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突破5.5 三角恒等变换
A组 基础巩固
1．（2022·江西省丰城中学高三阶段练习（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入即可.
【详解】解：因为，所以.
故选：D
2．（2022·宁夏·永宁县文昌中学高三期末（文））（ ）
A． B． C． D．—
【答案】C
【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.
【详解】
.
故选：C
3．（2023·山东潍坊·高三期中）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据范围计算，，再直接利用和差公式计算得到答案.
【详解】，故，
，，
故
.
故选：C
4．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由两角和的余弦公式代入即可得出答案.
【详解】
.
故选：C
5．（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数的基本关系可得，而由配凑法及两角和与差的余弦公式可得 ，代值化简即可.
【详解】，.
又 ，，
，
故选：B．
6．（2023·广东·高三学业考试）若，则的值为（ ）
A．－ B． C．－3 D．3
【答案】A
【分析】根据和差角的正切公式即得.
【详解】∵，
∴．
故选：A.
7．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，利用两角和差正切公式可整理得到结果.
【详解】，
，.
故选：B.
8．（2022·四川成都·高一期末（文））（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正切两角差的公式即可求解.
【详解】因为；
故，
故选：D
9．（2007·湖北·高考真题（文））已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式判断，即可得到，再由计算可得.
【详解】解：由，又，
所以，所以，
又，所以或（舍去），
所以.
故选：A．
10．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2
C．和 D．和2
【答案】C
【分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．
【详解】，
．
当时，函数取得最大值；
函数的周期为，最大值．
故选：C
11．（2007·全国·高考真题）函数的最小正周期等于（ ）
A．π B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为即可求得最小正周期.
【详解】
，
故最小最周期.
故选：A
12．（2022·重庆·高三阶段练习）设，函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简得，然后根据偶函数得到，解得，最后根据即可得到的最小值.
【详解】，因为为偶函数，所以，故，又，最小值为.
故选：D.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则______．
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系求解即可.
【详解】，解得.
因为，，所以.
所以，
又，所以．
故答案为：
14．（2021·全国·高一课前预习）已知是三角形的内角，且，则___________.
【答案】
【分析】把平方可求得，从而可求得，进而可得结果.
【详解】∵，两边平方可得
，
∴，又是三角形的内角，，∴，，
∴，可得，
∴，
∴.
故答案为：.
15．（2019·陕西·安康市教学研究室二模（文））已知是第三象限角，且，则____________．
【答案】##
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】因为是第三象限角，即，则，
所以，，
因此，.
故答案为：.
16．（2022·全国·高一课时练习）计算：________．
【答案】##0.5
【分析】利用两角和的正弦化简三角函数式后可得其值.
【详解】原式．
故答案为：.
17．（2022·上海市嘉定区第二中学高三期中）若为锐角，，则角__________.
【答案】
【分析】结合两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得，进而求得.
【详解】由于为锐角，所以，
所以，
所以
，
所以.
故答案为：
18．（2022·广东佛山·高三期中）已知角，且，则的值为__________.
【答案】
【分析】利用二倍角公式公式将式子化简，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】解：因为，
又，解得，因为，
所以；
故答案为：
19．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边经过点，则___________.
【答案】
【分析】利用三角函数定义求出，再利用二倍角公式化简，结合齐次式法计算作答.
【详解】因角的终边经过点，则，
所以.
故答案为：
20．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一期中）设凼数（a为实数）在区间上最小值为-4，则a的值等于____________.
【答案】
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后利用换元法和函数单调性得到最小值，即可求出.
【详解】，
令，则，，所以当时，取得最小值，，所以.
故答案为：-4.
21．（2022·全国·高三专题练习）求值：____________．
【答案】
【分析】应用辅助角公式及诱导公式化简求值即可.
【详解】．
故答案为：
22．（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数的最小正周期是________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式将化简函数，再由即可求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
23．（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域是____________．
【答案】
【分析】利用两角差的余弦公式结合辅助角公式化简，再根据三角函数的性质即可得出答案.
【详解】解：
，
因为，
所以，
所以，
即函数，的值域是.
故答案为：.
24．（2022·四川·威远中学校高一阶段练习（理））已知函数，当时，求的值域___________.
【答案】
【分析】先化简得出，可得，利用正弦函数的性质即可求出.
