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突破5.2 三角函数的概念
一、考情分析
二、考点梳理
考点1 三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义
正弦，余弦，正切
2.三角函数的定义域：
三角函数 定义域
sinx R
cosx R
tanx
考点2 三角函数值的符号
第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.
注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
考点3 诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：
其中
考点4 单位圆的三角函数线定义
如图（1）PM表示角的正弦值，叫做正弦线.OM表示角的余弦值，叫做余弦线.
如图（2）AT表示角的正切值，叫做正切线.
注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.
三、题型突破
重难点题型突破01 判断三角函数符号的正负
例1．（1）、（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知，则点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】首先判断位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可.
【详解】解：因为，所以为第四象限角，
所以，，
所以点位于第四象限；
故选：D
（2）、（2021·全国·高一课时练习）给出下列各三角函数值：
①；②；③；④．
其中符号为负的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
确定各角所在象限，然后由象限角的三角函数值符号判断．
【详解】
因为－100°角是第三象限角，所以；因为－220°角是第二象限角，所以；因为，所以角－10是第二象限角，所以；．所以符号为负的有4个，
故选：D．
【变式训练1-1】、（2021·北京·潞河中学高三月考）若，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】
确定所在象限，再根据各象限内角的三角函数值的符号判断作答.
【详解】
因，则是第二象限象限角，
所以.
故选：B
【变式训练1-2】、（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据为第二象限角可求得为第一或第三象限角，由可得结果.
【详解】为第二象限角，，
；
当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；
为第一或第三象限角；
，，为第三象限角.
故选：C.
重难点题型突破02 三角函数的概念
例2．（1）、（2021·辽宁·高三月考）已知角的终边与单位圆交于，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据角的终边与单位圆交于，利用三角函数的定义求解.
【详解】
因为角的终边与单位圆交于，
所以，
所以，
所以．
故选：B
（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，且，求，的值．
【答案】答案见解析
【分析】
根据正弦函数的定义求出值，然后再由余弦函数、正切函数的定义计算．
【详解】
由题意，可知，，所以，
所以，
解得或．
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，．
（3）、（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知角的终边经过点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据题意求出，再根据正弦函数的定义即可求出的值.
【详解】
，.
故选：C
【变式训练2-1】、若角终边经过点,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】, ,选D.
【变式训练2-2】、（2020·永州市第四中学高一月考）若一个角的终边上有一点且，则的值为( )
A． B． C．－4或 D．
【答案】C
【解析】
由已知，得，解得或，故选C．
【变式训练2-3】、（2021·天津·大钟庄高中高三月考）已知角α的终边经过点P（-4，m），且，则m=___________.
【答案】
【分析】
利用任意角的三角函数的定义求解.
【详解】
解：∵已知角α的终边经过点P（-4，m），且，
∴，显然，
解得，（舍去），
故答案为：
例3．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与轴非负半轴重合的角的终边上有一点，且，求的值，并求与的值．
【答案】；当时，，；当时，，
【分析】根据三角函数定义可由求得的值；结合的值，由三角函数定义可求得.
【详解】，；
当时，，；
当时，，.
【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）已知角的终边经过点，且满足．
(1)若为第二象限角，求值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)或或.
【分析】（1）根据三角函数的定义得到，通过解方程即可求出的值，从而可求出值；
（2）根据（1）中求出的值，通过分类讨论，利用三角函数的定义即可求出答案.
(1)
由三角函数的定义，可知，解得或，
∵α为第二象限角，∴m＞0，所以m＝，
∴；
(2)
由（1）知或，
当时，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以.
综上所述，的取值为或或．
重难点题型突破03 同角三角函数的公式
例4、（1）、（2022·湖北·安陆第一高中高一阶段练习）已知角的终边经过点，的值是____________．
【答案】
【分析】先利用三角函数的定义求出，再进行弦化切，代入求解.
【详解】因为角的终边经过点，所以.
所以.
故答案为：
（2）、（2022·贵州·高二开学考试）若，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据，将原式齐次化后再弦化切即可得答案.
【详解】解：原式．
故选：C．
（3）、（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B．18 C． D．15
【答案】A
【分析】原式可除以化简成，代入求值即可
【详解】
，
代入可算得原式的值为.
故选：A
【变式训练4-1】、（2021·江苏·扬州中学高三月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解.
【详解】
由可得，
解得：，
故选：C.
【变式训练4-2】．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知，则_____________
【答案】
【分析】分子，分母同除以，再把的值代入即可求解
【详解】
故答案为：
【变式训练4-3】.已知点是角终边上的一点，则=______，=_______.
【答案】
【解析】
根据题意知：，.
故答案为：-2；4.
例5．（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））（1）已知，计算；
（2）已知，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用商数关系化弦为切，即可得解;
（2）将进行平方即可求得答案
【详解】（1）因为，所以；
(2)由，平方可得，
所以
【变式训练5-1】、（2022·全国·高一课时练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求.
（2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值.
