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突破5.7 三角函数的应用
一、考情分析
二、考点梳理
考点一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义
1.简谐运动的振幅就是A.
2.简谐运动的周期T＝.
3.简谐运动的频率f＝＝.
4.ωx＋φ称为相位．
5. x＝0时的相位φ称为初相．
考点二、三角函数模型的应用
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．
2.建立函数模型的一般步骤
3.解三角函数应用问题的基本步骤
4.运用三角函数模型解决问题的几种类型
(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．
(2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．
(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．
三、题型突破
重难点题型突破1 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义
例1．（1）、（2021·全国·高一课前预习）简谐运动的相位与初相是（ ）
A．， B．，4
C．，－ D．，
【答案】C
【分析】根据简谐运动定义求解即可。
【详解】相位是，当时的相位为初相即．
故选：C
（2）、（2021·全国·高一专题练习）函数的周期，振幅，初相分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，2，
【答案】C
【解析】根据有关公式直接计算即可.
【详解】函数的周期为，
振幅为，
初相为.
故选C.
【点睛】一般地，()的周期，振幅为,初相为
【变式训练1-1】、（2022·湖南·高一课时练习）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是
A．该质点的振动周期为
B．该质点的振幅为
C．该质点在和时的振动速度最大
D．该质点在和时的加速度为
【答案】D
【分析】由简谐运动得出周期和振幅，质点位移为零时，速度最大，加速度最小；位移最大时，速度最小，加速度最大.振动图象上某点的切线斜率的正负代表速度的方向，根据以上知识可判断出各选项命题的正误.
【详解】对于A、B选项，由图可得知振幅为，周期为，A、B选项错误；
对于C选项，质点在和时刻，质点的位移为最大值，可知速度为零，C选项错误；
对于D选项，质点在和时刻，质点的位移为，则质点受到的回复力为，所以加速度为，D选项正确.故选D.
【点睛】本题考查简谐运动图象，由简谐运动的图象可直接读出质点的振幅、周期、位移等，同时，要明确加速度方向总是与位移方向相反，大小与位移成正比.
【变式训练1-2】、．（2021·江苏·高一专题练习）如图是某市夏季某一天从6时到14时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午12时的气温大约是______（注：）．
【答案】27℃
【分析】根据所给函数图象求出正弦型函数的解析式，根据解析式计算时的函数值即可求解.
【详解】由题图，可知，，
所以，．
设该函数的最小正周期为T，
因为，所以，于是，
所以．
因为该图象经过点，
所以，
所以，所以，
所以，
又，
所以，
所以．
当时，（℃）．
故答案为：27℃
重难点题型突破2 由图像研究函数的性质
例2．（1）、（2022·全国·高一课时练习）若电流ⅠA．随着时间t（s）变化的函数的图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】由图可知，，求出周期，从而可求出的值，然后将代入函数中可求出的值
【详解】由题可知，，，，
所以
代入最值点坐标，得，
所以，得，
因为
所以．
故选：A．
（2）、（2021·全国·高一专题练习）如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
（1）这一天的最大用电量为_____万度，最小用电量为____万度；
（2）这段曲线的函数解析式为______________.
【答案】 50 30
【分析】根据图象可得最值以及振幅、周期，利用最低点可求初相位，从而可得解析式.
【详解】由图知，最大用电量为50，最小用电量为30，
故，所以，
又由图象可得半周期为，，故，
又时，，∴ ，∴.
故.
故答案：50，30，.
【变式训练2-1】、（2021·全国·高一单元测试）（多选题）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8s
E．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
【答案】BCD
【解析】观察图像，振动周期为，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即可判断C、E的正误.
【详解】由题图可知，振动周期为，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确，E错.综上，BCD正确.
故选：BCD
【点睛】本题考查三角函数的应用，根据图像判断简谐运动的周期与振幅，属于基础题.
【变式训练2-2】、（2021·全国·高一专题练习）如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________.
【答案】，x∈[6，14]
【分析】根据图像，可求得A，b，的值，又根据图像过点（10,20），代入数据，即可求得的值，即可得答案.
【详解】从题图中可以看出，从6~14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期，
所以，，
又，，
所以，
所以，
又图像过点（10,20），
所以，由题意得0<φ<π，
所以，
故答案为：，x∈[6，14].
【点睛】本题考查函数的图像及其应用，解题的关键在于根据条件求出周期，进而可得，的值，考查计算化简、数形结合的能力，属基础题.
例3．（2022·全国·高三专题练习）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【答案】(1) ，;(2) 8小时.
【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.
【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
【变式训练3-1】、（2022·全国·高三专题练习）一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，进而设，再求解析式即可；
（2）令，解得，，进而当时，P第一次到达最高点，求得对应值即可.
【详解】（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设，则，，
∵，∴，
∴，
∵时，，∴，∴，
∵，∴，
∴.
（2）解：令，得，
∴，，∴，，
∴当时，P第一次到达最高点，
∴点P第一次到达最高点大约要.
