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突破5.6 函数y=Asin（ωx+φ）
A组 基础巩固
1．（2022·山东青岛·高三期中）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个长度单位，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度
D．函数的图象关于点对称
4．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数在上恰有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在区间的最小值为
C．在上的单调递增区间为
D．将图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数，若在上有且只有三个不等实根，则
6．（2022·广西北海·一模（理））已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数，将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图像，若图像关于对称，则为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知函数部分图象如图所示，且的面积是面积的2倍，则函数的单调递减区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2022·四川·遂宁中学高三阶段练习（理））已知函数的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．关于直线对称
D．将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
10．（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）要得到函数的图象，需将函数的图象至少向左平移__________ 个单位长度.
11．（2022·安徽阜阳·高一期末）已知函数的图象如图所示，将函数f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则关于x的方程在区间[－2022，2022]上有________个实数解．
12．（2022·全国·高一专题练习）将函数（）图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是 的图象的一条对称轴，则_________.
13．（2022·山东济南·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则满足的最小正整数x的值为_______．
14．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，其中所有正确结论的编号是_______.
15．（2022·湖南·高三阶段练习）将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，则的一个可能取值是______.
16．（2023·全国·高三专题练习）把的图象向右平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数的图象，若对成立．
①的一个单调递减区间为；
②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为；
③的对称中心为；
④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为．
其中，判断正确的序号是_________．
17．（2021·北京市朝阳区人大附中朝阳分校高一阶段练习）下列说法中，所有正确说法的序号是__________.
①函数图象的一个对称中心是；
②函数在第一象限是增函数；
③为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度.
④若，都是第一象限角，则是成立的充分必要条件.
B组 能力提升
18．（2022·湖北襄阳·高三期中）（多选题）函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．在上单调递增
C．若在上恰有4个零点，则
D．在上的最大值为
19．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．点是曲线的对称中心
C．函数在区间内单调递增
D．函数在区间内有两个最值点
20．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）（多选题）已知函数的部分图象如图（1）所示，函数的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上有4个零点
D．将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合
21．（2022·辽宁·鞍山一中二模）（多选题）函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线是函数图像的一条对称轴
B．函数的图像关于点对称
C．函数的单调递增区间为
D．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像
22．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）（多选题）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的值可能为（ ）
A．3 B． C． D．
23．（2022·江苏南通·高三期中）（多选题）已知定义在上的函数在区间上是增函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．满足条件的整数的最大值为3
C．函数的图像向右平移单位后得到奇函数的图像，则的值
D．函数在上有无数个零点
24．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）（多选题）已知函数在区间上单调，且满足则（ ）
A．
B．
C．关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
25．（2022·湖北·高三阶段练习）（多选题）已知函数的图像关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上单调递减
C．的最大值为
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称
26．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
27．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像，并写出图像的对称中心；
(2)先将函数的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．
28．（2022·新疆·兵团第三师第一中学高三阶段练习（文））已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.求函数在上的值域.
29．（2022·北京·中关村中学高三阶段练习）已知函数.且的最大值为2，的图像上相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.
30．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）已知点，是函数图象上的任意两点，函数f(x)的图象关于直线x=对称，且函数f(x)的图象经过点，当时，的最小值为．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
31．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.
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突破5.6 函数y=Asin（ωx+φ）
A组 基础巩固
1．（2022·山东青岛·高三期中）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个长度单位，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图象变换求解析式即可.
【详解】向左平移得到，然后横坐标缩短为原来的倍得到，所以.
故选：A.
2．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数图象得到、，即可求出，再根据函数过点及的取值范围，求出，即可得解.
【详解】解：由函数图象可得，，所以，又，解得，
所以，由函数过，所以，
所以，，所以，，
又，所以，
所以.
故选：B
3．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度
D．函数的图象关于点对称
【答案】D
【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BD；由三角函数的平移变换可判断C.
