人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 5.1 .1《导数的概念及其几何意义》名师课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量:;
(2)计算平均变化率:
复习引入
人教A版同步教材名师课件
导数的概念及其几何意义
学习目标
学 习 目 标 核心素养
了解平均变化率与瞬时变化率的意义 数学抽象
理解导数的概念 数学抽象
掌握导数的物理意义与几何意义及其应用 直观想象
学习目标
学习目标:
1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,体会导数的概念的实际背景.
2.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.
3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线,并会求其方程.
学科核心素养:
1.通过导数概念和导数几何意义的学习,培养学生数学抽象及直观想象的核心素养.
2.借助切线方程的求解,提升学生的数学运算核心素养.
探究新知
对于函数,设自变量从变化到,相应地,函数值就从变化到.这时, 的变化量为, 的变化量为.
我们把比值,即=
叫做函数从到的平均变化率.
如果当0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在=处可导,并把这个确定的值叫做在=处的导数(derivative)(也称为瞬时变化率),记作或,即
定义:函数 在 处的瞬时变化率是
称为函数 在 处的导数, 记作
探究新知
1.与的值有关,不同的其导数值一般也不相同.
2. 与的具体取值无关.
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.
或,即.
探究新知
我们知道,导数表示函数在=处的瞬时变化率,反映了函数在=附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么？
观察函数的图象,平均变化率= 表示什么
割线的斜率
探究新知
如图,在曲线上任取一点如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线(tangent line).
易知,割线的斜率
记,当点沿着曲线无限趋近于点时,即当时,无限趋近于函数在=处的导数.因此,函数在=处的导数就是切线的斜率,即
函数 在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率,即曲线在点处的切线的斜率是:
导数的几何意义
注意:①提供了求曲线上某点切线斜率的一种方法;
②切线斜率的本质就是函数在处的导数.
探究新知
典例讲解
例1、求函数在处的导数.
所以,
从而.
解析
例2 、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 时, 原油的温度(单位: )为 . 计算第和第, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
在第和第时,原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数的定义,
所以, 同理可得
在第和第时, 原油温度的瞬时变化率分别为和.
它说明在第附近, 原油温度大约以的速率下降;
在第附近,原油温度大约以的速率上升.
典例讲解
解析
方法归纳
求函数在处的导数的三个步骤
简称:一差,二比,三极限.
变式训练
1、求函数在处的导数.
因为
,
所以,
所以.
解析
例3、如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.根据图象,请描述、比较曲线在,,附近的变化情况.
我们用曲线在,,处的切线,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.
当时,曲线在处的切线平行于轴.
所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)…
(3)…
典例讲解
解析
典例讲解
例4、求曲线在点处的切线方程.
因为,所以
因此曲线在点处的切线的斜率
由点斜式可得切线方程为,
即
解析
(1)求出函数在处的导数,
得到切线的斜率
(2)根据直线的点斜式方程,
得到切线方程.
方法归纳
求曲线上点处的切线方程的步骤
变式训练
2、已知曲线上一点求过点的切线的斜率.
,所以
.
所以.
所以过点的切线的斜率为1.
解析
典例讲解
例5、在曲线上求一点P,使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件.
(1)倾斜角为;(2)平行于直线.
设点的坐标为
则,
所以,
所以
即.
解析
典例讲解
(1)因为切线的倾斜角为,
所以,
所以,所以,则,即.
(2)因为切线与直线平行,
所以由导数的几何意义知,
即,所以,则,即.
例5、在曲线上求一点P,使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件.
(1)倾斜角为;(2)平行于直线.
解析
(1)设切点:先设出切点坐标.
(2)求斜率:求切线的斜率.
(3)列方程:由斜率间的关系列出关于的方程,解方程求.
(4)求切点:因点在曲线上,将代入曲线方程求,得切点坐标.
求曲线切点坐标的步骤
方法归纳
变式训练
3、已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(　　)
A.1　　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
A
切线的斜率,则,
所以,
即切点的横坐标为.
解析
典例讲解
例6、求曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积.
由得
所以曲线和的交点坐标是.
的导数为
解析
典例讲解
所以,
切线的方程是.
的导数为,
,切线方程为.
两条切线与轴的交点坐标分别为和,
故它们与轴所围成的三角形的面积.
例6、求曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积.
解析
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识,如直线的方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题.
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点的坐标是常设的未知量.
利用导数的几何意义处理综合问题的两种思路
方法归纳
变式训练
4、若抛物线上的点到直线的距离最短,求点的坐标.
由点到直线的距离最短知过点的切线与直线平行.
设,
,
所以点处的切线斜率为,,
且,得,,
所以点的坐标为.
解析
函数在处的导数
素养提炼
(1)当时,比值的极限存在,则在点处可导;若的极限不存在,则在点处不可导或无导数.
(2)在点处的导数的定义可变形为或或.
素养提炼
1.导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率,即,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
素养提炼
曲线在附近 切线的斜率 切线的倾斜角
上升 锐角
下降 钝角
平坦 零角(切线
与轴平行)
说明:导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢.
2.导数与函数图象的关系
函数在处的导数是曲线在点处的切线的斜率,即.
曲线的升降、切线的斜率与导数的关系如下表:
素养提炼
3.“函数在处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
(1)“函数在处的导数”就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限,它是一个数值,不是变数.
(2)导函数简称导数.
(3)函数在处的导数就是导函数在处的函数值,即.因此求函数在某一点处的导数,一般是先求出函数的导函数,再计算这点的导函数值.
素养提炼
4.由导数的几何意义求曲线的切线方程
利用导数求曲线的切线方程,首先判定已知点是否在曲线上.
如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为;
若已知点不在曲线上,则求曲线过点的切线方程的步骤:
(1)设切点为,求切线的斜率,写出切线方程.
(2)把的坐标代入切线方程,建立关于的方程,解得的值,进而求出切线方程.
2.由导数的定义可得求导数的一般步骤:
(1)求函数的增量
(2)求平均变化率
(3)求极限
1.导数的定义:函数 在 处的瞬时变化率是
称为函数 在 处的导数, 记作
归纳小结
4、求切线方程的步骤:
3、导数的几何意义:
函数 在点处的导数的几何意义,就是曲线 在处的切线的斜率,即曲线在点处的切线的斜率是:
归纳小结
(1)求切线斜率
(2)切线方程为:
作 业
P70 练习:3、4