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突破5.4 三角函数的图像与性质
A组 基础巩固
1．（2022·浙江·青田县船寮综合高级中学高三期中）设函数，下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C．最小正周期是 D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的性质即可逐一求解.
【详解】对于A,，故正确，
对于B，，故B正确，
对于C,正弦函数的周期为，故C正确，
对于D,由于在上为增函数，,故错误，
故选：D.
2．（2021·全国·高一专题练习）以下函数最小正周期不是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数周期公式即可作出判断.
【详解】的最小正周期为；
的最小正周期为；
的最小正周期为；
的最小正周期为.
故选：D
3．（2022·福建·高三阶段练习）已知函数在上单调递增，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的单调性可得，解不等式可求得；根据和所处的范围，可知和关于对称，由此可解得的值.
【详解】当时，，
在上单调递增，，解得：，即，
，，
则由得：，解得：.
故选：C.
4．（2007·全国·高考真题（文））如图是函数的图象，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由、在函数的图象结合五点作图法可得答案.
【详解】因为在函数的图象上，所以，，
所以，此时，，
又点在函数的图象上，所以，
由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以，
.
故选：C.
5．（2007·全国·高考真题（理））函数的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D．6
【答案】B
【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可.
【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0，
故选：B.
6．（2022·北京通州·高三期中）设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的一个可取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对任意的实数x都成立得，即有，求解即可
【详解】∵对任意的实数x都成立，故，则，故，故当时，一个可能取值为8.
故选：D
7．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（文））若函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由题知，再根据函数在上单调递减可得，进而解不等式求解即可.
【详解】解：因为函数在上单调递减，
所以，解得，
因为，所以，
因为函数在上单调递减，
所以，函数在上单调递减，则有，解得，
所以的取值范围是，即的最大值为.
故选：A
8．（2022·贵州黔南·高三期中（文））已知函数（，，）的部分图像如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题图有且，结合五点法求参数，即可得的解析式
【详解】由图知：且，则，
因为，所以，则，即，
点代入可得，
所以，，则，，
又，即有，
综上，.
故选：B
9．（2022·广东·高三学业考试）函数是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】D
【分析】因为函数，由奇偶函数的定义结合求周期的公式即可得出答案.
【详解】解析：函数，
故该函数为偶函数，且它的最小正周期为.
故选：D.
10．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将点代入，求得，由在区间内不存在最值，得是单调区间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到的取值范围.
【详解】因为函数过点，
所以，即，故，
因为，所以，故，
由得，所以的单调递增区间为，
同理：的单调递增区间为，
因为在区间内不存在最值，所以是单调区间的真子集，
当时，有，解得，即，
又因为，，显然当时，不等式成立，且；
当时，有，解得，即，
又因为，，显然当时，不等式成立，且；
综上：或，即
故选：D.
11．（2022·北京·北理工附中高三阶段练习）函数的图像关于轴对称的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的奇偶性的性质进行求解即可．
【详解】由三角函数的性质可知若的图象关于轴，
则，即，，
故函数的图象关于轴对称的充分必要条件是，，
故选：C．
12．（2022·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））奇函数在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性求出，从而，根据得到，列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】因为为奇函数，
所以，即，当时，则，
所以，
解得：.
故选：B
13．（2023·全国·高三专题练习）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A． (k∈Z) B． (k∈Z)
C． (k∈Z) D． (k∈Z)
【答案】B
【分析】由题意可得，然后利用正弦函数的性质求解即可
【详解】由题意，得，
，
所以，
解得，
所以函数的定义域为，
故选：B
14．（2022·全国·高三专题练习）的最小正周期是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】化简可得，根据正弦函数的周期可得.
【详解】因为，
因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，
所以的最小正周期为.
故选：A.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的单调递增区间是________．
【答案】和
【分析】利用正弦函数的单调性以及整体代入的方法，求出的单调递增区间，结合，得出答案．
【详解】由，得，当时，；当时，；
又因为，所以的单调递增区间为和
故答案为：和
16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则当该函数取得最大值时的取值集合是______．
【答案】
【分析】先利用诱导公式化简函数，再根据余弦函数图像可得结果.
【详解】，则当，即，时，有最大值3．
故答案为：
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数图象的一部分如图所示，则 ____________．
【答案】2
【分析】由图可知，根据曲线过点（0,1），可得φ=，再由五点作图法得ω+=2π，进而求出的值，可得函数的解析式，从而即可求解.
