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突破5.3 诱导公式
一、考情分析
二、考点梳理
考点1 诱导公式
诱导公式一：，，，其中
诱导公式二： ， ，，其中
诱导公式三： ， ，，其中
诱导公式四：， ，，其中
诱导公式五：， ，其中
诱导公式六：， ，其中
考点2 诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.
三、题型突破
重难点题型突破01 利用诱导公式化简求值
例1．（1）、（2021·北京·人大附中朝阳学校高三月考）若为角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先通过三角函数的定义求出的余弦值，进而通过诱导公式得到答案.
【详解】
因为为角终边上一点，所以，所以.
故选：A.
（2）、（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简运算.
【详解】
故选：D.
（3）、（2023·全国·高三专题练习）已知为锐角，，则___________.
【答案】
【分析】根据诱导公式，求出，再利用同角的三角函数基本关系式求出即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
又因为为锐角，
所以，
故答案为：.
【变式训练1-1】、（2019·山东师范大学附中高一月考）（多选题）已知，则下列等式恒成立的是( )
A． B．
C． D．
E.
【答案】CDE
【解析】∵sin（﹣x）＝﹣sinx，故A不成立；∵，故B不成立；
∵，故C成立；∵，故D成立，
∵，故E成立.故选CDE．
【变式训练1-2】、（2022·湖南· 邵东市第一中学高三阶段练习）的值是___________.
【答案】##
【分析】根据诱导公式直接求解即可.
【详解】解：
故答案为：
【变式训练1-3】、（2022·广东·金山中学高一期末）（多选题）已知则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由诱导公式逐一判断即可.
【详解】，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；故选：AB
重难点题型突破02 分类讨论
例2、（1）、化简：．
【分析】对分当与讨论，利用诱导公式化简求值即可．
【答案】解：，
当时，上式；
当时，上式．
【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值，分类讨论是关键，是基本知识的考查．
（2）．（2020·全国·高三专题练习（文））时，的值为
A．－1 B．1 C．±1 D．与取值有关
【答案】A
【详解】试题分析：当为奇数时，，当为偶数时，，故选A.
考点：诱导公式.
【变式训练2-1】（2019春 集宁区校级月考）设为整数，化简．
【分析】分为偶数和奇数两种情况，分别利用诱导公式进行化简求值．
【答案】解：当为偶数时，．
当为奇数时，，
综上可得，．
【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
【变式训练2-2】、（2019·全国·高一课时练习）为整数，化简的结果是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对分为偶数和为奇数两种情况讨论，分别用诱导公式化简求解.
【详解】当为偶数时，设
则原式
．
当为奇数时，设，
则原式
．
综上，原式的值为．
故选B.
【点睛】对于含的式子化简时，需对分为偶数和为奇数两种情况讨论，分别用诱导公式化简求解，此类题不能对整数进行“奇数与偶数”的分类讨论，或者讨论后不能正确地利用诱导公式是此类题目错误的主要原因．
重难点题型突破03 灵活拆分
例3．（1）、（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得出，进而由，即可求解．
【详解】由且，即，
则．
故选：D.
【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的化简、求值，其中解答中得到，结合诱导公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
（2）、（2021·江西·高三月考（文））已知，则___________.
【答案】
【分析】
根据，利用诱导公式即可得出答案.
【详解】
解：∵，
∴.
故答案为：.
【变式训练3-1】．（2020·山西应县一中高一期中（理））已知，则________.
【答案】
【解析】
因为，所以.
故答案为：.
【变式训练3-2】、（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．－ B． C．－ D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得出，，从而可得出答案.
【详解】
所以
故选：A
重难点题型突破04 综合应用
例4．（1）、（2022·江苏南通·高一开学考试）若，则______．
【答案】
【分析】首先根据诱导公式进行化简，然后代入求值.
【详解】
，
所以.
故答案为：.
（2）．（2022·广东茂名·高一期中）已知的终边上有一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式化简求值即可.
【详解】因为的终边上有一点，
所以，
所以，
故选：C
【变式训练4-1】．（2022·上海市朱家角中学高一期中）若角终边上一点，则的值为___________.
【答案】
【分析】根据诱导公式及三角函数的定义求解.
【详解】由诱导公式知，
，
因为角终边上一点，
所以，
所以原式
故答案为：
【变式训练4-2】．（2021·全国·高一专题练习）（多选题）下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】本题可通过诱导公式将转化为，A正确，然后通过诱导公式将转化为，B正确，最后根据以及同角三角函数关系判断出C错误以及D正确.