【详解】对于A选项，不妨设，则，，
由，则，
两式相减得，所以①，
设函数的最小正周期为，因为，
所以，结合①，，
因为，所以，可得，
因为，所以，，所以，故A正确；
对于B，由，
解得：，故B正确；
对于C，将函数向右平移个单位得到，
向上平移一个单位长度可得，故C正确；
对于D，令，解得：，
函数的图象关于点对称，所以D不正确；
故选：D.
4．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数在上恰有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的部分图像及周期公式求出函数的解析式，进而得到，根据已知条件得出，再结合有三个零点即可求解.
【详解】由题意知,轴，所以的图像的一条对称轴方程为，，所以．
由于的图像过由，且，得，
所以．
故
因为，所以，其中
解得，则，
因为在上的零点为，
且在内恰有3个零点，所以或，
解得.
故选：D.
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在区间的最小值为
C．在上的单调递增区间为
D．将图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数，若在上有且只有三个不等实根，则
【答案】D
【分析】由图象求出的解析式，再结合三角函数的性质与图像逐项分析即得.
【详解】由图可知，，
又，所以，
所以由五点作图法可知，
得，
所以，
对于A，由，所以A错误；
对于B，当时，，所以，
所以在区间的最小值为，所以B错误；
对于C，当，则，
由，可得，由，可得，
所以在上的单调递增区间为，，故C错误；
对于D，由题可得，因为在上有且只有三个不等实根，
所以在上有且只有三个不等实根，
由，可得，
作出正弦函数的图象，
由图象可知，即，故D正确.
故选：D.
6．（2022·广西北海·一模（理））已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得，换元转化为在上恰有5个不相等的实根，结合的性质列出不等式求解.
【详解】，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得．
故选：D．
7．（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数，将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图像，若图像关于对称，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据辅助角公式将化简，利用图像变换得到的解析式，再由对称和的范围求得的值.
【详解】由已知.
将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度.
得到.若图像关于对称，
则，所以.
故，又因为，所以.
故选：B
8．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知函数部分图象如图所示，且的面积是面积的2倍，则函数的单调递减区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据题意和图象求得函数的解析式为，利用整体代换法即可求出函数的单调递减区间.
【详解】由图象可知，，
令，则，即，
因为，由，得，
所以，由，得；
又函数图象过点，则，
得，解得，
又函数的最小正周期满足，
即，所以，当时，满足题意，
所以，
由，，得，，
故函数的单调递减区间为，，
故选：B.
9．（2022·四川·遂宁中学高三阶段练习（理））已知函数的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．关于直线对称
D．将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
【答案】D
【分析】根据图象求出，和的值，然后利用三角函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：由图可知，，即，故选项A正确；
由，可得，则，
因为，即，
所以，，得，，
因为，所以，所以，故选项B正确；
由，可得，即关于直线对称，故选项C正确；
将的图象向左平移个单位长度后得到，
所以为偶函数，图象不关于原点对称.
故选：D.
10．（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）要得到函数的图象，需将函数的图象至少向左平移__________ 个单位长度.
【答案】##
【分析】根据诱导公式可化为，根据图象平移变换规律可得答案．
【详解】函数可化为，将函数向左平移个单位可得，由已知，，所以，当时，取最小值，的最小值为，
故答案为：.
11．（2022·安徽阜阳·高一期末）已知函数的图象如图所示，将函数f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则关于x的方程在区间[－2022，2022]上有________个实数解．
【答案】8088
【分析】由题意可求出，再由三角函数的平移和伸缩变化求出，因为的最小正周期为1，所以求出在区间[0，1）上有2个实数解，即可求出在区间[－2022，2022]上解的个数.
【详解】由图可知，由，得，因为，所以．
由，得，
所以，
又因为所以，所以，
所以．
将函数f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，所以，最小正周期为1，
因为关于x的方程在区间[0，1）上有2个实数解，
所以关于x的方程在区间[－2022，2022]上有8088个实数解．
故答案为：8088.
12．（2022·全国·高一专题练习）将函数（）图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是 的图象的一条对称轴，则_________.
