人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 5.1《导数的概念及其意义》课时1 教学设计

《导数的概念及其意义》教学设计
课时1变化率问题
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
变化率问题 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 数学运算 【考查内容】 1.利用导数的几何意义求曲线在某点处(过某点)的切线方程或者根据斜率求切点坐标 2.导数的几何意义和解析几何的知识联系综合解题 【考查题型】 填空题、解答题
导数的概念 数学抽象 直观想象 数学运算
导数的几何意义 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节的主要知识内容是平均变化率、导数及导数的几何意义,在众多变化率问题中,教材选择了物理中的高台跳水运动的速度问题和几何学中圆锥曲线的抛物线问题,这两类问题来自不同的学科领域,把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率,解决问题时都采用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.对学生来说,一个是生活中的物理问题,一个是熟悉的数学问题,这样的设计既可以引起学生的学习兴趣,又可以减少因背景复杂而形成对数学知识的干扰.学生学会先求函数的导数,继而求函数在某点处的切线的斜率与切线的方法,通过实际问题的引入加深对几何意义的理解和应用,使学生自然的接受新知识的教授.
本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的热点,本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.变化率问题 2.导数的概念 3.导数的几何意义 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
在学习本节内容之前,学生已经学习了速度问题和抛物线问题,知识的引入比较简单直接,所以本节引入难度不是很大,但是大部分学生对极限含义的理解有一定的困难,导数概念的本质是极限,本教材没有介绍极限形式化定义及相关知识,而是通过列表计算,直观把握函数变化趋势,在此过程中学生可以很好的理解并建立导数的概念.本部分知识涉及大量的计算和相关符号,对于学生的计算能力和符号的正确运用的考查也是很关键的.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.变化率问题
2.导数的概念
3.导数的几何意义
【教学目标设计】
1.了解平均变化率的概念.
2.利用学生对瞬时速度的理解,逐步达到对导数概念和基本方法的直观准确的理解.
3.理解导数的几何意义,体会导数在刻画函数性质中的作用.
【教学策略设计】
学生体验用平均速度逼近瞬时速度,割线斜率逼近切线斜率,这是求瞬时速度,求切线斜率的重要方法,也是建立导数概念的重要支持,学生在高中数学学习过程中对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多的体会和认知.教学中利用预设问题激发学生思考,问题的设置体现由特殊到一般的认知规律;在学生充分经历瞬时速度的计算和切线斜率的计算过程后,引导学生归纳概括导数概念,强化学生数学抽象核心素养的形成;通过割线逼近切线,割线斜率逼近切线斜率的过程,引导学生借助直观想象理解导数的几何意义.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.了解函数的变化率、平均变化率.
2.理解瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数概念.
3.理解导数的几何意义及“数形结合、以直代曲”的思想方法.
难点:
1.通过大量实例,使学生学会用数学的度量来描述平均变化率,体会函数的内涵与思想.
2.准确理解导数概念,体会极限思想.
3.发现、理解并应用导数的几何意义.
【教学材料准备】
1.常规材料:计算器、多媒体课件、____________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,我们都进行过这样的运动—爬山,请回答下面的问题:
问题1:在爬山的过程中,感觉平缓的山好攀登,还是陡峭的山好攀登呢
问题2:想想什么原因呢 请同学们做个简单图形来分析.
问题3:对比分析两个一样高度的山,一个平缓,一个陡峭,那么两者的区别在哪里
【师生共同讨论为什么陡峭的山攀登感觉更累.学生独立做出图形】
师:这都是日常生活中的例子,我们找出了问题关键,导致不同感觉的原因是因为在相同条件下,变化率大小不同.
【设计意图】
通过登山运动,教师引入本课所学变化率问题,提升学生的探究兴趣.
教学精讲
探究1 瞬时速度
【情境设置】
高台跳水
在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢
(1)如何计算和的平均速度
(2)如何计算运动员在这段时间里的平均速度
师:运动员从起跳到入水的过程中,在上升阶段运动得越来越慢,在下降阶段运动得越来越快,我们可以把整个运动时间段分成许多小段,用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
生:(1)在这段时间里,;
在这段时间里,.
(2)根据函数的图象,结合图形可知,,所以.
师:根据上述的解答过程,总结一下,在这段时间内的运动员平均速度如何表示
生:.
【以学定教】
通过类比师生对登山问题的研究,学习高台跳水问题,强化所学知识,提高对概念的认知.
【概括理解能力】
通过教师提醒函数能够代表很多问题,提醒学生概念上需要注意的点,引导学生敢于总结,规范语言,概括出题目条件,培养学生概括理解的能力.
师:探究思考以下问题:
【情境设置】
高台跳水
1.运动员在这段时间内是静止的吗
2.你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以启发和肯定】
生:虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
【自主学习】
学生自主解决实际问题,教师继续设疑,使学生逐步建立知识体系和认知,增强了学生学习的主动性.
师:为了精确刻画运动员的运动状态,需要引入瞬时速度的概念.
【要点知识】
瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
设物体运动的路程与时间的关系是,当趋近于0时,函数在到之间的平均变化率趋近于常数,我们把这个常数称为运动物体在时刻的瞬时速度.
【概括理解能力】
通过引入概念,使学生充分理解函数变化率的概念和计算顺序,加深对概念的运用能力.
