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突破5.2 三角函数的概念
A组 基础巩固
1．（2022·安徽·高三阶段练习）设角是第一象限角，且满足，则的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）若满足，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022·北京·首都师范大学附属密云中学高三阶段练习）角以为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·四川省平昌中学高一阶段练习）如图，角的终边与单位圆O的交点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）若是第四象限角，则点在第（ ）象限.
A．第四象限 B．第三象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
6．（2021·河北·石家庄一中高二期中）已知，且，（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·甘肃·靖远县第四中学高三阶段练习（文））已知，则（ ）
A．-1 B．-3 C． D．
8．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
9．（2021·内蒙古·鄂尔多斯市第一中学高一阶段练习（文））已知角的终边在直线上，则的值为________.
10．（2022·全国·高三专题练习）设是第二象限角，且满足，则___________.
11．（2022·陕西渭南·高一期末）已知，则___________．
12．（2022·上海·复旦附中高二开学考试）设角的终边经过点，那么______．
13．（2022·宁夏·银川二中高一期末）化简为__________．
14．（2022·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）已知角的终边在直线上，则的值为__________.
15．（2019·浙江·镇海中学高一开学考试）已知，与是关于x的一元二次方程的两根，则的值为________.
16．（2021·上海·高一期末）已知（），则________.（用表示）
B组 能力提升
17．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）（多选题）已知是第一象限角，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·吉林·永吉县第四中学高三阶段练习）（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若，则
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D．终边经过点的角的集合是
19．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高三开学考试）（多选题）已知，则可能为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
20．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）（多选题）已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）函数y的值可能为( )
A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1
22．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）（多选题）若，则终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）角的终边上有一点，且，则＝（ ）
A． B． C． D．0
24．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）已知，求以下各式的值．
(1)；
(2)．
25．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知， .
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求 .的值
26．（2021·全国·高一课时练习）已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，判断角的终边所在的象限，并求和的值．
27．（2021·全国·高一课时练习）已知点是圆上的点，以射线为终边的角的正弦值为，求和的值.
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突破5.2 三角函数的概念
A组 基础巩固
1．（2022·安徽·高三阶段练习）设角是第一象限角，且满足，则的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】由角是第一象限角写出其范围，再写出其半角范围为，再根据其余弦值的绝对值为其相反数，得到其为第三象限.
【详解】由角是第一象限角，有，可得，可知为第一或第三象限角，又由，可得为第三象限角.
故选：C.
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）若满足，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】直接由各象限三角函数的符号判断即可.
【详解】由可知的终边在第三象限或第四象限，又，则的终边在第三象限.
故选：C.
3．（2022·北京·首都师范大学附属密云中学高三阶段练习）角以为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由勾股定理求出，则
【详解】P为第四象限点，故，故.
故选：A
4．（2021·四川省平昌中学高一阶段练习）如图，角的终边与单位圆O的交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意求得，代入计算可得答案.
【详解】因为角的终边与单位圆O的交点， ,
故 ，
所以，
故选：A
5．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）若是第四象限角，则点在第（ ）象限.
A．第四象限 B．第三象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
【答案】C
【分析】根据给定条件确定角的范围，再求得与值的符号即可判断作答.
【详解】因是第四象限角，即，则，
当k是奇数时，是第二象限角，，点在第三象限，
当k是偶数时，是第四象限角，，点在第四象限，
所以点在第三、四象限.
故选：C
6．（2021·河北·石家庄一中高二期中）已知，且，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得的值，结合的范围确定与的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得的值.
【详解】因为，两边平方得，
故，所以与导号，
又因为，所以，，
所以.
故选：C.
7．（2022·甘肃·靖远县第四中学高三阶段练习（文））已知，则（ ）
A．-1 B．-3 C． D．
【答案】D
【分析】利用弦切互化可求三角函数的值.
【详解】，
故选：D.
8．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的定义可得，，，将其代入即可求解.
【详解】由，得，，，代入原式得．
故选：A
9．（2021·内蒙古·鄂尔多斯市第一中学高一阶段练习（文））已知角的终边在直线上，则的值为________.
【答案】或.
【解析】在直线上任取一点.则，然后分两种情况讨论即可
【详解】在直线上任取一点.则.
（1）当时，，故，，
所以；
（2）当时，，故，，
所以.
故等于或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查的是三角函数的定义，较简单.
10．（2022·全国·高三专题练习）设是第二象限角，且满足，则___________.
【答案】
【分析】根据是第二象限角，得到，再由平方求解.
【详解】解：因为是第二象限角，即，
则，
当k为偶数时，，当k为奇数时，，
由平方得
，
即，
所以，
故答案为：
11．（2022·陕西渭南·高一期末）已知，则___________．
【答案】##
【分析】求出的值，在所求等式上除以，利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】因为，若，则，与不符，矛盾，
所以，，所以，，
因此，.
