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突破5.3 诱导公式
A组 基础巩固
1．（2022·北京实验学校平谷校区高三阶段练习）已知角α的终边经过点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）化简（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·甘肃·高台县第一中学高三开学考试（理））设，那么（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·上海·位育中学高一期中），化简： （ ）
A． B．
C． D．随k的变化而变化
5．（2019·全国·高一课时练习）现有下列三角函数：①；②；③；④．其中函数值与的值相同的是
A．①② B．②④ C．①③ D．①②④
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2022·辽宁·辽师大附中高一阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．2
9．（2023·全国·高三专题练习）已知角终边上一点，则（ ）
A． B． C．3 D．5
10．（2023·全国·高三专题练习）若为任意角，则满足的一个的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2022·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
13．（2022·河北唐山·高一期末）已知，则等于（ ）
A． B．2 C． D．3
14．（2022·浙江·高三专题练习）如图，是共享单车前轮外边沿上的一点，前轮半径为，若单车向右行进时（车轮无滑动），下列描述正确的是（ ）
A．点在前轮的左下位置，距离地面约为
B．点在前轮的右下位置，距离地面约为
C．点在前轮的左上位置，距离地面约为
D．点在前轮的右上位置，距离地面约为
15．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）已知角的终边上一点，则____.
16．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知，则______．
17．（2021·湖南·高一阶段练习）已知为锐角，若，则________．
18．（2022·全国·高一课时练习）若角的终边落在直线上，则_____．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝____.
20．（2021·江苏·高一专题练习）已知，化简__________.
21．（2021·全国·高一课时练习）求值：___________.
22．（2021·上海·高一期中）已知α为锐角，且，则__.
B组 能力提升
23．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）已知，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022·全国·高一）（多选题）已知，，则可能等于（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且.
(1)化简；
(2)若，求；
(3)若，求.
26．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)化简；
(2)若，求的值.
27．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知 .
(1)化简；
(2)若是第四象限角，且 ，求的值.
28．（2022·北京育才学校高一阶段练习）已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
29．（2022·山东山东·高一期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
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突破5.3 诱导公式
A组 基础巩固
1．（2022·北京实验学校平谷校区高三阶段练习）已知角α的终边经过点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，根据任意角三角函数定义，结合诱导公式，可得答案.
【详解】由题意，，根据诱导公式，.
故选：B.
2．（2022·全国·高一课时练习）化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简可得结果.
【详解】.
故选：C.
3．（2022·甘肃·高台县第一中学高三开学考试（理））设，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知先求出，再利用同角三角函数的关系求出，然后由即可求得结果.
【详解】由，得，
所以，
所以，
故选：A
4．（2020·上海·位育中学高一期中），化简： （ ）
A． B．
C． D．随k的变化而变化
【答案】B
【分析】根据给定条件按k是奇数和偶数分类，借助诱导公式化简计算即得.
【详解】因，则当k是奇数时，，
当k是偶数时，，
所以
故选：B
5．（2019·全国·高一课时练习）现有下列三角函数：①；②；③；④．其中函数值与的值相同的是
A．①② B．②④ C．①③ D．①②④
【答案】B
【分析】利用诱导公式逐项求出函数值判断即可．
【详解】①
②；
③；
④．
，则函数值与的值相同的是②④．
故选B
【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】应用诱导公式及同角三角函数的平方关系求，注意根据的范围判断符号.
【详解】由，而，
∴，
∴.
故选：C.
7．（2021·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由诱导公式求得，然后再由平方关系和诱导公式计算．
【详解】由已知，
，
，
所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出，然后再用诱导公式得出，用平方关系得出，这样求解比较方便．
8．（2022·辽宁·辽师大附中高一阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】应用诱导公式可得，再由平方关系及由弦化切求目标式的值.
【详解】由诱导公式得：，
所以.
则.
故选：D
9．（2023·全国·高三专题练习）已知角终边上一点，则（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】C
【分析】利用三角函数的定义求出，再由诱导公式和同角关系化简条件并求其值.
【详解】因为角终边上一点，
所以，
又，
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）若为任意角，则满足的一个的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由，可得，结合四个选项可选出答案.
【详解】因为，所以，即，
所以满足条件的一个的值为2.
故选：B
11．（2022·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，再根据，即可得到，从而求出，利用诱导公式计算可得.
【详解】因为，
所以，
因为，所以且，
所以，即，
所以，
所以；
故选：A
12．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解.