【详解】解：由图象可知A=2，且点(0，1)在图象上，
所以1=2sin(ω·0+φ)，即sinφ=，
因为|φ|<，所以φ=，
又是函数的一个零点，由五点作图法可得ω+=2π，
所以ω=2，
所以，
所以.
故答案为：2.
B组 能力提升
18．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）（多选题）已知函数，则下列论述正确的是（ ）
A．的定义域为
B．为偶函数.
C．是周期函数，且最小正周期为
D．的解集为
【答案】BD
【分析】利用余弦、对数函数的性质求定义域、解不等式判断A、D；奇偶性定义判断奇偶性判断B；根据即可判断C.
【详解】由，即，故定义域为，A错误；
，结合A知为偶函数，B正确；
，显然也是的周期，故最小正周期不是，C错误；
，则，即或，所以解集为，D正确.
故选：BD
19．（2022·江苏南通·高三期中）（多选题）若函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象与的图象重合
B．
C．
D．存在唯一的，使得
【答案】AC
【分析】逐项代入验证，化简即可得到结果.
【详解】，A对；
，
，
，B错；
，，C对．
，，
当，即时，，，使得；
当，即时，，，使得.
所以，有两解.
故选：AC.
20．（2021·湖北·襄阳四中高三期中）（多选题）函数，的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的单调递减区间为，
C．
D．的单调递减区间为，
【答案】ABC
【分析】先根据图象，结合已知条件限制求出的解析式即可判断AC，利用整体代入法求单调区间可判断BD
【详解】解：由图象可知，所以则，故A正确；
又点在图象上，所以，
所以，即，
又，所以，所以函数，故C正确；
令，，即，，
所以的单调递减区间为，，故B正确，D不正确，
故选：
21．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）（多选题）已知函数，关于函数说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数为周期函数
【答案】ACD
【分析】结合函数的定义域、奇偶性、值域、周期性的知识求得正确答案.
【详解】依题意，
由于，
所以，故的定义域为（），B选项错误.
，为偶函数，A选项正确.
当时，，，
所以函数的值域为，C选项正确.
由于，是周期函数，D选项正确.
故选：ACD
22．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）
A．当或时，有0个交点 B．当或时，有1个交点
C．当时，有2个交点 D．当时，有2个交点
【答案】AB
【分析】作出函数函数，的图象，数形结合，一一判断每个选项，可得答案.
【详解】根据函数的解析式作出函数的图象如图所示,
对于选项A，当或时，有0个交点，故A正确；
对于选项B，当或时，有1个交点，故B正确；
对于选项C，当时，只有1个交点，故C错误；
对于选项D，当时，只有1个交点，故D错误．
故选:AB．
23．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】逐一研究函数的奇偶性与单调性即可.
【详解】对于A，∵，且函数的定义域为，
∴函数为偶函数，又时，，且函数在
上单调递减，∴函数在上单调递增，故A符合题意；
对于B，∵，且函数定义域为，
∴函数为偶函数，当时，，
且函数在上单调递增，
∴函数在上单调递增，故B符合题意；
对于C，∵，
∴函数在上单调递减，故C不符合题意；
对于D，记，
则，∴，
∴函数不是偶函数，故D不符合题意.
故选：AB.
24．（2022·湖北武汉·高三开学考试）（多选题）设函数，若在[0，2π]有且仅有5个零点，则（ ）
A．在（0，2π）有且仅有3个极大值点 B．在（0，2π）有且仅有2个极小值点
C．在（0，）单调递增 D．的取值范围是[，）
【答案】AD
【分析】由求得的范围，结合正弦函数性质得的范围，判断D，利用正弦函数的极大值、极小值判断ABC．
【详解】，时，，
在[0，2π]有且仅有5个零点，则，，D正确；
此时，，时，取得极大值，A正确；
，，即时，时，均取得极小值，B错；
时，，，则，因此在上不递增，C错．
故选：AD．
25．（2022·辽宁朝阳·高二期末）（多选题）已知函数，直线是的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．的图象的一个对称中心为
C．在区间上有2个零点
D．在区间上为单调函数
【答案】ABC
【分析】根据题意求得，然后逐个分析判断即可
【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，
则，
所以，则，
所以
对于A，，
所以函数为偶函数，故正确；
因为，
所以的图象的一个对称中心为，故正确；
当时，，
所以由正弦函数的性质可知函数在上有2个零点，故C正确；
当时，，
所以函数区间上不单调，故D错误.