【答案】
【分析】求出平移后的解析式，根据对称轴，求出，，结合，求出，从而求出.
【详解】，因为是 的图象的一条对称轴，
所以，，
解得：，
因为，所以时，符合要求，
所以.
故答案为：
13．（2022·山东济南·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则满足的最小正整数x的值为_______．
【答案】1
【分析】先根据图像求得，再解求得最小正整数x．
【详解】解：由题意得函数f（x）的最小正周期，
解得，
所以．
又，
所以，
即，
所以，
解得．
由，得，
所以，
所以．
由，
可得，
则或，
即或．
① 由，
可得，
解得，
此时正整数x的最小值为2；
② 由，
可得，
解得，
此时正整数x的最小值为1．
综上所述，满足条件的正整数x的最小值为1．
故答案为：1．
14．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，其中所有正确结论的编号是_______.
【答案】①②④
【分析】根据部分图象求出的解析式，再利用三角函数的性质即可求解.
【详解】由函数图象的最值可得，
由，解得，所以，所以①正确；
此时
代入得，
，
又，，所以②正确；
所以的解析式为.
不是奇函数，所以③错误；
，
为偶函数，所以④正确．
综上知，正确的命题序号是①②④．
故答案为：①②④．
15．（2022·湖南·高三阶段练习）将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，则的一个可能取值是______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据辅助角公式，结合平移变换得，，进而可得答案.
【详解】解：函数的图像先向右平移个单位，得到的图像，
再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，
所以，，解得，
所以，的一个可能取值为.
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）把的图象向右平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数的图象，若对成立．
①的一个单调递减区间为；
②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为；
③的对称中心为；
④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为．
其中，判断正确的序号是_________．
【答案】①③④
【分析】根据平移得，由和的范围解得，再根据的范围和的单调性可判断①；求出向右平移个单位的解析式，利用诱导公式和的范围可判断②；求出的对称中心可判断③；令，转化为在上有两个不相等的实根，根据二次函数根的分布可判断④.
【详解】根据题意得，函数经过平移伸缩变换后的解析式为：，
，解得，，
，
当时，在上单调递减，①正确；
的图象向右平移个单位得到的函数是是一个偶函数，
则，②错误；
令，所以的对称中心为，
故③正确；
，，所以，
令，则关于x的方程在区间上有两个不相等的实根等价于在上有两个不相等的实根，
设，则函数与轴有两个交点，函数对称轴为，实数满足 ，解得：，所以④正确.
故答案为：①③④.
17．（2021·北京市朝阳区人大附中朝阳分校高一阶段练习）下列说法中，所有正确说法的序号是__________.
①函数图象的一个对称中心是；
②函数在第一象限是增函数；
③为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度.
④若，都是第一象限角，则是成立的充分必要条件.
【答案】①③④
【分析】对于①.求出的对称中心，对赋值即可判断；对于②. 取特殊值即可判断；对于③由三角函数的图像变换可判断；对于④.由三角函数线可判断.
【详解】对于①. 函数图象的对称中心满足：
可得，即函数图象的一个对称中心
当时，对称中心为，故①正确
对于②. 取，显然均为第一象限角，且
而，所以函数在第一象限不是增函数，故②不正确
对于③. 把函数的图象向右平移个单位长度得到，故③正确
对于④. 若，都是第一象限角，则角，的正弦、余弦为正.
如图，设角，的终边分别为，则角，的余弦线分别为
则角，的正弦线分别为
由，即，则，即，
反之，即，则，即，故④正确.
故答案为：①③④
B组 能力提升
18．（2022·湖北襄阳·高三期中）（多选题）函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．在上单调递增
C．若在上恰有4个零点，则
D．在上的最大值为
【答案】AC
【分析】利用函数的平移变换及三角函数的性质即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.
对于A，当时，，故直线是图象的一条对称轴，故A正确.
对于B，由，得，则在上不单调，故B错误；
对于C，由，得，因为在上恰有4个零点，所以，解得，故C正确.
