人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《5.1变化率问题》教学设计(表格式)
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 《5.1变化率问题》教学设计(表格式) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 325.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-03 09:28:18 | ||
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文档简介
《变化率问题》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
章头引言 1.微积分的创立与处理哪四类科学问题直接相关 2.利用导数可以解决哪些问题 3.本章学习的主要内容是什么 教师引导学生根据提纲,阅读教材第58页内容,回答问题. 为学习本章内容作准备.
问题探究 问题1 高台跳水运动员的速度. 探究1 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+4.8t+11,如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢 探究2 如何计算运动员的平均速度 分别计算0≤t≤0.5,1≤t≤2,1.8≤t≤2,2≤t≤2.2时间段内的平均速度. 探究3 计算运动员在0≤t≤这段时间内的平均速度,你发现了什么 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 结论:①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,它并不能反映某一刻的运动状态②需要寻找一个量,能更精细地刻画运动员的运动状态. 教师操作课件,展示运动员跳水的过程,并提出问题. 学生观看课件,结合直观感受,得出:运动员从起跳到入水的过程中,在上升阶段运动得越来越慢,在下降阶段运动得越来越快. 学生在物理课中已经会计算运动物体在某一时间段内的平均速度,需注意的是计算的精确度,可借助计算工具进行. 教师慢慢引导学生说出自己的发现,并初步修正到最终的结论上. 学生通过对问题进行探究,培养动手能力以及数学运算核心素养,体会逼近的数学思想方法.
概念形成 1.瞬时速度 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.瞬时速度与平均速度有什么关系 设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是,如果不断缩短这一时间段的长度,那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 3.如何利用瞬时速度与平均速度的关系求运动员在时的瞬时速度 (1)当时,计算在时间段内的平均速度,可得. (2)为了提高近似表示的精确度,不断缩短时间间隔,借助计算工具展示运算结果. (3)当时,进行上述类似操作. (4)当无限趋近于0时,平均速度有什么变化趋势 当无限趋近于0,即无论从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,平均速度都无限趋近于-5. 4.如何用符号表示运动员在时的瞬时速度 . 即运动员在时的瞬时速度. 教师引导学生分析瞬时速度与平均速度的关系,让学生体会逼近的思想. 受生活经验负迁移的影响,个别学生对时间改变量的理解会产生困难,认为>0,教师可给出一些具体时间段进行说明. 提醒学生把运动员在时间段内的运动近似看成做匀速直线运动,并计算运动员的平均速度. 由于学生初次接触瞬时速度的符号表示,因此可以让学生尝试表示t=0.5s,t=1.5s等时刻的瞬时速度. 通过计算不同时间段内的平均速度,培养学生的数学运算核心素养.在探究过程中,让学生体会用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想,同时体会从特殊到一般的数学思想.
问题探究 问题2 抛物线的切线的斜率 探究1 如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么这条直线与这个圆相切.这种定义适用于一般曲线的切线吗 对于一般的曲线,如何定义它的切线呢 你能尝试画出曲线在某一点处的切线吗 圆是一种特殊的曲线,这种定义并不适用于一般曲线的切线. 如图,直线与曲线虽然有唯一的公共点,但我们不能认为它与曲线相切;而另一条直线虽然与曲线不止一个公共点,我们还是认为它与曲线在点处相切. 探究2 抛物线在点处的切线与过该点的割线有什么关系 与瞬时速度类似,在点的附近任取一点,考察抛物线的割线的变化情况. 教师从圆的切线概念入手,提出疑问. 教师操作课件,展示割线绕点旋转形成切线的过程,并提出问题. 让学生观察讨论. 通过问题激起学生的求知欲. 通过动手尝试画出曲线在某一点处的切线的过程,初步感悟切线的含义.让学生体会用运动变化的观点研究问题所蕴含的极限思想.
形成概念 探究3 如何定义抛物线在点处的切线 通过观察发现,当点无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. 探究4 如何求抛物线在点处的割线的斜率呢 设,即,则 探究5 能否根据抛物线在点处的切线与过该点的割线的关系,求出切线的斜率呢 可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率,利用计算工具,不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度,并用表格展示(见教材第63页表5.1-2). 观察可知,当无限趋近于0,即无论是从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线的斜率都无限趋近于2,即 探究6 问题1中平均速度的几何意义是什么呢 瞬时速度呢 平均速度的几何意义是割线的斜率,瞬时速度的几何意义是曲线在点处的切线的斜率. 教师引导学生回答. 学生通过思考讨论后得出,可以类比求物体运动时瞬时速度的方法求抛物线在点处的切线的斜率. 学生动手计算切线的斜率,教师再次强调可以是正值,也可以是负值,但不为0. 学生尝试通过缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度. 小组展开讨论,利用极限思想,得出切线的斜率. 回看问题1,教师提出问题,学生思考得出平均速度和瞬时速度的几何意义. 通过观察和讨论得出抛物线在点P0处的切线的定义,培养学生采用类比的思考方法解决问题以及夹逼的极限思想. 加深学生对平均速度和瞬时速度的理解.
