山·高一期末）已知函数的图象对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．在上单调递减
D．的图象关于直线对称
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022·上海师大附中高一期末）已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________.
14．（2022·重庆·高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若使得，且的最小值为，则_________.
15．（2022·重庆·高一期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为____________.
16．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数，给出下列四个命题：
①函数是周期函数；
②函数的图象关于点成中心对称；
③函数的图象关于直线成轴对称；
④函数在区间上单调递增.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·上海师大附中高一期末）已知角是第三象限角，，求下列各式的值：
(1)；
(2).
18．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式：
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
①当时，求函数的值域；
②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．
19．（2022·江苏南通·高一期末）已知函数的图象时两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于y轴对称.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的值.
20．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.
(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.
21．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数的最小正周期为4，且满足．
(1)求的解析式．
(2)是否存在实数满足？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 三角函数单元测试卷（巅峰版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·重庆·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的诱导公式与三角函数中两角差的余弦公式即可得到答案
【详解】
原式
故选：D
2．（2022·重庆·高一期末）下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最小正周期判断AC，根据单调性排除B，进而得答案.
【详解】解：对于AC选项，，的最小正周期为，故错误；
对于B选项，最小正周期为，在区间上单调递减，故错误；
对于D选项，最小正周期为，当时，为单调递增函数，故正确.
故选：D
3．（2022·云南玉溪·高一期末）在半径为2的圆上，一扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式即可求面积.
【详解】由题设，，则扇形的面积为.
故选：D
4．（2021·安徽合肥·高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简函数式，最后代值计算即可.
【详解】
，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值，注意三角函数值的符号变化，属于基础题.
5．（2021·安徽合肥·高一期末）已知函数的部分图像如图所示，则正数A值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图象可得函数的周期，从而可求，再根据对称轴可求，结合图象过可求.
【详解】由图象可得，故，
而时，函数取最小值，故，
故，而，故，
因为图象过，故，故，
故选：B.
6．（2021·安徽合肥·高一期末）已知函数的图象，给出以下四个论断
①的图象关于直线对称
②的图象的一个对称中心为
③在区间上是减函数
④可由向左平移个单位
以上四个论断中正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】利用代入检验法可判断①②③的正误，利用图象变换可判断④的正误.
【详解】，故的图象关于直线对称，故①正确.
，故的图象的对称中心不是，故②错误.
，
当，，而在为减函数，
故在为减函数，故③正确.
向左平移个单位后所得图象对应的解析式为，
当时，此函数的函数值为，而，
故与不是同一函数，故④错误.
故选：B.
7．（2021·安徽合肥·高一期末）已知函数，，则（ ）
A．的最大值为 B．在区间上只有个零点
C．的最小正周期为 D．为图象的一条对称轴
【答案】D
【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：函数
，
可得的最大值为2，最小正周期为，故A、C错误；
由可得，即，
可知在区间上的零点为，故B错误；
由，可知为图象的一条对称轴，故D正确．
故选：D
8．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由条件知道： 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到，由图像知道周期是 ，故，故
，再根据三角函数的对称中心得到 ，故 如果 ，根据，得到
故答案为B．
点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若是第二象限角，则点在第三象限
B．圆心角为，半径为2的扇形面积为2
C．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是
D．若，且，则
【答案】ABC
【分析】根据任意角的定义、扇形面积的计算公式、二分法以及之间的关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若是第二象限角，则，
故点在第三象限，则正确；
对：根据题意，扇形面积，故正确；
对：对，当时，，当时，，
故可以取的一个区间是，则正确；
对D：，且，则，解得，
则，故D错误；
故选：ABC.
10．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．其最小正周期为
B．其图象由向右平移个单位而得到
C．其表达式可以写成
D．其图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A；由可判断B；利用诱导公式可判断C；令，求出对称中心可判断D
【详解】选项A，，故函数的最小正周期为，选项A正确；
选项B，函数，其图象由向右平移个单位而得到，选项B错误；
选项C，函数，故选项C正确；
选项D，令，解得，故函数图像的对称中心为，令，为，故图象关于点对称，选项D正确
故选：ACD
11．（2022·重庆·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．，
D．函数在上无最小值
【答案】BC
【分析】由图可知，，进而结合待定系数得，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由图可知，，，
所以，即，所以，
再将代入得，即，
所以，即，
因为，所以，即，故A选项错误；
令，解得，即函数的对称中心为，所以当时，函数的图象关于点对称，故B正确；
因为，，即函数关于对称，由函数图像易知正确，故C正确；
当时，，所以当，即时函数取得最小值，故D错误.