对于D，由，得，则在的最大值为，故D错误.
故选：AC.
19．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．点是曲线的对称中心
C．函数在区间内单调递增
D．函数在区间内有两个最值点
【答案】AC
【分析】由题可得，可得函数，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.
【详解】由图可知，
所以，又，
所以，
所以，，，
得，，
又，得，
所以，所以，
所以函数的周期为，A正确；
由，得，，，取得，，对称中心为，
取得，，对称中心为，所以点不是曲线的对称中心，B错误；
由，得，，，当时，，函数在区间内单调递增，C正确；
由，可得，，取得，为函数的最值点，所以区间内有一个最值点，D错误.
故选：AC．
20．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）（多选题）已知函数的部分图象如图（1）所示，函数的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上有4个零点
D．将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合
【答案】BCD
【分析】根据图象可求两个函数的解析式，再逐项计算后可得正确的选项.
【详解】由图象（1）可得，，故，
故，而，
故，而，故，故，
由图（2）可得，，故，
故，而，
故，而，故，故，
对于A，的最小正周期为，故A错误；
对于B，，
故函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，即为，
故或，，
故或，.
令，故；
令，故；
故在区间上有4个零点，故C正确.
对于D，函数的图像向左平移，
其图象对应的解析式为：
.
故D正确，
故选：BCD.
21．（2022·辽宁·鞍山一中二模）（多选题）函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线是函数图像的一条对称轴
B．函数的图像关于点对称
C．函数的单调递增区间为
D．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像
【答案】BCD
【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再逐项判断作答.
【详解】观察图象知，，函数的周期，有，
由得：，而，则，，
对于A，因，则直线不是函数图象的对称轴，A不正确；
对于B，由得：，则函数的图象关于点对称，B正确；
对于C，由得：，
则函数的单调递增区间为，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
22．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）（多选题）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，若对于任意的实数，都单调递增，则正数的值可能为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】BC
【分析】先利用平移变换得到，再根据单调递增求解.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到，
当时， ，
因为单调递增，
所以，解得，
由，得，
因为，
当时，，
所以正数的值可能为，，
故选：BC
23．（2022·江苏南通·高三期中）（多选题）已知定义在上的函数在区间上是增函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．满足条件的整数的最大值为3
C．函数的图像向右平移单位后得到奇函数的图像，则的值
D．函数在上有无数个零点
【答案】BC
【分析】根据函数在区间的单调性求出的取值范围，即可判断B，再求出的解析式，即可得到其最小正周期，即可判断A，根据三角函数的平移变换得到的解析式，再根据奇偶性求出，即可判断C，最后利用特殊值判断D.
【详解】解：函数在区间上是增函数，
，，所以整数的最大值为，故B正确；
因为为偶函数，函数图象关于轴对称，
所以，所以的最小正周期，故A错误；
将函数的图像向右平移单位得到，
因为为奇函数，所以，解得，
又，所以当时，故C正确；
当时，由，所以，所以，
则在上无零点，故D错误；
故选：BC．
24．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）（多选题）已知函数在区间上单调，且满足则（ ）
A．
B．
C．关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
【答案】AD
【分析】在一个单调区间内，由相反的函数值，得对称中心，判断A，由题意得出周期的范围，即可求出的范围，在上至多有3个完整周期，而在1个完整周期内只有1解判断C，由函数在区间上零点个数确定周期的范围从而得范围，结合已知单调区间得出范围后判断D．
【详解】解：因为函数在区间上单调且，，所以，故A正确；
由在区间上单调，，得，
所以，即，所以，故B错误；
所以在上至多有个完整周期，而在1个完整周期内只有1解，
故在上最多有个实数解，因此C错误；
函数在区间上恰有5个零点，
则，即，解得，
又，即，即，
所以，D正确．
故选：AD．
25．（2022·湖北·高三阶段练习）（多选题）已知函数的图像关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上单调递减