应用举例 例1 已知,其中. (1)求从到的平均速度; (2)求从到的平均速度; (3)求时的瞬时速度. 解:(1). (2) (3) . 练习:教材第页练习第2题. 例2 求抛物线在点处的切线方程. 解:因为抛物线在点处的切线的斜率为 所以抛物线在点处的切线方程为,即. 练习:教材第64页练习第2题. 教师操作课件,引导学生自己解决问题,让学生板演. 教师提出问题:平均速度与瞬时速度有什么区别和联系 学生思考后回答,教师评价讲解. 学生自学例2,教师引导归纳. 提问:①如何写出直线的点斜式方程 ②解决本题的关键是什么 ③如何求抛物线在某一点处的切线的斜率 通过解决例1,进一步加深对平均速度和瞬时速度的理解. 深刻理解抛物线在某点处的割线与切线的关系,强化本节重点. 巩固直线的点斜式方程、求抛物线在某点处的切线的方法,为后续学习导数的几何意义作准备.
课堂小结 1.知识 (1)平均速度与瞬时速度. (2)抛物线的切线的斜率. 2.思想方法 极限思想. 学生归纳小结,教师补充完善. 引导学生构建知识和能力框架,从整体上把握本节内容.
布置作业 1.教材第61~62页练习第1,3题. 2.教材第64页练习第1题. 学生独立完成,教师批阅. 通过完成作业,巩固本节所学知识.
板书设计:
5.1.1 变化率问题 一、章头引言 1.四类科学问题 2.导数解决哪些问题 3.本章的主要内容 二、新课 1.高台跳水运动员的速度 (1)平均速度 (2)瞬时速度 物体在某一时刻的速度 2.抛物线的切线的斜率 (1)切线的定义 设直线是抛物线的割线(点在抛物线上),当点无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线 (2)切线的斜率 当横坐标间隔无限趋近于0时,抛物线过该点的割线斜率的极限值就是抛物线在该点处的切线的斜率 三、应用举例 例1 例2 四、课堂小结 1.知识 (1)平均速度与瞬时速度 (2)抛物线的切线的斜率 2.思想方法 极限思想
教学研讨:
以实例引入瞬时速度的概念,利于学生对此概念的理解和掌握.在给出瞬时速度的概念以后,再结合实例说明△t可以取正,也可以取负,但不能取零.
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教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
章头引言 1.微积分的创立与处理哪四类科学问题直接相关 2.利用导数可以解决哪些问题 3.本章学习的主要内容是什么 教师引导学生根据提纲,阅读教材第58页内容,回答问题. 为学习本章内容作准备.
问题探究 问题1 高台跳水运动员的速度. 探究1 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+4.8t+11,如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢 探究2 如何计算运动员的平均速度 分别计算0≤t≤0.5,1≤t≤2,1.8≤t≤2,2≤t≤2.2时间段内的平均速度. 探究3 计算运动员在0≤t≤这段时间内的平均速度,你发现了什么 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 结论:①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,它并不能反映某一刻的运动状态②需要寻找一个量,能更精细地刻画运动员的运动状态. 教师操作课件,展示运动员跳水的过程,并提出问题. 学生观看课件,结合直观感受,得出:运动员从起跳到入水的过程中,在上升阶段运动得越来越慢,在下降阶段运动得越来越快. 学生在物理课中已经会计算运动物体在某一时间段内的平均速度,需注意的是计算的精确度,可借助计算工具进行. 教师慢慢引导学生说出自己的发现,并初步修正到最终的结论上. 学生通过对问题进行探究,培养动手能力以及数学运算核心素养,体会逼近的数学思想方法.
概念形成 1.瞬时速度 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.瞬时速度与平均速度有什么关系 设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是,如果不断缩短这一时间段的长度,那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 3.如何利用瞬时速度与平均速度的关系求运动员在时的瞬时速度 (1)当时,计算在时间段内的平均速度,可得. (2)为了提高近似表示的精确度,不断缩短时间间隔,借助计算工具展示运算结果. (3)当时,进行上述类似操作. (4)当无限趋近于0时,平均速度有什么变化趋势 当无限趋近于0,即无论从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,平均速度都无限趋近于-5. 4.如何用符号表示运动员在时的瞬时速度 . 即运动员在时的瞬时速度. 教师引导学生分析瞬时速度与平均速度的关系,让学生体会逼近的思想. 受生活经验负迁移的影响,个别学生对时间改变量的理解会产生困难,认为>0,教师可给出一些具体时间段进行说明. 提醒学生把运动员在时间段内的运动近似看成做匀速直线运动,并计算运动员的平均速度. 由于学生初次接触瞬时速度的符号表示,因此可以让学生尝试表示t=0.5s,t=1.5s等时刻的瞬时速度. 通过计算不同时间段内的平均速度,培养学生的数学运算核心素养.在探究过程中,让学生体会用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想,同时体会从特殊到一般的数学思想.