故选：ABC.
26．（2022·湖南衡阳·高一期末）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．2π是的周期
C．关于，对称 D．在上单调递增
【答案】ABD
【分析】求得的最大值判断选项A；依据周期定义判断选项B；举反例否定选项C；依据复合函数单调性判定规则判断选项D.
【详解】定义域为，
选项A：的单调递增区间为，
单调递减区间为，
则在，时取得最大值.判断正确；
选项B：由
可得2π是的周期.判断正确；
选项C：由定义域为
可得点在图象上，
但关于的对称点不在图象上，
则不关于，对称.判断错误；
选项D：当时，单调递增，且，则单调递增，
则当时，单调递增.判断正确.
故选：ABD
27．（2022·山东日照·高一期末）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的周期 B．的最小值为
C． D．在上有两解
【答案】AD
【分析】由即可得到的周期，再求出上的函数解析式，从而得到函数的最小值，即可判断A、B，再由，即可判断C，再结合函数的图像与性质以及奇偶性即可判断D.
【详解】∵，
∴是以为周期的函数，故A正确.
当时，，
则，∴，函数的最小值为1，故B错误，
由，故C错误；
当时，，
此时在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值，故在上有唯一解，
又因为，所以为偶函数，因此在上有唯一解，
∴在上有两解，故D正确.
故选：AD.
28．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期．
(1)求函数单调递增区间；
(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由最小正周期求得，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；
（2）转化为求在上的值域．
【详解】（1）因为函数的最小正周期，
所以，由于，所以．
所以，
所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，
令，解得，
所以函数单调递增区间为．
（2）因为函数在上有零点，
所以函数的图像与直线在上有交点，
因为，
故函数在区间上的值域为
所以当时，函数的图像与直线在上有交点，
所以当时，函数在上有零点．
29．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）已知函数的部分图象如图．
(1)求的解析式及单调减区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
【答案】(1)，减区间为
(2)函数在上的最大值为2，最小值为
【分析】（1）利用已知条件求出函数的关系式，从而可求单调减区间；
（2）由（1）得函数，根据的范围，结合余弦函数性质得最值.
（1）
解：由图可知，且，
所以，
所以，
将点代入解析式可得，得
即，又，所以
则
所以的单调减区间满足
解得：
则的单调减区间为：
（2）
解：由（1）得：
因为，所以
故当时，；当时，
所以函数在上的最大值为2，最小值为.
30．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)求的定义域和值域，并判断的奇偶性；
(2)求函数的单调递减区间.
【答案】(1)定义域为，值域为；偶函数
(2)
【分析】（1）根据，即可得到定义域，由可得值域，然后根据奇偶性的定义法即可判断函数奇偶.
（2）由复合函数的单调性，结合（1）中结论即可得到结果.
（1）
若有意义，则，∴，，
∴的定义域为.
∵，∴的值域为.
易知的定义域关于原点对称，又，
∴为偶函数.
（2）
的单调递减区间为，
又单调递增，
∴的单调递减区间为.
31．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若方程有解，求实数的取值范围；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将方程有解转化为求的值域问题，结合二次函数的性质可得答案；
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求函数的最值问题，结合二次函数的性质，可求得答案.
（1）
由，得,
又，所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值,
所以实数的取值范围为．
（2）
由,恒成立，
得,恒成立．
设，,
所以当时，取得最小值4，所以；
设，,
所以当时，取得最大值3，所以,
综上，实数的取值范围为．
32．（2022·北京·高一期末）已知函数.
(1)请用五点法做出一个周期内的图像；
(2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据五点法列表描点连线即可求解；
（2）结合图象求解直接写出结果即可
（1）列表
0
0 1 0 0
（2）的取值范围是.
33．（2021·辽宁·沈阳二十中高一期末）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求函数的最值，并求出取最值时相应x的值.
【答案】(1)
(2)当时，取得最小值；当时，取得最大值．
【分析】（1）根据函数的图像，分别求出，即可求出函数解析式；
（2）根据（1），求得范围，由正弦函数图像性质即可求解．
（1）
由图形知，,则，又图像过，
所以，得，解得,
又，所以，
因此所求函数的解析式为．
（2）
由，
可得，
，
，
又当，即时，
当，即时，，
当时，取得最小值；
当时，取得最大值．
34．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）结合图象，直接求出，求得周期得到，再代入点求出即可；
（2）由（1）知，结合正弦函数的性质求得的取值范围即可.
