人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 【整合课件】5.1.3导数的几何意义 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
5.1.3　导数的几何意义
学习目标
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.
2.会求简单函数的导函数.
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
问题导学
知识点一　导数的几何意义
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线.
思考1　割线PPn的斜率kn是多少？
思考2　当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？
答案　kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理　(1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x) 的切线.
(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点 处
的切线的斜率k，即k＝ ＝ .
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为_____________ ______________.
在点P处
(x0，f(x0))
f′(x0)
y－f(x0)＝
f′(x0)(x－x0)
思考　已知函数f(x)＝x2，分别计算f′(1)与f′(x)，它们有什么不同.
知识点二　导函数
f′(1)是一个值，而f′(x)是一个函数.
梳理　对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称
导数), 即f′(x)＝y′＝ .
特别提醒：
区别 联系
f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
1.函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数.(　　)
2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.
(　　)
3.直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点.(　　)
[思考辨析 判断正误]
√
√
×
题型探究
类型一　求切线方程
解　将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4).
∴k＝ ＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_____.
－3
∴k＝ ＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
命题角度2　曲线过某点的切线方程
例2　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.
解　设切点为(x0， ＋x0＋1)，
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，
即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
反思与感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，f(x0)).
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.
跟踪训练2　求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程.
∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0.
类型二　利用图象理解导数的几何意义
例3　已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是
A.0B.0C.0D.0√
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图象可知0反思与感悟　导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.
跟踪训练3　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是
√
解析　依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足.
例4　已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.
类型三　求切点坐标
解　对于曲线f(x)＝x2－1，
对于曲线g(x)＝1－x3，
引申探究
若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.
反思与感悟　求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标.
(2)利用导数或斜率公式求出斜率.
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标.
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.
跟踪训练4　直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的
值为____，切点坐标为__________.
解析　设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，
又点(x0，f(x0))在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1.
代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去.
达标检测
1.如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么
A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0
C.f′(x0)＝0 D.f′(x0)不存在
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
2.设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于
√
所以2a＝2，所以a＝1.
3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与
f′(xB)的大小关系是
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
解析　由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)1
2
3
4
5
√
4.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为_____.
1
2
3
4
5
－7
由导数的几何意义可得，
∴x0＝2，∴P(2,8＋a).
将x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0，
得a＝－7.
5.已知曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为 ，则a＝_____.
±1
∴曲线f(x)＝x3在点(a，a3)处的切线斜率为f′(a)＝3a2，
∴切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，即y＝3a2x－2a3.
1
2
3
4
5
1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝
物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.
3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.