【详解】
若，则，则，
所以，即的值域为.
故答案为：.
25．（2022·全国·高三专题练习）函数，若在上的值域为，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】先化简，再换元，利用值域求出的范围，结合简图及定义域可求答案.
【详解】
令，因为，所以；
因为在上的值域为，所以，
结合的简图可得，解得.
故答案为：.
26．（2022·上海·华师大二附中高一期中）函数的最小正周期是__________．
【答案】
【分析】应用差角余弦、辅助角公式可得，再由正弦型函数性质求最小正周期.
【详解】，
所以最小正周期是.
故答案为：
27．（2022·云南西双版纳·二模（文））若函数，的最小正周期为，则正实数______．
【答案】2
【分析】根据三角恒等变换公式化简，再根据周期公式可得结果.
【详解】
，
所以，因为，所以解得．
故答案为：2．
28．（2022·江苏·南京市秦淮中学高一期中）若，则______．
【答案】
【分析】本题属于给值求值问题，利用“已知角”与“未知角”的关系可得,，代值求解即可.
【详解】
B组 能力提升
29．（2022·浙江邵外高三阶段练习）（多选题）已知函数图象的最小正周期是，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称
C．在上的值域为
D．在上单调递增
【答案】ABD
【分析】利用赋值角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得到函数的解析式，由正弦函数的对称性可判断A；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断B；根据的范围和正弦函数的性质直接求解可判断C；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断D.
【详解】解：因为，
函数的最小正周期是，∴，
∴，，
， ∴关于对称，故A正确.
，∴关于轴对称，故B正确.
当时，有，则，所以，
∴，故C错误.
由，解得，
所以的一个单调增区间为，而，
∴在上单调递增，故D正确.
故选：ABD
30．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是周期函数
B．函数的最大值是
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象关于直线对称
【答案】AC
【分析】化简的解析式可得，即可求得最小正周期以及最大值，从而判断出A正确，B错误；代入检验即可以判断C正确D错误
【详解】因为，
所以是周期为2的周期函数，其最大值是，所以A正确，B错误；
因为，所以C正确D错误，
故选：AC．
31．（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）（多选题）下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由正切倍角公式即可判断A选项；由诱导公式及正弦倍角公式即可判断B选项；由辅助角公式即可判断C选项；由正切和角公式即可判断D选项.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD.
32．（2022·江苏·泰州中学高一期中）（多选题）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对于A、C，逆用二倍角公式化简判断；
对于B，逆用两角和的正切公式化简判断；
对于D，用配凑法及逆用两角差的正弦公式化简判断；
【详解】解：对于A，，故A正确；
对于B，,，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D不正确；
故选：ABC .
33．（2022·湖南·长沙市明德中学高一期末）（多选题）已知函数，则（ ）
A．
B．
C．的图象可以看作是由的图象向左平移而得到
D．如果将看成某个简谐运动，则这个简谐运动的频率为
【答案】ACD
【分析】利用三角恒等变换可判断AB选项，利用三角函数图象变换可判断C选项，利用正弦型函数的周期公式可判断D选项.
【详解】因为
，
因为，所以，的图象可以看作是由的图象向左平移而得到，
将看成某个简谐运动，则这个简谐运动的频率为，
所以ACD正确，B不正确．
故选：ACD．
34．（2008·陕西·高考真题（文））已知函数．
(1)求函数的最小正周期及最值；
(2)令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1)，最大值为，最小值为
(2)偶函数，证明见解析
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简得到，再利用周期公式和三角函数性质求最值得到答案.
（2）代入计算得到，再根据奇偶函数的定义判断奇偶性.
【详解】（1），
故，
当，即时，函数有最大值为；
当，即时，函数有最小值为.
（2），
，函数为偶函数.
35．（天津市河北区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简函数，利用周期公式求解；
（2）根据正弦函数的单调减区间公式，令，即可求解.
【详解】（1）
所以，的最小正周期.
（2）函数的单调递减区间为
由，得，
函数的单调递减区间为.
36．（2022·宁夏·平罗中学高二期中（理））已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调区间和对称中心.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据二倍角公式结合辅助角公式化简得，进而可得周期；
（2）将代入的单调增减区间，对称中心，求出即为所求.
【详解】（1）由已知
则最小正周期；
（2）令，得
令，得
令，得，
故函数的单调增区间为，
单调减区间，
对称中心.