（1）
由函数图象，可得，，∴，∵，可得，∴，
又∵图象过点，∴，即，∴，，解得，，
又∵，∴，故函数解析式；
（2）
由（1）知，∵，则，又∵的值域为，
∴，且，故，即；
35．（2022·北京育才学校高一阶段练习）已知函数．
(1)求的图像的对称轴方程和单调增区间；
(2)求的最小值及取得最小值时的取值集合．
【答案】(1)对称轴方程是；的单调增区间是；
(2)当时，的最小值是.
【分析】（1）令求得的图像的对称轴方程，再令求单调增区间；
（2）由求得的最小值.
(1)
解：因为函数，
令，解得，
所以的图像的对称轴方程是；
令，
解得，
所以的单调增区间是；
(2)
当，即当，
即，取得最小值.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：
①的最大值为2；②；的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据题干中的三个条件，可分别求出的值，即可求得的解析式；
（2）根据正弦函数的单调区间，整体代入求解函数在区间上的单调性及最值即可.
(1)
由条件③，得又，所以．
由条件①，得，又，所以．
由条件②，得，又，所以．
所以．
经验证，符合题意．
(2)
函数的单调递增区间为．
由，得．又因为，
所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为.
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值，．
故在区间上的单调递增区间为，最小值为.
37．（2022·陕西·绥德中学高一期中）已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为．
(1)求图象的对称轴方程；
(2)若关于x的方程在上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相邻两条对称轴间的距离求出最小正周期，从而求出，得到的解析式，求出对称轴方程；（2）分与两种情况，化为函数交点个数问题，画出的图象，数形结合进行求解.
(1)
因为的图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以的最小正周期为，即，解得：，
所以．
由，得．
故图象的对称轴方程为．
(2)
因为，当时，不满足题意；
当时，可得．画出函数在上的图象，如图．
由图可知或，
解得：或．
综上，实数a的取值范围为．
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突破5.4 三角函数的图像与性质
A组 基础巩固
1．（2022·浙江·青田县船寮综合高级中学高三期中）设函数，下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C．最小正周期是 D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的性质即可逐一求解.
【详解】对于A,，故正确，
对于B，，故B正确，
对于C,正弦函数的周期为，故C正确，
对于D,由于在上为增函数，,故错误，
故选：D.
2．（2021·全国·高一专题练习）以下函数最小正周期不是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数周期公式即可作出判断.
【详解】的最小正周期为；
的最小正周期为；
的最小正周期为；
的最小正周期为.
故选：D
3．（2022·福建·高三阶段练习）已知函数在上单调递增，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的单调性可得，解不等式可求得；根据和所处的范围，可知和关于对称，由此可解得的值.
【详解】当时，，
在上单调递增，，解得：，即，
，，
则由得：，解得：.
故选：C.
4．（2007·全国·高考真题（文））如图是函数的图象，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由、在函数的图象结合五点作图法可得答案.
【详解】因为在函数的图象上，所以，，
所以，此时，，
又点在函数的图象上，所以，
由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以，
.
故选：C.
5．（2007·全国·高考真题（理））函数的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D．6
【答案】B
【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可.
【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0，
故选：B.
6．（2022·北京通州·高三期中）设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的一个可取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对任意的实数x都成立得，即有，求解即可
【详解】∵对任意的实数x都成立，故，则，故，故当时，一个可能取值为8.
故选：D
7．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（文））若函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由题知，再根据函数在上单调递减可得，进而解不等式求解即可.
【详解】解：因为函数在上单调递减，
所以，解得，
因为，所以，
因为函数在上单调递减，
所以，函数在上单调递减，则有，解得，
所以的取值范围是，即的最大值为.
故选：A
8．（2022·贵州黔南·高三期中（文））已知函数（，，）的部分图像如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题图有且，结合五点法求参数，即可得的解析式
【详解】由图知：且，则，
因为，所以，则，即，
点代入可得，
所以，，则，，
又，即有，
综上，.
故选：B
9．（2022·广东·高三学业考试）函数是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】D
【分析】因为函数，由奇偶函数的定义结合求周期的公式即可得出答案.