重难点题型突破3 三角函数模型的简单应用
例4．（1）、（2021·山西吕梁·一模（理））摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15，结合摩天轮最高点距离地面高度为120，可得时，，再利用排除法可得答案.
【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30，
所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15，
又因为摩天轮最高点距离地面高度为120，
所以时，，
对于A，时，，不符合题意；
对于B，时，，不符合题意；
对于C，时，，不符合题意；
对于D，时，，符合题意；
故选：D.
（2）、（2022·湖南师大附中高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动40秒后，盛水筒M与水面距离为______米．
【答案】##
【分析】由题意得，求出的值，从而可求出函数关系式，进而将代入函数中可求得结果
【详解】因为时，盛水筒M与水面距离为2.25米，
所以，即，
又，则，
所以，
当时，，
故答案为：．
【变式训练4-1】、（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】角速度为，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和，再利用三角函数值域的研究方法求解即可
【详解】因为角速度为，
所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，
由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和
，
因为，
所以，
所以，，
所以，
所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，
故选：C
【变式训练4-2】、（2021·全国·高一课时练习）泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔．某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点处测得塔顶的仰角为，在塔底处测得处的俯角为．已知山岭高为256米，则塔高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】中求出，再在中求得，从而可得．
【详解】在中，，
在中，，
所以．
故选：B．
例5．（2022·全国·高一）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)当时，求1号座舱与地面的距离；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式，再令代入计算可得；
（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；
(1)
解：设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，，
则，，
所以
依题意，所以，
当时，所以，故，
所以，
即当时，求1号座舱与地面的距离为；
(2)
解：令，即，
所以，
又，所以，
所以或，解得或，
即或时1号座舱与地面的距离为17米；
(3)
解：依题意，，
所以
令，解，
所以当时取得最大值，
依题意可得
【变式训练5-1】、（2022·江苏无锡·高三期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m，转盘直径为90m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要30min．
(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为，计算得到答案.
（2）计算，，相减得到
，计算最值得到答案.
【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，
设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为；
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为，
由题意可得，.
（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.
经过后甲距离地面的高度为，
点B相对于点A始终落后，
此时乙距离地面的高度为.
则甲、乙距离地面的高度差，
利用，
可得，.
当或，
即或（舍去）时，h的最大值为
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为
四、课堂训练
1．（2021·全国·高一课时练习）函数其中（，）的图象如图所示，为了得到图象，则只需将的图象（ ）
向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据图像计算周期和最值得到，，再代入点计算得到，根据平移法则得到答案.
【详解】根据图象：，，故，，故，
，即，，，
当时，满足条件，则，
故只需将的图象向左平移个单位即可.
故选：D.
2．（2021·全国·高一课时练习）如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为时，下列描述正确的是（ ）（参考数据：）
A．点A在轮子的左下位置，距离地面约为
B．点A在轮子的右下位置，距离地面约为
C．点A在轮子的左下位置，距离地面约为
D．点A在轮子的右下位置，距离地面约为
【答案】A
【分析】计算出车轮转动的周期数即可得结果.
【详解】车轮的周长为，
当滚动的水平距离为时，即车轮转动个周期，
即点A在轮子的左下位置，距离地面约为，
故选：A.
3．（2021·江苏·高一专题练习）血压（bloodpressure，BP）是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值 最小值分别称为收缩压和舒张压.未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压或舒张压，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点时，），他的血压（）与经过的时间（）满足关系式，则（ ）
A．函数的最小正周期为6 B．当天早晨7点时李华的血压为
C．当天李华有高血压 D．当天李华的收缩压与舒张压之差为
【答案】BCD
【分析】由正弦型函数的特征分别对四个选项所求内容进行分析计算即可得解.
【详解】因为，所以；
当时，，所以当天早晨7点时李华的血压为；
因为的最大值为，最小值为，所以李华的收缩压为，舒张压为，因此李华有高血压，且他的收缩压与舒张压之差为.
故选：BCD.
4．（2021·江苏·高一课时练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增.
C．当时，函数最小值为.
D．当9时，
【答案】BD
【分析】根据三角函数模型中各参数的意义求函数的解析式，再分别代入选项，判断函数的单调性，以及函数值.
【详解】由题，，，，故，
又当时，，且，，
所以，故A错误：
当时，，所以函数在是单调递增的，故B正确：
当时，，所以函数在是单减的，故最小值为，故C错误：
当时，，的横坐标为，又，此时点，为水车直径，故，故D正确．
故选：BD
【点睛】本题主要考查了的实际运用，需要理解各参数的实际意义，结合题意求出解析式，再求解有关性质，属于中档题
5．（2021·四川达州·高一期末（理））汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面.如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记， 标记到该轮轴中心的距离为.若该小汽车启动时，标记离地面的距离为，汽车以的速度在水平地面匀速行驶，标记离地面的高度（单位：）与小汽车行驶时间（单位：）的函数关系式是，其中，，，则_______________________.
【答案】
【分析】根据速度、车轮直径，计算出周期，利用三角函数的图像和性质进行求解.