【详解】A项：，A正确；
B项：因为，
所以，B正确；
C项：因为，
所以，C错误；
D项：，D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查的公式有、、、等，考查化归与转化思想，是中档题.
例5．（2022·河南焦作·高一期中）已知是第四象限角，且的终边在直线上．
(1)求，和的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；；．
(2)
【分析】根据条件结合三角函数的定义求解；(2)利用诱导公式化简可求其值.
(1)
因为点在直线上，且位于第四象限，
所以点在的终边上．
所以；
；
．
(2)
原式
【变式训练5-1】．（2022·河南南阳·高一期中）（1）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴，终边经过点，求的值；
（2）若是方程的根，求的值.
【答案】（1）3；（2）.
【分析】（1）根据三角函数的定义求出正切，再由化切，代入求解即可；
（2）根据方程的根求出，由诱导公式化简求解即可.
【详解】（1）因为角终边经过点，所以，
所以.
（2）由可得或，故，
所以.
四、课堂训练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简可得结果.
【详解】.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.
【详解】
故选：B.
3．（2022·浙江丽水·高一期末）已知角的终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据三角函数定义得到正弦，余弦及正切值，进而利用诱导公式进行计算，作出判断.
【详解】根据三角函数的定义得：，，，故AB正确；
，C正确；
，D错误.
故选：ABC
4．（2021·全国·高一单元测试）已知，则________.
【答案】
【分析】由诱导公式得，再结合诱导公式求解即可.
【详解】因为，所以.
又因为，
所以.
故答案为：
5．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）已知函数
(1)化简；
(2)若角终边有一点 ，且，求的值；
(3)求函数的值域．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由诱导公式及商数关系化简即可；
（2）由终边点坐标与角的关系即可列方程求解；
（3）将函数转为，结合的值域求函数的值域
（1）
；
（2）
，则横坐标，；
（3）
因为，所以，
，
因为，所以当时，；当时，.
所以的值域为．
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突破5.3 诱导公式
一、考情分析
二、考点梳理
考点1 诱导公式
诱导公式一：，，，其中
诱导公式二： ， ，，其中
诱导公式三： ， ，，其中
诱导公式四：， ，，其中
诱导公式五：， ，其中
诱导公式六：， ，其中
考点2 诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.
三、题型突破
重难点题型突破01 利用诱导公式化简求值
例1．（1）、（2021·北京·人大附中朝阳学校高三月考）若为角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）（ ）
A．1 B． C． D．
（3）、（2023·全国·高三专题练习）已知为锐角，，则___________.
【变式训练1-1】、（2019·山东师范大学附中高一月考）（多选题）已知，则下列等式恒成立的是( )
A． B．
C． D．
E.
【变式训练1-2】、（2022·湖南· 邵东市第一中学高三阶段练习）的值是___________.
【变式训练1-3】、（2022·广东·金山中学高一期末）（多选题）已知则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破02 分类讨论
例2、（1）、化简：．
（2）．（2020·全国·高三专题练习（文））时，的值为
A．－1 B．1 C．±1 D．与取值有关
【变式训练2-1】（2019春 集宁区校级月考）设为整数，化简．
【变式训练2-2】、（2019·全国·高一课时练习）为整数，化简的结果是
A． B． C． D．
重难点题型突破03 灵活拆分
例3．（1）、（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2021·江西·高三月考（文））已知，则___________.
【变式训练3-1】．（2020·山西应县一中高一期中（理））已知，则________.
【变式训练3-2】、（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．－ B． C．－ D．
重难点题型突破04 综合应用
例4．（1）、（2022·江苏南通·高一开学考试）若，则______．
（2）．（2022·广东茂名·高一期中）已知的终边上有一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
【变式训练4-1】．（2022·上海市朱家角中学高一期中）若角终边上一点，则的值为___________.
【变式训练4-2】．（2021·全国·高一专题练习）（多选题）下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
例5．（2022·河南焦作·高一期中）已知是第四象限角，且的终边在直线上．
(1)求，和的值；
(2)求的值．
【变式训练5-1】．（2022·河南南阳·高一期中）（1）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴，终边经过点，求的值；
（2）若是方程的根，求的值.
四、课堂训练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江丽水·高一期末）已知角的终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国·高一单元测试）已知，则________.
5．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）已知函数
(1)化简；
(2)若角终边有一点 ，且，求的值；
(3)求函数的值域．
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