【详解】解析：函数，
故该函数为偶函数，且它的最小正周期为.
故选：D.
10．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将点代入，求得，由在区间内不存在最值，得是单调区间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到的取值范围.
【详解】因为函数过点，
所以，即，故，
因为，所以，故，
由得，所以的单调递增区间为，
同理：的单调递增区间为，
因为在区间内不存在最值，所以是单调区间的真子集，
当时，有，解得，即，
又因为，，显然当时，不等式成立，且；
当时，有，解得，即，
又因为，，显然当时，不等式成立，且；
综上：或，即
故选：D.
11．（2022·北京·北理工附中高三阶段练习）函数的图像关于轴对称的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的奇偶性的性质进行求解即可．
【详解】由三角函数的性质可知若的图象关于轴，
则，即，，
故函数的图象关于轴对称的充分必要条件是，，
故选：C．
12．（2022·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））奇函数在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性求出，从而，根据得到，列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】因为为奇函数，
所以，即，当时，则，
所以，
解得：.
故选：B
13．（2023·全国·高三专题练习）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A． (k∈Z) B． (k∈Z)
C． (k∈Z) D． (k∈Z)
【答案】B
【分析】由题意可得，然后利用正弦函数的性质求解即可
【详解】由题意，得，
，
所以，
解得，
所以函数的定义域为，
故选：B
14．（2022·全国·高三专题练习）的最小正周期是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】化简可得，根据正弦函数的周期可得.
【详解】因为，
因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，
所以的最小正周期为.
故选：A.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的单调递增区间是________．
【答案】和
【分析】利用正弦函数的单调性以及整体代入的方法，求出的单调递增区间，结合，得出答案．
【详解】由，得，当时，；当时，；
又因为，所以的单调递增区间为和
故答案为：和
16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则当该函数取得最大值时的取值集合是______．
【答案】
【分析】先利用诱导公式化简函数，再根据余弦函数图像可得结果.
【详解】，则当，即，时，有最大值3．
故答案为：
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数图象的一部分如图所示，则 ____________．
【答案】2
【分析】由图可知，根据曲线过点（0,1），可得φ=，再由五点作图法得ω+=2π，进而求出的值，可得函数的解析式，从而即可求解.
【详解】解：由图象可知A=2，且点(0，1)在图象上，
所以1=2sin(ω·0+φ)，即sinφ=，
因为|φ|<，所以φ=，
又是函数的一个零点，由五点作图法可得ω+=2π，
所以ω=2，
所以，
所以.
故答案为：2.
B组 能力提升
18．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）（多选题）已知函数，则下列论述正确的是（ ）
A．的定义域为
B．为偶函数.
C．是周期函数，且最小正周期为
D．的解集为
【答案】BD
【分析】利用余弦、对数函数的性质求定义域、解不等式判断A、D；奇偶性定义判断奇偶性判断B；根据即可判断C.
【详解】由，即，故定义域为，A错误；
，结合A知为偶函数，B正确；
，显然也是的周期，故最小正周期不是，C错误；
，则，即或，所以解集为，D正确.
故选：BD
19．（2022·江苏南通·高三期中）（多选题）若函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象与的图象重合
B．
C．
D．存在唯一的，使得
【答案】AC
【分析】逐项代入验证，化简即可得到结果.
【详解】，A对；
，
，
，B错；
，，C对．
，，
当，即时，，，使得；
当，即时，，，使得.
所以，有两解.
故选：AC.
20．（2021·湖北·襄阳四中高三期中）（多选题）函数，的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的单调递减区间为，
C．
D．的单调递减区间为，
【答案】ABC
【分析】先根据图象，结合已知条件限制求出的解析式即可判断AC，利用整体代入法求单调区间可判断BD
【详解】解：由图象可知，所以则，故A正确；
又点在图象上，所以，
所以，即，
又，所以，所以函数，故C正确；
令，，即，，
所以的单调递减区间为，，故B正确，D不正确，
故选：
21．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）（多选题）已知函数，关于函数说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数为周期函数
【答案】ACD
【分析】结合函数的定义域、奇偶性、值域、周期性的知识求得正确答案.
【详解】依题意，
由于，
所以，故的定义域为（），B选项错误.
，为偶函数，A选项正确.
当时，，，
所以函数的值域为，C选项正确.
由于，是周期函数，D选项正确.
