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第五章 三角函数单元测试卷（基础版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·江苏省镇江中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先表达出与角终边相同的角，从四个选项中挑选符合要求的角.
【详解】与终边相同的角为，，当时，， C选项符合要求，经过检验，其他选项不符合要求.
故选：C
2．（2015·湖北武汉·高一期末）已知，，则等于
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：令，得分析得
因而
.
考点：1、两角和（差）的正、余弦公式；2、构造法.
3．（2022·北京·清华附中高一期末）已知．则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解.
【详解】，，
则或，
由得，
由得，
显然，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集.
4．（2021·安徽师范大学附属中学高一期末）已知函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，可得出，令，证明出函数在上为减函数，在上为增函数，由此可求得函数在区间上的最大值，即为所求.
【详解】令，则，则，
令，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数，
任取、且，则，
，则，，，，
所以，函数在区间上为减函数，
同理可证函数在区间上为增函数，
，，.
因此，函数的最大值为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下：
（1）判断或证明函数在区间上的单调性；
（2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值.
5．（2019·广东深圳·高一期末）下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝sinx，是正弦函数，在定义域上不是增函数；不符合题意；
对于B，y＝tanx，为正切函数，在定义域上不是增函数，不符合题意；
对于C，y＝x3，是奇函数且在其定义域内单调递增，符合题意；
对于D，y＝ex为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．
6．（2019·广东深圳·高一期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】根据函数的图象变换规律，可得结论．
【详解】解：，
故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，
故选：D．
7．（2019·广东深圳·高一期末）已知，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值.
【详解】，，可得，
因此，.
故选：C.
8．（2022·山西太原·高一期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用两角差正弦公式化简函数，结合正弦函数的图象与性质得到结果.
【详解】
又，∴，
∴，
∴，
∴函数的值域为.
故选：A
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·江苏省镇江中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A． B．1弧度的角比的角大
C．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关 D．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4
【答案】AB
【分析】根据角度制与弧度制的相互转化即可判断AB，根据弧度制的定义即可判断C，根据扇形的弧长公式和面积公式即可判断D.
【详解】解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，用弧度制量角时，角的大小与圆的半径无关，故C错误；
对于D，设扇形的圆心角为，半径为，
因为扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，
则有，解得或，即扇形的圆心角的弧度数为4或1，故D错误.
故选：AB.
10．（2021·浙江·镇海中学高一期末）设函数，，则（ ）
A．的最小正周期可能为 B．为偶函数
C．当时，的最小值为 D．存a，b使在上单调递增
【答案】BCD
【解析】A．分析是否恒成立；B．分析函数定义域，根据的关系判断是否为偶函数；C．采用换元法，将写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D．分析时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断.
【详解】A．因为，
所以，所以不一定成立，
所以不恒成立，所以的最小正周期不可能为，故错误；
B．因为的定义域为，关于原点对称；
又因为，
所以为偶函数，故正确；
C．因为，所以，所以
令，记，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可知：的最小值为，取最小值时，故正确；
D．取，所以，所以，
所以，所以，
又因为在上单调递减，且时，，且在时单调递减，
根据复合函数的单调性判断方法可知：在上单调递增，
所以存在使在上单调递增，故正确，
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：复合函数的单调性的判断方法：
（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性；
（2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数；
（3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.
11．（2021·广东佛山·高一期末）已知为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】直接利用角所在的象限，判断正弦函数与余弦函数的值的符号，然后利用诱导公式化简各个选项即可判断得解．
【详解】因为为第二象限角，
所以，故错误；
可得，故正确；
所以，故正确；
所以．故错误．
故选：．
12．（2021·广东佛山·高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有2个零点 B．当时，
C．不等式的解集是 D．，都有
【答案】BCD
【分析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．
【详解】对A，当时，由得，又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，则A错；
对B，设，则，则，则B对；
对C，当时，由，得；当时，由，得无解；则C对；
对D，，都有
，则D对．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据奇偶性定义，结合二次函数，二次方程和二次不等式求解．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022·北京·清华附中高一期末）已知，则的值为___________.
【答案】##
【分析】根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答.
【详解】因，则，
所以的值为.
故答案为：
14．（2019·广东深圳·高一期末）已知角的终边经过点，且，则__________.
【答案】
【分析】利用任意角三角函数的定义列方程求出x的值，再计算tanα的值．
【详解】解：角α的终边经过点P（x，﹣12），
∴r＝|OP|，
∴cosα，
解得x＝﹣5，
∴tanα．
故答案为．
【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义与应用问题，是基础题．
15．（2022·山西太原·高一期末）某简谐运动的图象如图所示，则该简谐运动的函数解析式为___________.
【答案】
【分析】由的部分图象确定其解析式
【详解】由图象可知，振幅为3，，
所以周期，
可设函数的解析式为，
因为曲线过点，
则，解得，
所以所求解析式为．
故答案为：
16．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数，给出下列四个命题：
①函数是周期函数；
②函数的图象关于点成中心对称；
③函数的图象关于直线成轴对称；
④函数在区间上单调递增.
其中，所有正确命题的序号是___________.
【答案】①②③
【分析】利用诱导公式化简函数，借助周期函数的定义判断①；利用函数图象对称的意义判断②③；取特值判断④作答.