故答案为：.
12．（2022·上海·复旦附中高二开学考试）设角的终边经过点，那么______．
【答案】##2.2
【分析】根据题意，先求出和，然后，代入求解即可得答案
【详解】角的终边经过点，所以，，，
所以，
故答案为：
13．（2022·宁夏·银川二中高一期末）化简为__________．
【答案】1
【分析】根据同角三角函数的基本关系式对所求表达式进行化简，由此求得表达式的值.
【详解】解：依题意
．
故答案为：1．
14．（2022·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）已知角的终边在直线上，则的值为__________.
【答案】0
【分析】根据三角函数的定义求出tanα，要求的式子分子分母同时除以cosα将正余弦化为正切，代值计算即可.
【详解】角的终边在直线上，则tanα＝，
.
故答案为：0.
15．（2019·浙江·镇海中学高一开学考试）已知，与是关于x的一元二次方程的两根，则的值为________.
【答案】
【分析】由已知结合根与系数的关系求得，进一步求得，联立求得，的值，得到及的值，则问题可解．
【详解】与是关于x的一元二次方程的两根，
，两边平方得：，
，
，，
则.
联立，解得，.
.
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系.
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
16．（2021·上海·高一期末）已知（），则________.（用表示）
【答案】
【分析】根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解.
【详解】因为，
所以，
故，解得，
又，，
所以.
故填.
B组 能力提升
17．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）（多选题）已知是第一象限角，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据角所在象限，判断三角函数值的符号。
【详解】已知是第一象限角，∴
由，角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，成立，A正确；不一定成立，B错误；
由，角的终边在第一象限或第三象限，不一定成立，C错误；成立， D正确.
故选：AD．
18．（2022·吉林·永吉县第四中学高三阶段练习）（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若，则
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D．终边经过点的角的集合是
【答案】BCD
【分析】直接利用象限角的定义，同角三角函数关系式，扇形面积公式的计算来判断各选项的结论．
【详解】，是第二象限角，故A错误；
若，则，故B正确；
圆心角为的扇形的弧长为，扇形的半径为，面积为，故C正确；
终边经过点，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，故D正确；
故选：BCD
19．（2022·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高三开学考试）（多选题）已知，则可能为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】AB
【分析】根据三角函数的符号判定角是第几象限角即可.
【详解】因为，所以或，
所以可能为第一象限角或第二象限角.
故选：AB.
20．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）（多选题）已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求出的正余弦及正切值即可计算判断作答.
【详解】因点是角终边上一点，则，
于是得，A正确；
，当时，，当时，，B不正确；
又，则，C正确，D不正确.
故选：AC
21．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）函数y的值可能为( )
A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1
【答案】BD
【分析】按照角x所在的象限进行分类讨论即可得到答案．
【详解】当x是第一象限角时：1＋1＋1＝3，
当x是第二象限角时：1﹣1﹣1＝﹣1，
当x是第三象限角时：1﹣1＋1＝﹣1，
当x是第四象限角时：1＋1﹣1＝﹣1，
∴y的可能值为：﹣1，3．
故选：BD．
22．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）（多选题）若，则终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】BD
【分析】根据角的终边所在限象的三角函数符号，即可得到结果.
【详解】因为，
若，则终边在第二象限；
若，则终边在第四象限；
故选：BD.
23．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）角的终边上有一点，且，则＝（ ）
A． B． C． D．0
【答案】ABD
【分析】根据任意角的三角函数的定义，即可求解.
【详解】由题意，角的终边上有一点，且，
若，此时；
若时，可得，解得，
当时，可得；
当时，可得.
故选：ABD.
24．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）已知，求以下各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）化简原式为即得解；
（2）化简原式为即得解.
(1)
解：.
(2)
解：.
25．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知， .
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求 .的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据可得，解方程并结合角的范围求得；
（2）利用弦化切，将化为，可得答案；
（3）利用，将化为，继而化为，求得答案.
（1）
由得，
解得或 ，
因为，故，则；
（2）
；
（3）
.
26．（2021·全国·高一课时练习）已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，判断角的终边所在的象限，并求和的值．
【答案】见解析.
【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】依题意，得点到原点的距离，
∴．
∵，∴，∴，
∴，∴角的终边在第二或第三象限．
当角的终边在第二象限时，
，，；
当角的终边在第三象限时，
，，．
27．（2021·全国·高一课时练习）已知点是圆上的点，以射线为终边的角的正弦值为，求和的值.
【答案】答案见解析
【分析】设点M的坐标为，则可得，，求出的值，再由任意角的三角函数的定义可求得结果
【详解】设点，由题意可知，即，
∵点在圆上，
∴，即，解得，
∴当时，，，
当时，，.
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