故选：ACD
22．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）
A．当或时，有0个交点 B．当或时，有1个交点
C．当时，有2个交点 D．当时，有2个交点
【答案】AB
【分析】作出函数函数，的图象，数形结合，一一判断每个选项，可得答案.
【详解】根据函数的解析式作出函数的图象如图所示,
对于选项A，当或时，有0个交点，故A正确；
对于选项B，当或时，有1个交点，故B正确；
对于选项C，当时，只有1个交点，故C错误；
对于选项D，当时，只有1个交点，故D错误．
故选:AB．
23．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】逐一研究函数的奇偶性与单调性即可.
【详解】对于A，∵，且函数的定义域为，
∴函数为偶函数，又时，，且函数在
上单调递减，∴函数在上单调递增，故A符合题意；
对于B，∵，且函数定义域为，
∴函数为偶函数，当时，，
且函数在上单调递增，
∴函数在上单调递增，故B符合题意；
对于C，∵，
∴函数在上单调递减，故C不符合题意；
对于D，记，
则，∴，
∴函数不是偶函数，故D不符合题意.
故选：AB.
24．（2022·湖北武汉·高三开学考试）（多选题）设函数，若在[0，2π]有且仅有5个零点，则（ ）
A．在（0，2π）有且仅有3个极大值点 B．在（0，2π）有且仅有2个极小值点
C．在（0，）单调递增 D．的取值范围是[，）
【答案】AD
【分析】由求得的范围，结合正弦函数性质得的范围，判断D，利用正弦函数的极大值、极小值判断ABC．
【详解】，时，，
在[0，2π]有且仅有5个零点，则，，D正确；
此时，，时，取得极大值，A正确；
，，即时，时，均取得极小值，B错；
时，，，则，因此在上不递增，C错．
故选：AD．
25．（2022·辽宁朝阳·高二期末）（多选题）已知函数，直线是的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．的图象的一个对称中心为
C．在区间上有2个零点
D．在区间上为单调函数
【答案】ABC
【分析】根据题意求得，然后逐个分析判断即可
【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，
则，
所以，则，
所以
对于A，，
所以函数为偶函数，故正确；
因为，
所以的图象的一个对称中心为，故正确；
当时，，
所以由正弦函数的性质可知函数在上有2个零点，故C正确；
当时，，
所以函数区间上不单调，故D错误.
故选：ABC.
26．（2022·湖南衡阳·高一期末）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．2π是的周期
C．关于，对称 D．在上单调递增
【答案】ABD
【分析】求得的最大值判断选项A；依据周期定义判断选项B；举反例否定选项C；依据复合函数单调性判定规则判断选项D.
【详解】定义域为，
选项A：的单调递增区间为，
单调递减区间为，
则在，时取得最大值.判断正确；
选项B：由
可得2π是的周期.判断正确；
选项C：由定义域为
可得点在图象上，
但关于的对称点不在图象上，
则不关于，对称.判断错误；
选项D：当时，单调递增，且，则单调递增，
则当时，单调递增.判断正确.
故选：ABD
27．（2022·山东日照·高一期末）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的周期 B．的最小值为
C． D．在上有两解
【答案】AD
【分析】由即可得到的周期，再求出上的函数解析式，从而得到函数的最小值，即可判断A、B，再由，即可判断C，再结合函数的图像与性质以及奇偶性即可判断D.
【详解】∵，
∴是以为周期的函数，故A正确.
当时，，
则，∴，函数的最小值为1，故B错误，
由，故C错误；
当时，，
此时在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值，故在上有唯一解，
又因为，所以为偶函数，因此在上有唯一解，
∴在上有两解，故D正确.
故选：AD.
28．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数的最小正周期．
(1)求函数单调递增区间；
(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由最小正周期求得，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；
（2）转化为求在上的值域．
【详解】（1）因为函数的最小正周期，
所以，由于，所以．
所以，
所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，
令，解得，
所以函数单调递增区间为．
（2）因为函数在上有零点，
所以函数的图像与直线在上有交点，
因为，
故函数在区间上的值域为
所以当时，函数的图像与直线在上有交点，
所以当时，函数在上有零点．
29．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）已知函数的部分图象如图．
(1)求的解析式及单调减区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
【答案】(1)，减区间为
(2)函数在上的最大值为2，最小值为
【分析】（1）利用已知条件求出函数的关系式，从而可求单调减区间；
（2）由（1）得函数，根据的范围，结合余弦函数性质得最值.