【详解】依题意，，因，是周期函数，是它的一个周期，①正确；
因，，
即，因此的图象关于点成对称中心，②正确；
因，，
即，因此的图象关于直线成轴对称，③正确；
因，，，
显然有，而，因此函数在区间上不单调递增，④不正确，
所以，所有正确命题的序号是①②③.
故答案为：①②③
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在区间在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)函数的最小正周期为，单调递增区间为；
(2)最大值为，最小值为.
【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的单调递增区间；
（2）由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值.
(1)
解：因为
.
所以，函数的最小正周期为，
由，解得，
因此，函数的单调递增区间为.
(2)
解：因为，所以，，
所以，当时，函数取最小值，即，
当时，函数取最大值，即.
18．（2021·安徽师范大学附属中学高一期末）已知，且，求的值.
【答案】.
【解析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再结合诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】，，
又，，.
,
.
.
19．（2022·北京·清华附中高一期末）已知，，，.
(1)求的值；
(2)求的值：
(3)求的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）同角三角函数平方关系求得，，再由及差角余弦公式求值即可.
（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.
（3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方关系求，最后应用差角余弦公式求，结合角的范围求.
(1)
由题设，，，
∴，，
又.
(2)
.
(3)
由，则，
由，则，
∴，，又，，则，
∴，而，故.
20．（2019·广东深圳·高一期末）已知函数.
（1）求的最小正周期及最大值；
（2）求的单调递减区间.
【答案】（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）.
【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦函数的周期公式可求得函数的最小正周期，利用正弦函数的有界性可求得函数的最大值；
（2）解不等式，即可得出函数的单调递减区间.
【详解】（1），
所以，函数的最小正周期为，最大值为；
（2）解不等式，可得，
因此，函数的单调递减区间为.
21．（2019·广东深圳·高一期末）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若，其中，求的值；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由函数的图象可得出的最小正周期的值，可求得，再将点代入函数的解析式，结合可求得的值，进而可求得函数的解析式；
（2）求得，结合，可求得的值；
（3）求出函数在区间上的最大值和最小值，由题意可得，进而可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期为，，
则，
，可得，
，，，解得，
因此，；
（2），可得，
，，，解得；
（3）当时，，则，
，，
由可得，则，
，，所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：根据三角函数（或）的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
22．（2019·广东深圳·高一期末）如图，某公园中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要30min，其中心O距离地面83.5m，半径为76.5m，小明从最低处登上摩天轮，那么他与地面的距离将随时间的变化而变化，以他登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
（1）试确定小明在时刻t（min）时距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间小明距离地面的高度超过121.75m？
【答案】（1）（）；（2）有小波距离地面的高度超过
【分析】（1）设小波在时刻（）时距离地面的高度为（），则可设（其中为摩天轮转动的角速度），由周期求ω,即可得解.
（2）解得， 当时，解得或，即可得出结论.
【详解】（1）设小波在时刻（）时距离地面的高度为（），
则可设（其中为摩天轮转动的角速度），
因为每转动一圈需要，所以（），
所以（）.
（2）解得，
当时，解得或，，
所以在摩天轮转动的一圈内，有小波距离地面的高度超过.
【点睛】本题以实际问题为背景，考查了三角函数的定义及求解三角不等式，属中档题.
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第五章 三角函数单元测试卷（基础版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·江苏省镇江中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2015·湖北武汉·高一期末）已知，，则等于
A． B． C． D．
3．（2022·北京·清华附中高一期末）已知．则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2021·安徽师范大学附属中学高一期末）已知函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·广东深圳·高一期末）下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是
A． B． C． D．
6．（2019·广东深圳·高一期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
7．（2019·广东深圳·高一期末）已知，其中，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山西太原·高一期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·江苏省镇江中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A． B．1弧度的角比的角大
C．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关 D．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4
10．（2021·浙江·镇海中学高一期末）设函数，，则（ ）
A．的最小正周期可能为 B．为偶函数
C．当时，的最小值为 D．存a，b使在上单调递增
11．（2021·广东佛山·高一期末）已知为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·广东佛山·高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有2个零点 B．当时，
C．不等式的解集是 D．，都有
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022·北京·清华附中高一期末）已知，则的值为___________.
14．（2019·广东深圳·高一期末）已知角的终边经过点，且，则__________.
15．（2022·山西太原·高一期末）某简谐运动的图象如图所示，则该简谐运动的函数解析式为___________.
16．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数，给出下列四个命题：
①函数是周期函数；
②函数的图象关于点成中心对称；
③函数的图象关于直线成轴对称；
④函数在区间上单调递增.
其中，所有正确命题的序号是___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在区间在区间上的最大值和最小值.
18．（2021·安徽师范大学附属中学高一期末）已知，且，求的值.
19．（2022·北京·清华附中高一期末）已知，，，.
(1)求的值；
(2)求的值：
(3)求的值.
20．（2019·广东深圳·高一期末）已知函数.
（1）求的最小正周期及最大值；
（2）求的单调递减区间.
21．（2019·广东深圳·高一期末）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若，其中，求的值；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
22．（2019·广东深圳·高一期末）如图，某公园中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要30min，其中心O距离地面83.5m，半径为76.5m，小明从最低处登上摩天轮，那么他与地面的距离将随时间的变化而变化，以他登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
（1）试确定小明在时刻t（min）时距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间小明距离地面的高度超过121.75m？
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