（1）
解法一：∵，，
∴，
分子分母同时除以，得，
即，解得．
解法二：∵，∴，
即，∴
∴．
（2）
∵，∴．
重难点题型突破4 综合应用
例6．（2022·全国·高一课时练习）求证：
【答案】详见解析
【证明】方法一
左边
右边，
原式成立．
方法二∵，
，
∴，
原式成立．
【分析】方法一：从等式左边推出右边,通分化简,再有，整理化简即可得到等式右边,得证.方法二：由恒等式，得 ，然后运用等比定理即可证明.
【详解】证明：
方法一
左边
右边，
原式成立.
方法二
∵，
，
∴，
原式成立.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系进行恒等式的证明;其中法一是证明的关键,法二恒等式的合理利用是证明的关键;本题属于难题.
【变式训练6-1】、（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）已知，则角所在的区间可能是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则，又由，得，解得，舍去，则，在第二或第四象限，排除A和D，又而，当时，排除B，只有C答案满足，故选C.
点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令，可将已知等式转化为关于的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得，即和的符号相反，可排除A和D，当时，可求出与所求矛盾，排除B.
【变式训练6-2】、（2021·上海·高一期末）若对任意实数不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】原不等式可化为，令，转化为二次不等式
当时恒成立，利用二次函数求最小值即可解决.
【详解】由原不等式可化简为对任意恒成立，
令得：
当时恒成立，
令，，
函数对称轴方程为，
当，即时，，解得，
当，即时，，解得，
所以，
当，即时，，
解得，
所以，
综上实数的取值范围是，
故答案为
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论的思想，换元法，属于难题.
四、课堂训练
1．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角的终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.
【详解】角的终边上点，则，所以.
故选：A
2．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）已知,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以,将弦化切,代入求解即可.
【详解】,
.
故选:A.
3．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度
B．若，则为第二象限角
C．若，则为第一象限角
D．第一象限角都是锐角，钝角都在第二象限
【答案】BC
【分析】根据任意角的概念可判断A；由正弦值余弦值的正负可判断角的范围，判断B;将平方推出，判断为第一象限角，判断C;举反例可判断D.
【详解】对于A, 经过30分钟，钟表的分针转过弧度，A错误；
对于B，若，则为第二象限角，正确；
对于C，因为，故，
即，结合可知，
故为第一象限角，C正确；
对于D，第一象限角不都是锐角，比如是第一象限角，但不是锐角，
故D错误；
故选：BC
4．（2021·江苏·高一专题练习）已知角的终边经过点，求的值.
【答案】或．
【分析】先求点到原点的距离，再利用定义求，，应注意分类讨论．
【详解】，
当时，，，，；
当时，，，，．
综上可知，的值为或.
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突破5.2 三角函数的概念
一、考情分析
二、考点梳理
考点1 三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义
正弦，余弦，正切
2.三角函数的定义域：
三角函数 定义域
sinx R
cosx R
tanx
考点2 三角函数值的符号
第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.
注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
考点3 诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：
其中
考点4 单位圆的三角函数线定义
如图（1）PM表示角的正弦值，叫做正弦线.OM表示角的余弦值，叫做余弦线.
如图（2）AT表示角的正切值，叫做正切线.
注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.
三、题型突破
重难点题型突破01 判断三角函数符号的正负
例1．（1）、（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知，则点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
（2）、（2021·全国·高一课时练习）给出下列各三角函数值：
①；②；③；④．
其中符号为负的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-1】、（2021·北京·潞河中学高三月考）若，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【变式训练1-2】、（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
重难点题型突破02 三角函数的概念
例2．（1）、（2021·辽宁·高三月考）已知角的终边与单位圆交于，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知角的终边经过点，且，求，的值．
（3）、（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知角的终边经过点，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、若角终边经过点,则（ ）
A. B. C. D.
【变式训练2-2】、（2020·永州市第四中学高一月考）若一个角的终边上有一点且，则的值为( )
A． B． C．－4或 D．
【变式训练2-3】、（2021·天津·大钟庄高中高三月考）已知角α的终边经过点P（-4，m），且，则m=___________.
例3．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与轴非负半轴重合的角的终边上有一点，且，求的值，并求与的值．
【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）已知角的终边经过点，且满足．
(1)若为第二象限角，求值；
(2)求的值．
重难点题型突破03 同角三角函数的公式
例4、（1）、（2022·湖北·安陆第一高中高一阶段练习）已知角的终边经过点，的值是____________．
（2）、（2022·贵州·高二开学考试）若，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
（3）、（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B．18 C． D．15
【变式训练4-1】、（2021·江苏·扬州中学高三月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知，则_____________
【变式训练4-3】.已知点是角终边上的一点，则=______，=_______.
例5．（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））（1）已知，计算；
（2）已知，求．
【变式训练5-1】、（2022·全国·高一课时练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
重难点题型突破4 综合应用
例6．（2022·全国·高一课时练习）求证：
【变式训练6-1】、（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）已知，则角所在的区间可能是
A． B． C． D．
【变式训练6-2】、（2021·上海·高一期末）若对任意实数不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
四、课堂训练
1．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角的终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）已知,则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度
B．若，则为第二象限角
C．若，则为第一象限角
D．第一象限角都是锐角，钝角都在第二象限
4．（2021·江苏·高一专题练习）已知角的终边经过点，求的值.
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