人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《5.1变化率问题》名师课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
人教A版同步教材名师课件
变化率问题
学习目标
学 习 目 标 核心素养
了解平均变化率与瞬时变化率的意义 数学抽象
理解导数的概念 数学抽象
掌握导数的物理意义与几何意义及其应用 直观想象
学习目标
学习目标:
1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.理解函数的平均变化率,瞬时变化率及瞬时速度的概念.
学科核心素养:
1.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、瞬时速度的概念的学习,培养数学抽象的核心素养.
2.通过求平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的学习,培养逻辑推理及数学运算的核心素养.
探究新知
在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位:m)与起跳后的时间(单位:s)存在函数关系
.
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
直觉告诉我们,运动员从起跳到入水的过程中,在上升阶段运动得越来越慢,在下降阶段运动得越来越快,我们可以把整个运动时间段分成许多小段,用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.
当t从增加到时,平均速度为
当t从增加到时,平均速度为
探究新知
一般地,在这段时间里,
在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位:m)与起跳后的时间(单位:s)存在函数关系
.
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
在问题中: 当时间从增加到时,运动员的平均平均速度是多少？
平均速度
一般地,函数在
区间上的平均变化率.
探究新知
当时间从增加到时,运动员的平均速度是多少
描述运动员在某段时间内运动的快慢
探究新知
探究新知
计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1)运动员在这段时间里是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗？
我们发现,运动员在这段时间里的平均速度为0.
显然,在这段时间内,运动员并不处于静止状态,
因此,用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态,需要引入瞬时速度的概念,
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity).
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢
求:从到这段时间内平均速度.
探究新知
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
时, 在这段时间内 时, 在这段时间内
当时,
当时,
当时,
当时,
当时,
当时,
,
,
,
,
……
……
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
探究新知
当趋近于时, 即无论 从小于的一边, 还是从大于的一边趋近于时, 平均速度都趋近与一个确定的值 .
从物理的角度看, 时间间隔 无限变小时, 平均速度就无限趋近于 时的瞬时速度. 因此, 运动员在 时的瞬时速度是.
表示“当, 趋近于时, 平均速度趋近于确定值”.
从到这段时间内平均速度
探究新知
探究新知
我们知道,如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线,如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究.
为了研究抛物线在点处的切线,我们通常在点的附近任取一点,考察地物线的割线的变化情况.
我们发现,当点无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
探究新知
我们知道,斜率是确定直线的一个要素,如何求抛物线在点处的切线的斜率呢？
从上述切线的定义可见, 在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记,则点的坐标是.
于是,割线的斜率
.
我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率,并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度,得到如下表格.
探究新知
我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率,并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度,得到如下表格.
<0 >0
当时,
当时,
当时,
当时,
当时,
当时,
,
,
,
,
……
……
探究新知
我们发现,当无限趋近于0时,即无论从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线的斜率都无限趋近于2.
事实上,由可以直接看出,当无限趋近于0时,无限趋近于2,我们把2叫做“当无限趋近于0时,的极限”,记为
从几何图形上看,当横坐标间隔无限变小时,点无限趋近于点,于是割线无限趋近于点处的切线.这时,割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此,切线的斜率.
典例讲解
例1、求函数在到之间的平均变化率,并求当, 时该函数的平均变化率.
当自变量从变化到时,
函数的平均变化率为
当, 时,
平均变化率的值为
解析
(1)计算函数值的改变量．
(2)计算自变量的改变量.
方法归纳
求平均变化率的三步曲
(3)得平均变化率
变式训练
因为,
所以
.
1、已知函数.
(1)求当,且时,函数增量和平均变化率;
(2)求当,且时,函数增量和平均变化率.
解析
变式训练
(1)当,时,
,
所以.
(2)当,时,
所以.
1、已知函数.
(1)求当,且时,函数增量和平均变化率;
(2)求当,且时,函数增量和平均变化率.
解析
典例讲解
例2、已知质点按规律做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s).
(1)当时,求;(2)当时,求;
(3)求质点在时的瞬时速度.
(1)当,时,
(2)当,时,
(3)质点在时的瞬时速度为
解析
方法归纳
求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量和位移改变量
(2)求平均速度
(3)求瞬时速度,当无限趋近于时, 无限趋近于常数,即为瞬时速度.
变式训练
2、一质点按规律作直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在时的瞬时速度为,求常数的值．
因为
,
所以.
在时,瞬时速度为,
即,所以.
解析
(1)函数在处有定义．
(2)是变量在处的改变量,且是附近的任意一点,即,但可以为正,也可以为负．
(3)注意自变量与函数值的对应关系,公式中若,则 ;若,则．
素养提炼
对平均变化率的几点说明
1.已知函数的图象上的一点及临近一点则=( )
A . B. C. D.
3.求在附近的平均变化率.
当堂练习
2.质点运动规律,则在时间中相应的平均速度为( )
D
A
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量:
(2)计算平均变化率: .
归纳小结
P61 练习:1、2
P64 练习:2
作 业