故选：BC
12．（2022·广东中山·高一期末）已知函数的图象对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．在上单调递减
D．的图象关于直线对称
【答案】BD
【分析】先利用的图象对称轴与对称中心的最小距离和周期的关系求出值，再利用整体思想求其周期、单调性和对称轴.
【详解】因为的图象对称轴与对称中心的最小距离为，
所以，即，即选项A错误；
由，得，即，
因为，
所以的图象关于对称，即选项B正确；
当时，则，
所以在上单调递增，
即选项C错误；
因为，
所以的图象关于直线对称，
即选项D正确.
故选:BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022·上海师大附中高一期末）已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________.
【答案】##
【分析】由扇形面积公式可直接求得结果.
【详解】扇形面积.
故答案为：.
14．（2022·重庆·高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若使得，且的最小值为，则_________.
【答案】
【分析】根据三角函数的图形变换，求得，根据，不妨设，求得，，得到
则，根据题意得到，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
可得，
又由，不妨设，
由，解得，即，
又由，解得，
即
则，
因为的最小值为，可得，解得或，
因为，所以.
故答案为：
15．（2022·重庆·高一期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为____________.
【答案】
【分析】根据题意所求面积为，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即可.
【详解】易知为等腰三角形，腰长为，底角为，，
所以，
弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得：
所以.
故答案为：.
16．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数，给出下列四个命题：
①函数是周期函数；
②函数的图象关于点成中心对称；
③函数的图象关于直线成轴对称；
④函数在区间上单调递增.
其中，所有正确命题的序号是___________.
【答案】①②③
【分析】利用诱导公式化简函数，借助周期函数的定义判断①；利用函数图象对称的意义判断②③；取特值判断④作答.
【详解】依题意，，因，是周期函数，是它的一个周期，①正确；
因，，
即，因此的图象关于点成对称中心，②正确；
因，，
即，因此的图象关于直线成轴对称，③正确；
因，，，
显然有，而，因此函数在区间上不单调递增，④不正确，
所以，所有正确命题的序号是①②③.
故答案为：①②③
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·上海师大附中高一期末）已知角是第三象限角，，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由同角三角函数基本关系与诱导公式化简后求解
（2）化为齐次式后由同角三角函数基本关系化简求值
(1)
，而角是第三象限角，
故，．
则，
．
(2)
，
将代入，原式
18．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式：
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
①当时，求函数的值域；
②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．
【答案】(1)；
(2)①；②.
【分析】（1）由图象得A、B、，再代入点，求解可得函数的解析式；
（2）①由已知得，由求得，继而求得函数的值域；
②令，，做出函数的图象，设有三个不同的实数根，有，，继而得，由此可得答案.
(1)
解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
(2)
解①：由已知得，当时，，
所以，所以，所以，
所以函数的值域为；
②当时，，令，则，
令，则函数的图象如下图所示，且，，，
由图象得有三个不同的实数根，则，，
所以，即，
所以，所以，
故.
19．（2022·江苏南通·高一期末）已知函数的图象时两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于y轴对称.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两条相邻对称轴之间的距离可求得函数的周期，进而求得，根据平移之后函数图象关于轴对称，可得值，从而可得函数解析式；
（2）将所求角用已知角来表示即可求得结果．
(1)
由题意可知，，即，
所以，，
将的图象向右平移个单位得，
因为的图象关于轴对称，
所以，，
所以，，
因为，所以，
所以；
(2)
，
所以，
，
，
所以．
20．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.
(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.
【答案】(1)不是，理由见解析；
(2)；
(3)或.
【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.
(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.
(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.
(1)
假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，
所以函数不是 “自均值函数”.
(2)
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，
当时，而，则，
若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，
于是得，，要在的值域包含，
则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，
从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，
所以的取值范围是.
(3)
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，
当时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，
当时，函数的对称轴为，
当，即时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，
当，即时，，，，，
由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，
由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；
综上得：或，
所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.
【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.
21．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数的最小正周期为4，且满足．
(1)求的解析式．
(2)是否存在实数满足？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）因为的最小正周期为4，可求得，再根据满足，可知的图象关于点对称，结合，即可求出的值，进而求出结果；
（2）由（1）可得，再根据，在同一坐标系中作出与的大致图象，根据图像并结合的单调性，建立方程，即可求出，由此即可求出结果.
(1)
解：因为的最小正周期为4，所以．
因为满足，
所以的图象关于点对称，
所以，
所以，即，
又，所以．
所以的解析式为．
(2)
解：由，可得．
当时，，．
在同一坐标系中作出与的大致图象，如图所示，
当时，，．
再结合的单调性可知点的横坐标即方程的根，解得．
结合图象可知存在实数满足，的取值范围是．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
