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突破5.7 三角函数的应用
A组 基础巩固
1．（2021·全国·高一课时练习）与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达·芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷.某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：，.根据测量得到的结果推算，将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于区间（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏·高一专题练习（文））如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（ ）
A．小球在开始振动即时的位置在
B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为
C．小球往复运动一次所需时间为
D．每秒钟小球能往复振动次
4．（2021·福建·高一期末）福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
5．（2021·全国·高一专题练习）已知函数的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
6．（2021·全国·高一课时练习）如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．m B．m
C．m D．4m
7．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，有一半径为10米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为6米，若水轮每分钟逆时针转4圈，且水轮上的点P在t=0时刚刚从水中浮现，则5秒钟后点P与水面的距离是（结果精确到0.1米）（ ）
A．9.3米 B．9.9米 C．15.3米 D．15.9米
8．（2021·辽宁·东北育才学校二模）如图，一个大风车的半径为8 m，12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是（ ）
A．h(t)＝－8sint＋10 B．h(t)＝－cost＋10
C．h(t)＝－8sint＋8 D．h(t)＝－8cost＋10
9．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为，其中心（即圆心）距水面．如果水车每逆时针转圈，在水车轮边缘上取一点，我们知道在水车匀速转动时，点距水面的高度（单位：）是一个变量，它是时间（单位：）的函数．为了方便，不妨从点位于水车与水面交点时开始记时，则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映随变化的周期规律．下面关于函数的描述，正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．一个单调递减区间为
C．的最小正周期为
D．图像的一条对称轴方程为
10．（2021·全国·高一专题练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当时，（ ）
A．6 B． C． D．
11．（2021·江苏·高一专题练习）健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．收缩压为 B． C．舒张压为 D．
12．（2021·新疆乌鲁木齐·二模（理））我们来看一个简谐运动的实验将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况如图所示，已知一根长为的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗溺斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是，其中，.则估计线的长度应当是（ ）（精确到）
A． B． C． D．
13．（2021·全国·高一专题练习）某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为（ ）
A．75米 B．85米 C．100米 D．110米
14．（2021·全国·高一课时练习）某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点的距离表示成的函数，则__________，其中．
15．（2021·全国·高一专题练习）魏晋南北朝（公元220-581）时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度（示意图如图所示），测得以下数据（单位：米）：前表却行，表高，后表却行，表间.则塔高___________米.
16．（2021·全国·高一课时练习）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.
17．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点)开始计时，则点P第一次到达最高点需要___________秒.
18．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离和时间的函数关系式为，那么单摆来回摆一次所需的时间为_______．
19．（2021·全国·高一专题练习）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小锐角为，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时，___________.
20．（2021·全国·高一专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为_______米.
21．（2021·全国·高一期末）“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧是一个以点为圆心 为直径的半圆，米.圆弧的圆心为点，米，圆弧与圆弧所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为___________平方米.
22．（2021·全国·高一专题练习）港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：）的最大值为__________.
B组 能力提升
23．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是（ ）
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
24．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（ ）
A．点第一次到达最高点需要秒
B．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方
C．当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米
D．当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米
25．（2021·全国·高三专题练习）（多选题）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）．
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
26．（2021·全国·高一单元测试）（多选题）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
27．（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·辽宁·大连二十四中高一期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时刻与水深值（单位：）记录表：
时刻
水深值
经过长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可以近似用函数来描述．
(1)根据以上数据，求出时，函数的表达式；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），问该船在一天内（）何时能进入港口？
29．（2021·陕西师大附中高一期中）如图，公园摩天轮的半径为40米，圆心距地面的高度为50米，摩天轮做匀速转动每2分钟转一圈．某人从摩天轮的最低点处登上摩天轮并开始计时，已知经过t分钟时，此人距离地面的高度为y米，且．
(1)求的解析式．
(2)当离地面米以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中此人有多长时间可以看到公园的全貌？
30．（2021·江苏·高一专题练习（文））若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？
(3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
31．（2021·福建·厦门一中高一阶段练习）游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心距离地面，半径（示意图如下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，
(1)求出其与地面的距离与时间的函数关系的解析式；
(2)若距离地面高度超过时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？
32．（2021·全国·高一课时练习）如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多长时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
33．（2021·全国·高一课时练习）如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为米，圆上最低点与地面距离为米，秒转动一圈，图中与地面垂直.设从开始转动，逆时针转动角到，设点与地面距离为.