问题探究 问题2 抛物线的切线的斜率 探究1 如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么这条直线与这个圆相切.这种定义适用于一般曲线的切线吗 对于一般的曲线,如何定义它的切线呢 你能尝试画出曲线在某一点处的切线吗 圆是一种特殊的曲线,这种定义并不适用于一般曲线的切线. 如图,直线与曲线虽然有唯一的公共点,但我们不能认为它与曲线相切;而另一条直线虽然与曲线不止一个公共点,我们还是认为它与曲线在点处相切. 探究2 抛物线在点处的切线与过该点的割线有什么关系 与瞬时速度类似,在点的附近任取一点,考察抛物线的割线的变化情况. 教师从圆的切线概念入手,提出疑问. 教师操作课件,展示割线绕点旋转形成切线的过程,并提出问题. 让学生观察讨论. 通过问题激起学生的求知欲. 通过动手尝试画出曲线在某一点处的切线的过程,初步感悟切线的含义.让学生体会用运动变化的观点研究问题所蕴含的极限思想.
形成概念 探究3 如何定义抛物线在点处的切线 通过观察发现,当点无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. 探究4 如何求抛物线在点处的割线的斜率呢 设,即,则 探究5 能否根据抛物线在点处的切线与过该点的割线的关系,求出切线的斜率呢 可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率,利用计算工具,不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度,并用表格展示(见教材第63页表5.1-2). 观察可知,当无限趋近于0,即无论是从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线的斜率都无限趋近于2,即 探究6 问题1中平均速度的几何意义是什么呢 瞬时速度呢 平均速度的几何意义是割线的斜率,瞬时速度的几何意义是曲线在点处的切线的斜率. 教师引导学生回答. 学生通过思考讨论后得出,可以类比求物体运动时瞬时速度的方法求抛物线在点处的切线的斜率. 学生动手计算切线的斜率,教师再次强调可以是正值,也可以是负值,但不为0. 学生尝试通过缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度. 小组展开讨论,利用极限思想,得出切线的斜率. 回看问题1,教师提出问题,学生思考得出平均速度和瞬时速度的几何意义. 通过观察和讨论得出抛物线在点P0处的切线的定义,培养学生采用类比的思考方法解决问题以及夹逼的极限思想. 加深学生对平均速度和瞬时速度的理解.
应用举例 例1 已知,其中. (1)求从到的平均速度; (2)求从到的平均速度; (3)求时的瞬时速度. 解:(1). (2) (3) . 练习:教材第页练习第2题. 例2 求抛物线在点处的切线方程. 解:因为抛物线在点处的切线的斜率为 所以抛物线在点处的切线方程为,即. 练习:教材第64页练习第2题. 教师操作课件,引导学生自己解决问题,让学生板演. 教师提出问题:平均速度与瞬时速度有什么区别和联系 学生思考后回答,教师评价讲解. 学生自学例2,教师引导归纳. 提问:①如何写出直线的点斜式方程 ②解决本题的关键是什么 ③如何求抛物线在某一点处的切线的斜率 通过解决例1,进一步加深对平均速度和瞬时速度的理解. 深刻理解抛物线在某点处的割线与切线的关系,强化本节重点. 巩固直线的点斜式方程、求抛物线在某点处的切线的方法,为后续学习导数的几何意义作准备.
课堂小结 1.知识 (1)平均速度与瞬时速度. (2)抛物线的切线的斜率. 2.思想方法 极限思想. 学生归纳小结,教师补充完善. 引导学生构建知识和能力框架,从整体上把握本节内容.
布置作业 1.教材第61~62页练习第1,3题. 2.教材第64页练习第1题. 学生独立完成,教师批阅. 通过完成作业,巩固本节所学知识.
板书设计:
5.1.1 变化率问题 一、章头引言 1.四类科学问题 2.导数解决哪些问题 3.本章的主要内容 二、新课 1.高台跳水运动员的速度 (1)平均速度 (2)瞬时速度 物体在某一时刻的速度 2.抛物线的切线的斜率 (1)切线的定义 设直线是抛物线的割线(点在抛物线上),当点无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线 (2)切线的斜率 当横坐标间隔无限趋近于0时,抛物线过该点的割线斜率的极限值就是抛物线在该点处的切线的斜率 三、应用举例 例1 例2 四、课堂小结 1.知识 (1)平均速度与瞬时速度 (2)抛物线的切线的斜率 2.思想方法 极限思想
教学研讨:
以实例引入瞬时速度的概念,利于学生对此概念的理解和掌握.在给出瞬时速度的概念以后,再结合实例说明△t可以取正,也可以取负,但不能取零.
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