【详解】由已知使用诱导公式化简得：，
将代入即.
故选：A.
13．（2022·河北唐山·高一期末）已知，则等于（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】应用诱导公式及正余弦的齐次式，将题设等式转化为，即可求值.
【详解】，
∴，可得.
故选：B.
14．（2022·浙江·高三专题练习）如图，是共享单车前轮外边沿上的一点，前轮半径为，若单车向右行进时（车轮无滑动），下列描述正确的是（ ）
A．点在前轮的左下位置，距离地面约为
B．点在前轮的右下位置，距离地面约为
C．点在前轮的左上位置，距离地面约为
D．点在前轮的右上位置，距离地面约为
【答案】D
【分析】计算出点转过的弧度数，结合诱导公式即可得出结论.
【详解】自行车在向右行进的过程中，点在前轮上按照顺时针的方向在旋转，
点转过的弧度数为，
而弧度为第一象限角，故点在前轮的右上位置，
距离地面约为.
故选：D.
15．（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）已知角的终边上一点，则____.
【答案】
【分析】由三角函数的定义求，再由诱导公式求.
【详解】角的终边上一点，点到原点距离为2，由三角函数的定义，
由诱导公式.
故答案为：
16．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知，则______．
【答案】##
【分析】利用诱导公式结合已知条件求解即可
【详解】因为，
所以
，
故答案为：
17．（2021·湖南·高一阶段练习）已知为锐角，若，则________．
【答案】##；
【分析】根据为锐角，可求出，从而结合可判断出为钝角，然后根据同角三角函数关系式可求出，再运用诱导公式即可求出的值.
【详解】因为为锐角，所以，
又因为，所以为钝角，
所以．
所以．
故答案为：.
18．（2022·全国·高一课时练习）若角的终边落在直线上，则_____．
【答案】或
【分析】化简得到，考虑角为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案.
【详解】因为角的终边落在直线上，所以角为第一或第三象限角，
，
当角为第一象限角时，，；
当角为第三象限角时，，．
故答案为：或.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝____.
【答案】18
【分析】由已知求得sinθ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值.
【详解】由，可得，
∴
.
故答案为：18.
20．（2021·江苏·高一专题练习）已知，化简__________.
【答案】
【分析】根据诱导公式化简即可求得答案.
【详解】解：
.
故答案为：
21．（2021·全国·高一课时练习）求值：___________.
【答案】
【详解】原式
，
故答案为：
22．（2021·上海·高一期中）已知α为锐角，且，则__.
【答案】
【分析】先判断的范围，再用诱导公式求.
【详解】因为为锐角，所以，.
.
【点睛】利用三角函数值求角的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）选择合适的公式进行化简计算.
B组 能力提升
23．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）已知，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由三角函数的诱导公式化简可得.
【详解】∵，故A不成立；∵，故B不成立；∵，故C成立；∵，故D成立.
故选：CD.
24．（2022·全国·高一）（多选题）已知，，则可能等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由诱导公式，即，再结合范围求解即可.
【详解】解：因为，
所以由得，
所以，
因为
所以可能等于或
故选：BD
25．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且.
(1)化简；
(2)若，求；
(3)若，求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据诱导公式化简求解.
（2）利用同角三角函数的基本关系以及余弦在各象限的符号进行求解.
（3）利用诱导公式进行大角化小角，负角化正角，再利用特殊角的余弦值进行求解.
（1）
根据诱导公式有：
（2）
因为，α是第三象限角，
所以
所以
（3）
因为，
所以
.
26．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)化简；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式将角全部化成，再约分化简即可.
（2）由条件代入解析式得，利用诱导公式求解即可．
（1）
（2）
因为，
所以，
，
故.
27．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知 .
(1)化简；
(2)若是第四象限角，且 ，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，可得答案；
（2）由诱导公式结合是第四象限角可求得以及，由（1）的结果可得答案.
(1)
根据诱导公式可得： ,
所以.
(2)
由诱导公式可知,则由可得,
又是第四象限角,
所以, 所以.
28．（2022·北京育才学校高一阶段练习）已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)4.
【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出，即可求得的值；
(2)利用诱导公式化简原式为，再化为正切即可得解.
(1)
∵，，
∴
∴
(2)
，
.
29．（2022·山东山东·高一期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式化简可得，即可求出；
（2）化简整理得出可求解.
(1)
由，可得，
所以，解得，
所以．
(2)
由（1）知，
所以．
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