(1)当时，求的值；
(2)若经过秒到达，求与的函数解析式.
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突破5.7 三角函数的应用
A组 基础巩固
1．（2021·全国·高一课时练习）与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断各选项中函数在区间或上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；
对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；
对于C选项，当时，，C选项不满足条件；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
当时，，D选项满足条件.
故选：D.
2．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达·芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷.某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：，.根据测量得到的结果推算，将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，再结合，得，最后根据嘴唇视作的圆弧对应的圆心角满足求解即可.
【详解】解：取，设，则.
因为，
∴，.
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为，则.
∴.
故选：B.
3．（2021·江苏·高一专题练习（文））如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（ ）
A．小球在开始振动即时的位置在
B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为
C．小球往复运动一次所需时间为
D．每秒钟小球能往复振动次
【答案】D
【分析】对于A,把代入已知函数，求得值即可得初始位置；
对于B,由解析式可得振幅，即为所求；
对于C,由函数的解析式及周期公式即可求解；
对于D,由频率与周期的关系即可求解．
【详解】对于A,由题意可得当时，，
故小球在开始振动时的位置在；故A正确；
对于B,由解析式可得振幅,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为；
故B正确；
对于C,可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；故C正确；
对于D,由C可知，，可得频率为（），即每秒钟小球能往复振动次，故D不正确.
故选：D．
4．（2021·福建·高一期末）福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】从图象中的最小值入手，求出，进而求出函数的最大值，即为答案.
【详解】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.
故选：C
5．（2021·全国·高一专题练习）已知函数的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】观察函数图象可知，，，可以求出函数的解析式为，再利用函数平移的性质即可得到答案.
【详解】由函数的图象可知，故，
由得，且，则，
由得，则（），
即，
由函数图象可知,即，
当时，，则，
要得到函数只需将的图象向左平移个单位即可.
故选：.
6．（2021·全国·高一课时练习）如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．m B．m
C．m D．4m
【答案】A
【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE＝CD+DE即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，
∴四边形ABED是矩形，
∵BE=5m，AB=1.5m，
∴AD=BE=5m，DE=AB=1.5m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，AD=5m，
∴CD=ADtan30°=5×= ，
∴CE=CD+DE=+（m）．
故选：A．
7．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，有一半径为10米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为6米，若水轮每分钟逆时针转4圈，且水轮上的点P在t=0时刚刚从水中浮现，则5秒钟后点P与水面的距离是（结果精确到0.1米）（ ）
A．9.3米 B．9.9米 C．15.3米 D．15.9米
【答案】D
【分析】5秒钟后点P逆时针转了，设，此时点P与水面的距离是，计算结果即可．
【详解】设，则，由于，所以
5秒钟后点P逆时针转了，则
此时点P与水面的距离是
故选：D
8．（2021·辽宁·东北育才学校二模）如图，一个大风车的半径为8 m，12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是（ ）
A．h(t)＝－8sint＋10 B．h(t)＝－cost＋10
C．h(t)＝－8sint＋8 D．h(t)＝－8cost＋10
【答案】D
【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式.
【详解】设，
由题意可得，，，
，，，
，
当时，，得，
可取，
所以.
故选：D.