37．（2022·天津·高三期中）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值和函数的单调递增区间；
(2)求函数图像的对称轴方程和对称中心坐标.
【答案】(1)，；
(2)，.
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后利用正弦型函数的性质求和单调区间即可；
（2）利用整体代入法求对称轴和对称中心即可.
【详解】（1），
因为最小正周期为，所以，解得，
令，解得，
所以单调递增区间为.
（2）令，解得，所以对称轴方程为；
令，解得，所以对称中心为.
38．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数．
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)求在区间上的最小值及此时的取值．
【答案】(1)1
(2)
(3)当时，取到最小值
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，代入运算求值；（2）以为整体，结合正弦函数的单调区间运算求解；（3）先求的范围，结合正弦函数图象分析运算.
【详解】（1）∵，
∴.
（2）∵，则，
∴的单调递增区间为.
（3）∵，则，
∴，即，
故当，即时，取到最小值.
39．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）已知函数（，）的最大值为1，且的相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，求在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将用三角恒等变换公式化简，再根据最大值和相邻两条对称轴之间的距分别求出a和代入即可；（2）根据三角函数图像变换规律，得到函数的解析式，再根据复合函数求值域的方法逐层计算取值范围即可.
（1）
最大值为，所以
的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，
所以函数的解析式为
（2）
由题
函数的解析式为
即在区间上的值域为
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突破5.5 三角恒等变换
A组 基础巩固
1．（2022·江西省丰城中学高三阶段练习（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．5
2．（2022·宁夏·永宁县文昌中学高三期末（文））（ ）
A． B． C． D．—
3．（2023·山东潍坊·高三期中）设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东·高三学业考试）若，则的值为（ ）
A．－ B． C．－3 D．3
7．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·四川成都·高一期末（文））（ ）
A． B． C． D．
9．（2007·湖北·高考真题（文））已知，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2
C．和 D．和2
11．（2007·全国·高考真题）函数的最小正周期等于（ ）
A．π B． C． D．
12．（2022·重庆·高三阶段练习）设，函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则______．
14．（2021·全国·高一课前预习）已知是三角形的内角，且，则___________.
15．（2019·陕西·安康市教学研究室二模（文））已知是第三象限角，且，则____________．
16．（2022·全国·高一课时练习）计算：________．
17．（2022·上海市嘉定区第二中学高三期中）若为锐角，，则角__________.
18．（2022·广东佛山·高三期中）已知角，且，则的值为__________.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边经过点，则___________.
20．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一期中）设凼数（a为实数）在区间上最小值为-4，则a的值等于____________.
21．（2022·全国·高三专题练习）求值：____________．
22．（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数的最小正周期是________．
23．（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域是____________．
24．（2022·四川·威远中学校高一阶段练习（理））已知函数，当时，求的值域___________.
25．（2022·全国·高三专题练习）函数，若在上的值域为，则实数的取值范围是________．
26．（2022·上海·华师大二附中高一期中）函数的最小正周期是__________．
27．（2022·云南西双版纳·二模（文））若函数，的最小正周期为，则正实数______．
28．（2022·江苏·南京市秦淮中学高一期中）若，则______．
B组 能力提升
29．（2022·浙江邵外高三阶段练习）（多选题）已知函数图象的最小正周期是，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称
C．在上的值域为
D．在上单调递增
30．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是周期函数
B．函数的最大值是
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象关于直线对称
31．（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）（多选题）下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2022·江苏·泰州中学高一期中）（多选题）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2022·湖南·长沙市明德中学高一期末）（多选题）已知函数，则（ ）
A．
B．
C．的图象可以看作是由的图象向左平移而得到
D．如果将看成某个简谐运动，则这个简谐运动的频率为
34．（2008·陕西·高考真题（文））已知函数．
(1)求函数的最小正周期及最值；
(2)令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
35．（天津市河北区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间.
36．（2022·宁夏·平罗中学高二期中（理））已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调区间和对称中心.
37．（2022·天津·高三期中）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值和函数的单调递增区间；
(2)求函数图像的对称轴方程和对称中心坐标.
38．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数．
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)求在区间上的最小值及此时的取值．
39．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）已知函数（，）的最大值为1，且的相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，求在区间上的值域．
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