【详解】由题意，汽车的速度，轮胎的半径，所以周长
所以，又，所以，.
因为到该轮轴中心的距离为，所以，，
即，
∵刚开始启动时，离地面的距离为，
∴时，，即，得，
∵，∴，即.
故答案为：.
6．（2021·全国·高一课时练习）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示.设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒.水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）.当点P在水面上时高度记为正值，当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值.过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N.从水车与水面交于点Q时开始计时，设，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为.
(1)求h与t的函数解析式；
(2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求此时的大小；
(3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h与t的函数解析式.
（参考数据：，，
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设出解析式，根据题目信息逐一求出变量即可
（2）水面上涨后，相当于O点到水面的距离减少，利用三角函数定义求解即可
（3）转速变快即周期变小，从新计算解析式中的周期即可
【详解】（1）由题意设，
则，，则，
由题意，是锐角，所以，
，，，
所以.
（2）河水上涨0.3米，在中，，
所以.
（3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半，
即，，
所以.
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突破5.7 三角函数的应用
一、考情分析
二、考点梳理
考点一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义
1.简谐运动的振幅就是A.
2.简谐运动的周期T＝.
3.简谐运动的频率f＝＝.
4.ωx＋φ称为相位．
5. x＝0时的相位φ称为初相．
考点二、三角函数模型的应用
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．
2.建立函数模型的一般步骤
3.解三角函数应用问题的基本步骤
4.运用三角函数模型解决问题的几种类型
(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．
(2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．
(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．
三、题型突破
重难点题型突破1 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义
例1．（1）、（2021·全国·高一课前预习）简谐运动的相位与初相是（ ）
A．， B．，4
C．，－ D．，
（2）、（2021·全国·高一专题练习）函数的周期，振幅，初相分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，2，
【变式训练1-1】、（2022·湖南·高一课时练习）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是
A．该质点的振动周期为
B．该质点的振幅为
C．该质点在和时的振动速度最大
D．该质点在和时的加速度为
【变式训练1-2】、．（2021·江苏·高一专题练习）如图是某市夏季某一天从6时到14时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午12时的气温大约是______（注：）．
重难点题型突破2 由图像研究函数的性质
例2．（1）、（2022·全国·高一课时练习）若电流ⅠA．随着时间t（s）变化的函数的图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2）、（2021·全国·高一专题练习）如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
（1）这一天的最大用电量为_____万度，最小用电量为____万度；
（2）这段曲线的函数解析式为______________.
【变式训练2-1】、（2021·全国·高一单元测试）（多选题）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8s
E．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
【变式训练2-2】、（2021·全国·高一专题练习）如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________.
例3．（2022·全国·高三专题练习）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【变式训练3-1】、（2022·全国·高三专题练习）一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
重难点题型突破3 三角函数模型的简单应用
例4．（1）、（2021·山西吕梁·一模（理））摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2）、（2022·湖南师大附中高一期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动40秒后，盛水筒M与水面距离为______米．
【变式训练4-1】、（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【变式训练4-2】、（2021·全国·高一课时练习）泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔．某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点处测得塔顶的仰角为，在塔底处测得处的俯角为．已知山岭高为256米，则塔高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
例5．（2022·全国·高一）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
(1)当时，求1号座舱与地面的距离；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．
【变式训练5-1】、（2022·江苏无锡·高三期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m，转盘直径为90m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要30min．
(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．
四、课堂训练
1．（2021·全国·高一课时练习）函数其中（，）的图象如图所示，为了得到图象，则只需将的图象（ ）
向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
2．（2021·全国·高一课时练习）如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为时，下列描述正确的是（ ）（参考数据：）
A．点A在轮子的左下位置，距离地面约为
B．点A在轮子的右下位置，距离地面约为
C．点A在轮子的左下位置，距离地面约为
D．点A在轮子的右下位置，距离地面约为
3．（2021·江苏·高一专题练习）血压（bloodpressure，BP）是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值 最小值分别称为收缩压和舒张压.未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压或舒张压，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点时，），他的血压（）与经过的时间（）满足关系式，则（ ）
A．函数的最小正周期为6 B．当天早晨7点时李华的血压为
C．当天李华有高血压 D．当天李华的收缩压与舒张压之差为
4．（2021·江苏·高一课时练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数单调递增.
C．当时，函数最小值为.
D．当9时，
5．（2021·四川达州·高一期末（理））汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面.如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记， 标记到该轮轴中心的距离为.若该小汽车启动时，标记离地面的距离为，汽车以的速度在水平地面匀速行驶，标记离地面的高度（单位：）与小汽车行驶时间（单位：）的函数关系式是，其中，，，则_______________________.
6．（2021·全国·高一课时练习）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示.设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒.水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）.当点P在水面上时高度记为正值，当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值.过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N.从水车与水面交于点Q时开始计时，设，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为.
(1)求h与t的函数解析式；
(2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求此时的大小；
(3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h与t的函数解析式.
（参考数据：，，
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