9．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为，其中心（即圆心）距水面．如果水车每逆时针转圈，在水车轮边缘上取一点，我们知道在水车匀速转动时，点距水面的高度（单位：）是一个变量，它是时间（单位：）的函数．为了方便，不妨从点位于水车与水面交点时开始记时，则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映随变化的周期规律．下面关于函数的描述，正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．一个单调递减区间为
C．的最小正周期为
D．图像的一条对称轴方程为
【答案】D
【分析】首先求得，，然后结合选项由三角函数的图象和性质判断即可.
【详解】依题意可知，水车转动的角速度，
，，解得，，
由得，又，则，
所以，.
对于选项A：函数的最小正周期为，故A错误；
对于选项B：当时，，因为，
所以函数在上不具有单调性，故B错误；
对于选项C：，所以C错误；
对于选项D：（最小值），所以D正确.
故选：D.
10．（2021·全国·高一专题练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当时，（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】A
【分析】计算，可得的值，将当时，代入结合可得的值，即可得的解析式，由可得点的坐标，即可求解.
【详解】由题意得：，
，所以，
所以，
当时，，可得，即，
因为，所以，所以，
所以，
当时，，
此时，即点，
所以，
故选：A.
11．（2021·江苏·高一专题练习）健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．收缩压为 B． C．舒张压为 D．
【答案】B
【分析】通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压， 通过图象求出，，利用周期公式求出得解．
【详解】由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为，舒张压为，所以选项AC正确；
周期，知，所以选项B错误；
由题得，所以所以选项D正确.
故选：B
【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，常用待定系数法，一般根据函数的最值求出的值，根据周期求出的值，根据特殊点求出的值.
12．（2021·新疆乌鲁木齐·二模（理））我们来看一个简谐运动的实验将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况如图所示，已知一根长为的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗溺斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是，其中，.则估计线的长度应当是（ ）（精确到）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图象观察得出函数的最小正周期为，再利用余弦型函数的周期公式可求得的值.
【详解】由题意，函数关系式为，
由图象可知，函数的最小正周期为，
，所以，，
故选：C.
13．（2021·全国·高一专题练习）某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为（ ）
A．75米 B．85米 C．100米 D．110米
【答案】B
【分析】设他与地面的高度与时间的关系为，，，，由已知求得解析式，然后计算即可得．
【详解】设他与地面的高度与时间的关系为
，，，，
由题意可知，，，
，
即，
又，
即，
故，
，
(7)．
故选：B．
14．（2021·全国·高一课时练习）某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点的距离表示成的函数，则__________，其中．
【答案】
【分析】设函数解析式为，由题意代值可得解.
【详解】设函数解析式为，
由题意易知，
当时，，得；
当时，，
可得，所以，
故答案为：
15．（2021·全国·高一专题练习）魏晋南北朝（公元220-581）时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度（示意图如图所示），测得以下数据（单位：米）：前表却行，表高，后表却行，表间.则塔高___________米.
【答案】87
【分析】可看出，，从而可得出，这样即可求出的值．
【详解】解：根据题意，，，
，解得（米，
（米．
故答案为：87
16．（2021·全国·高一课时练习）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，则旗杆的高度为___________.
【答案】15米
【分析】先画出示意图，根据题意可求得，，则可求，利用正弦定理可得，再在中利用即得.
【详解】如图所示，由题得，，，
，由正弦定理可知，
米，
在中，米，即旗杆的高度为15米.
故答案为：15米.
17．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点)开始计时，则点P第一次到达最高点需要___________秒.
【答案】20
【分析】根据题意，计算弧占圆周的比例即可得答案.
【详解】如图，根据题意得，
所以在中，，
所以，故弧的长为三分之一的圆周长，
又因为水轮每60秒逆时针转动一圈，
所以当水轮上点P从水中浮现时(图中点P)开始计时，则点P第一次到达最高点需要20秒.
故答案为：20
18．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离和时间的函数关系式为，那么单摆来回摆一次所需的时间为_______．
【答案】
【分析】利用周期公式：即可求解.
【详解】由，
单摆来回摆一次为一个周期，
由.
故答案为：
19．（2021·全国·高一专题练习）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小锐角为，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时，___________.