C．的最大值为
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称
【答案】BC
【分析】根据三角函数图象可得，再根据辅助角公式求得，再根据三角函数的性质逐个判断即可
【详解】对A，函数关于对称，故，
所以，解得，故A错误；
对B，，
当时，，此时是减函数，故B正确；
对C，最大值为，故C正确；
对D，把的图象向左平移个单位长度，得到，
又，故不是对称点的横坐标，故D错误；
故选：BC
26．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【答案】(1)表格见解析，
(2)
【分析】（1）由三角函数性质求解，
（2）由三角函数图象变换得解析式，再由对称性列式求解，
【详解】（1）根据表中已知数据，得，则，．
数据补全如下表：
0
x
0 5 0 0
且函数表达式为．
（2）由（1）知，
得．
因为函数图象的对称中心为．
令，解得．
由于函数的图象关于点中心对称，令，
解得．由可知，当时，取得最小值．
27．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像，并写出图像的对称中心；
(2)先将函数的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．
【答案】(1)作图见解析；对称中心为
(2)
【分析】（1）通过列表得函数在内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出草图，并写出其对称中心；
（2）根据函数图像变换规则，求出函数的表达式，通过整体代换法，求出其在上的值域．
（1）
列表：
0
1 2 0 0 1
描点，连线，画出在上的大致图像如图：
由图可知函数图像的对称中心为；
（2）
将函数的图像向右平移个单位长度后，
得到的图像，
再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，
所以，，
当时，，
函数单调递增，而，，
所以函数在上的值域为．
28．（2022·新疆·兵团第三师第一中学高三阶段练习（文））已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.求函数在上的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据图像信息结合、、 的范围，分别求出、、 ，即可得到函数的解析式；
（2）先根据平移伸缩变换得到的表达式，再求函数在区间的最小值，即可得到实数的取值范围.
【详解】（1）由的部分图象可知，
，可得，所以，
由五点作图法可得，解得，
所以函数的解析式为.
（2）若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再把后者图象上所有点向左平行移动个单位长度，
得到函数的图象.
当时，，
所以.所以函数在上的值域为.
29．（2022·北京·中关村中学高三阶段练习）已知函数.且的最大值为2，的图像上相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知，先对函数进行化简，然后根据的最大值为2，即可确定的值，再根据相邻两条对称轴之间的距离为，即可确定周期，从而求得，最终得到函数解析式；
（2）由第（1）问求解出的函数解析式，根据题中给的区间范围，先求解出满足的范围，然后根据已知条件列出不等关系，求解即可.
（1）
由已知，，
所以
∵的最大值为2，∴，即
∵的图像上相邻两条对称轴之间的距离为，
∴
又∵，∴
则
（2）
当时，，
若在区间上有且只有一个零点，
则，所以.
30．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）已知点，是函数图象上的任意两点，函数f(x)的图象关于直线x=对称，且函数f(x)的图象经过点，当时，的最小值为．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定的条件，结合正弦型函数的图象性质求出周期，进而求出作答.
（2）由（1）的结论，利用正弦函数的单调性求解作答.
（3）求出函数在给定区间上的取值集合，再分离参数求解作答.
【详解】（1）由知，函数在处的函数值一个是最大值，另一个是最小值，又的最小值为，
于是得函数的周期T=，即=，则，
有，又函数f(x)的图象关于直线对称，
因此，而，于是有，
所以函数f(x)的解析式是．
（2）由（1）知，，由，得，
所以函数f(x)的单调递增区间为．
（3）当时，，有，则，
即有，因此，
显然，则当时，取得最大值，从而得，
所以实数m的取值范围是.
31．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式即可化简；
（2）利用三角函数的图像变换，可求出，由三角函数的性质求解在的值域；
（3）由方程，即，设，即，结合正弦函数的图象，，求出的范围，代入即可得出答案.
（1）
由题意，函数
，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
故函数.
（2）
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
（3）
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图所示：
可得方程在区间有5个解时，即，
其中，
即，，
解得，
所以.
从而
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