（1）
解：由图可知，且，
所以，
所以，
将点代入解析式可得，得
即，又，所以
则
所以的单调减区间满足
解得：
则的单调减区间为：
（2）
解：由（1）得：
因为，所以
故当时，；当时，
所以函数在上的最大值为2，最小值为.
30．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.
(1)求的定义域和值域，并判断的奇偶性；
(2)求函数的单调递减区间.
【答案】(1)定义域为，值域为；偶函数
(2)
【分析】（1）根据，即可得到定义域，由可得值域，然后根据奇偶性的定义法即可判断函数奇偶.
（2）由复合函数的单调性，结合（1）中结论即可得到结果.
（1）
若有意义，则，∴，，
∴的定义域为.
∵，∴的值域为.
易知的定义域关于原点对称，又，
∴为偶函数.
（2）
的单调递减区间为，
又单调递增，
∴的单调递减区间为.
31．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若方程有解，求实数的取值范围；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将方程有解转化为求的值域问题，结合二次函数的性质可得答案；
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求函数的最值问题，结合二次函数的性质，可求得答案.
（1）
由，得,
又，所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值,
所以实数的取值范围为．
（2）
由,恒成立，
得,恒成立．
设，,
所以当时，取得最小值4，所以；
设，,
所以当时，取得最大值3，所以,
综上，实数的取值范围为．
32．（2022·北京·高一期末）已知函数.
(1)请用五点法做出一个周期内的图像；
(2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据五点法列表描点连线即可求解；
（2）结合图象求解直接写出结果即可
（1）列表
0
0 1 0 0
（2）的取值范围是.
33．（2021·辽宁·沈阳二十中高一期末）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求函数的最值，并求出取最值时相应x的值.
【答案】(1)
(2)当时，取得最小值；当时，取得最大值．
【分析】（1）根据函数的图像，分别求出，即可求出函数解析式；
（2）根据（1），求得范围，由正弦函数图像性质即可求解．
（1）
由图形知，,则，又图像过，
所以，得，解得,
又，所以，
因此所求函数的解析式为．
（2）
由，
可得，
，
，
又当，即时，
当，即时，，
当时，取得最小值；
当时，取得最大值．
34．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）结合图象，直接求出，求得周期得到，再代入点求出即可；
（2）由（1）知，结合正弦函数的性质求得的取值范围即可.
（1）
由函数图象，可得，，∴，∵，可得，∴，
又∵图象过点，∴，即，∴，，解得，，
又∵，∴，故函数解析式；
（2）
由（1）知，∵，则，又∵的值域为，
∴，且，故，即；
35．（2022·北京育才学校高一阶段练习）已知函数．
(1)求的图像的对称轴方程和单调增区间；
(2)求的最小值及取得最小值时的取值集合．
【答案】(1)对称轴方程是；的单调增区间是；
(2)当时，的最小值是.
【分析】（1）令求得的图像的对称轴方程，再令求单调增区间；
（2）由求得的最小值.
(1)
解：因为函数，
令，解得，
所以的图像的对称轴方程是；
令，
解得，
所以的单调增区间是；
(2)
当，即当，
即，取得最小值.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：
①的最大值为2；②；的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据题干中的三个条件，可分别求出的值，即可求得的解析式；
（2）根据正弦函数的单调区间，整体代入求解函数在区间上的单调性及最值即可.
(1)
由条件③，得又，所以．
由条件①，得，又，所以．
由条件②，得，又，所以．
所以．
经验证，符合题意．
(2)
函数的单调递增区间为．
由，得．又因为，
所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为.
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值，．
故在区间上的单调递增区间为，最小值为.
37．（2022·陕西·绥德中学高一期中）已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为．
(1)求图象的对称轴方程；
(2)若关于x的方程在上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相邻两条对称轴间的距离求出最小正周期，从而求出，得到的解析式，求出对称轴方程；（2）分与两种情况，化为函数交点个数问题，画出的图象，数形结合进行求解.
(1)
因为的图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以的最小正周期为，即，解得：，
所以．
由，得．
故图象的对称轴方程为．
(2)
因为，当时，不满足题意；
当时，可得．画出函数在上的图象，如图．
由图可知或，
解得：或．
综上，实数a的取值范围为．
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