【答案】
【解析】设直角三角形直角边为，，令小正方形的面积为1，列方程组计算，，再根据锐角三角函数计算可得；．
【详解】解：设直角三角形中较长的直角边为，较短的直角边为，令小正方形的面积为1，则大正方形的面积为2，
则，解得或（舍去），
所以．
故答案为：．
20．（2021·全国·高一专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为_______米.
【答案】0.25
【解析】根据时，盛水筒到水面的距离，由函数关系式，求出，再将代入函数关系式，即可得出结果.
【详解】因为筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，
所以，则，
又，所以，则，
因此当时，，
即当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为米.
故答案为：
21．（2021·全国·高一期末）“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧是一个以点为圆心 为直径的半圆，米.圆弧的圆心为点，米，圆弧与圆弧所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为___________平方米.
【答案】
【分析】连接，利用题目所给条件结合解三角形知识解出，从而得出的大小，则根据题意可知，该月牙泉的面积为半圆的面积减去弓形的面积，然后计算各部分的面积作差即可.
【详解】如图所示，连接，易知，
因为，所以，.
则弓形的面积为：，
又半圆的面积为：，
所以月牙泉的面积为：
(平方米).
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数知识的实际应用，考查扇形面积公式的运用，较简单.
22．（2021·全国·高一专题练习）港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：）的最大值为__________.
【答案】8
【分析】根据图像得到最小值，计算参数，再得到最大值即可.
【详解】由图像知最小值为2，故，所以，故最大值为.
故答案为：8.
【点睛】本题考查了三角函数图像的应用，属于基础题.
B组 能力提升
23．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是（ ）
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
【答案】ABD
【分析】根据题意及函数过点求出解析式判断A，由函数值域可判断B，根据正弦型函数的单调性可判断C，t＝20时求出P点，根据两点间距离公式判断D.
【详解】由题意可知T＝60，所以＝60，解得ω＝，
又从点A(，)出发，
所以R＝6，6sin φ＝－3，又|φ|<，所以φ＝，故A正确；
，当t∈[35，55]时，，
则，，点到x轴的距离为，
所以点到x轴的距离的最大值为6，故B正确；
当t∈[10，25]时，，所以函数在[10，25]上不单调，故C不正确；
当t＝20时，，则，且，所以P(0，6)，
则，故D正确．
综上，正确的是ABD.
故选：ABD
24．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（ ）
A．点第一次到达最高点需要秒
B．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方
C．当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米
D．当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米
【答案】BC
【分析】利用周期和角度的关系求解.
【详解】如图所示：
作OM垂直于水面，
则OM=1.8，,,
A.点第一次到达最高点需要转，时间是，故错误；
B.，则点在水面的上方的时间是，故正确；
C.，则点P转动了，点P在图中位置，在水面上方，点距离水面米，故正确；
D. 当水轮转动秒时，转动了，点P在图中位置，在水面下方，点距离水面1.8米，
故选：BC
25．（2021·全国·高三专题练习）（多选题）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）．
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
【答案】ABC
【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为，结合选项依次判断即可.
【详解】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为
，
由题意得：解得
故．故D错误；
对于A，令，即，解得：，故A正确；
对于B，令，代入，解得：，故B正确；
对于C，令，代入，解得：，故C正确．
故选：ABC
26．（2021·全国·高一单元测试）（多选题）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
【答案】BC
【分析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D.
【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；
分钟后，转过的角度为，则，B正确；
周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，
则，又高度相等，则关于对称，则，则；
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，，所以在只有一个解；
故选:BC.
【点睛】关键点睛:
本题的关键是求出关于的表达式，结合三角函数的性质进行判断.
27．（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】根据题意，设y与时间t的函数关系式为,求得初相，再根据周期，即可判断选择.
【详解】设y与时间t的函数关系式为,由题意可得，初始位置为，即初相为，故可得，，则,.
又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，
所以|ω|＝，即ω＝－.
故满足题意的函数解析式为：.
故选：CD.
28．（2021·辽宁·大连二十四中高一期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时刻与水深值（单位：）记录表：
时刻
水深值
经过长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可以近似用函数来描述．
(1)根据以上数据，求出时，函数的表达式；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），问该船在一天内（）何时能进入港口？
【答案】(1)
(2)、和
【分析】（1）根据最值可求得，由最小正周期可得；由可得；进而得到；
（2）令，采用整体对应的方式可确定所处的范围，进而求得的范围.
(1)
，，，；
由表格数据知：最小正周期，即，；
，，
解得：，又，，.
(2)
由题意知：若该船能进入港口，则需，
即，；
，，
则当或或，即或或时，，
该船可在、和进入港口.
29．（2021·陕西师大附中高一期中）如图，公园摩天轮的半径为40米，圆心距地面的高度为50米，摩天轮做匀速转动每2分钟转一圈．某人从摩天轮的最低点处登上摩天轮并开始计时，已知经过t分钟时，此人距离地面的高度为y米，且．
(1)求的解析式．
(2)当离地面米以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中此人有多长时间可以看到公园的全貌？
【答案】(1)
(2)分钟
【分析】（1）由题，再代入可求得；
（2）解不等式即可求出.
(1)
由题意可得，所以，
又，即，因为，所以，
所以；
(2)
由题可得，即，
解得，即，
因为，
所以转一圈中此人有分钟可以看到公园的全貌.
30．（2021·江苏·高一专题练习（文））若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？
(3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
【答案】(1)
(2)从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动; 从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动
(3)
【分析】（1）根据周期的定义，由图象观察可以得出；
（2）完成一次往复运动，即在函数图象上呈现一个周期的图象，结合图象确定正确答案；
（3）根据周期函数的运算，可以计算出秒相当于运动几个周期，还剩多少时间，可以算出位移．
(1)
从题图可以看出，单摆运动的周期是；
(2)
若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动；若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动；
(3)
，所以小球经过相对于静止位置的位移是．
31．（2021·福建·厦门一中高一阶段练习）游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心距离地面，半径（示意图如下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，
(1)求出其与地面的距离与时间的函数关系的解析式；
(2)若距离地面高度超过时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设，根据已知条件求出、、的值，可得出函数的解析式；
（2）解不等式，即可得解.
(1)
解：设，则，，
所以，
第一次到最高点旋转了半周期，所以
游客从最低点登上，所以，故
（或）.
(2)
解：令，则，
（或），
所以，
，
所以，
因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有有最佳观景时间.
32．（2021·全国·高一课时练习）如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多长时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
【答案】(1)3.14 s；
(2)s＝4sin，t∈[0，＋∞)；
(3) cm.
【分析】(1)根据正弦和余弦型函数的周期性即可由图求解；
(2)可以设曲线的解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，根据图像求出参数即可；
(3)将t＝0代入(2)中解析式即可求得.
(1)
由题图可知，周期，
所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s．
(2)
可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，
从题图中可以看出A＝4，．即，即ω＝2，
将t＝，s＝4代入解析式，得，解得φ＝．
所以这条曲线的函数解析式为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(3)
当t＝0时，s＝4sin (cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是 cm．
33．（2021·全国·高一课时练习）如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为米，圆上最低点与地面距离为米，秒转动一圈，图中与地面垂直.设从开始转动，逆时针转动角到，设点与地面距离为.
(1)当时，求的值；
(2)若经过秒到达，求与的函数解析式.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义写出点的坐标，再代入进行求值；
（2）根据点在圆上运动的周期求出角速度，再写出与的函数解析式即可.
(1)
解：以圆心为原点，建立平面直角坐标系（如图所示），
则以为始边、为终边的角为，
故点的坐标为，
所以，
当时，
（米）.
(2)
解：点在圆上转动的周期为60秒，
所以角速度为，
故秒转过的弧度数为，
所以与的函数解析式为：
（）.
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