师:瞬时速度与平均速度有什么关系 你能利用这种关系求运动员在的瞬时速度吗
师:设运动员时刻附近某一时间段内的平均速度是,可以想象,如果不断缩短这一时间段的长度,那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.
为了求运动员在时的瞬时速度,我们在之后或之前,任意取一个时刻是时间改变量,可以是正值,也可以是负值,但不为0.当时,在1之后;当时,在1之前.当时,把运动员在时间段[1,内近似看成做匀速直线运动,计算时间段内的平均速度,用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时,在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精准度,我们不断缩短时间间隔,得到如下表格.
【学生以小组为单位,列好表格,准备好计算器】
【以学定教】
引出瞬时速度与平均速度有什么关系的问题,激发学生好奇心和学习动力,充分调动学生的积极性.
师:当趋近于0时,平均速度有什么样的变化趋势
生:当趋近于0时,即无论从小于1的一边,还是从大于1的一边趋近于1时,平均速度都趋近于一个确定的值.
师:从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于时的瞬时速度,因此,运动员在时的瞬时速度是.
为了表述方便,我们用,表示“当趋近于0时,平均速度趋近于定值”.
师:你能求出运动员在时的瞬时速度吗 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度.
【分组讨论,思考,组内合作完成】
师:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.小结一下:
【要点知识】
对瞬时速度的理解
1.计算瞬时速度必须先求出平均速度,再对平均速度取极限.
2.趋近于0,是指时间间隔越来越小,能小于任意小的时间间隔,即要多小就有多小,其含义是可以小到任何预先给定的正数,但始终不能为零.
【设情境 巧激趣】
利用学生的活动和熟悉的例题,教师创设物理情境根据问题引导学生从物理学角度理解数学问题.
探究2 抛物线的切线的斜率
【情境设置】
抛物线切线斜率的探究
如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么这条直线与这个圆相切,对于一般的曲线,如何定义它的切线呢 下面我们以抛物线为例进行研究.你认为应该如何定义抛物线在点处的切线 附近的点
师:与研究瞬时速度类似,为了研究抛物线在点处的切线,我们通常在点的附近任取一点,考察抛物线的割线的变化情况.
【推测解释能力】
教师通过具体问题引导,提醒学生概念上需要注意的关键点,引导学生重视概念本身,加深理解.
【情境设置】
抛物线切线斜率的探究
沿着趋近于时,割线有什么变化趋势
生:我们发现,当点无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
【以学论教】
教师类比研究瞬时速度,来进行抛物线的切线的斜率的探究,巩固旧知,加强对新知的理解,体现以学论教.
师:从上述切线的定义可见,抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记,则点的坐标是.于是,割线的斜率.我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率,并且可以通过不断缩短横坐标来提高近似表示的精确度,得到如下表格.
-0.01 1.99 0.01 2.01
-0.001 1.999 0.001 2.001
-0.0001 1.9999 0.0001 2.0001
-0.00001 1.99999 0.00001 2.00001
-0.000001 1.999999 0.000001 2.000001
…… ……
【学生以小组为单位,列好表格,准备好计算器】
师:在表格中当无限趋近于0时,割线的斜率趋近于多少
生:当无限趋近于0时,即无论从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线的斜率都无限趋近于2.
【活动学习】
学生分组列表,用计算器来计算割线的斜率,提高学生的计算能力,体现活动学习.
【要点知识】
抛物线切线斜率的探究
事实上,由可以直接看出,当无限趋近于0时,无限趋近于2.我们把2叫做“当无限趋近于0时,的极限”,记为.
从几何图形上看,当横坐标无限变小时,点无限趋近于点,于是割线无限趋近于点处的切线,这时,割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率,因此,切线的斜率.
【设活动 深探究】
通过探究抛物线切线的斜率,经探究得出切线斜率的特点,提高学生的活动学习能力.
【课堂小结】
变化率问题
1.理解并掌握函数变化率的几何意义和概念.
2.准确运用数学符号正确地表达函数变化率.
【设计意图】
通过课堂总结,让学生对变化率问题有深刻理解,对下节课导数的学习起到了铺垫作用.培养学生的概括理解能力.
教学评价
本部分学习注重以学生为主体,每一个知识的引入和发现都学生自己得出,课堂上教师给予学生充足的思考空间,保证学生书写过程清楚,表达正确,尽量正确使用规范的符号语言.本节课学习从源头上说明导数的意义,让学生充分理解导数知识来源于生活.
【设计意图】
通过动手实践,学生经历探究导数的几何意义的建构过程,从而准确理解导数的几何意义,应用大量实例,使学生体会思想方法和应用的广泛.培养了学生的概括理解,分析计算能力和数学运算、逻辑推理核心素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.求函数在附近的平均变化率,取都为,哪一点均变化率最大
解析:直接代入公式计算平均变化率,比较大小即可.
在附近的平均变化率为;
在附近的平均变化率为;
在附近的平均变化率为.
若,则.
由于在附近的平均变化率最大.
2.两个学校开展节能活动,活动开始后两学校的用电量、与时间(天)的关系如图所示,则一定有( )
A.比节能效果好.
B.的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率大.
C.两学校节能效果一样好.
D.与自节能以来用电量总是一样大.
解析:由图象可知,对任意的,曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”,所以,比节能效果好,A正确,C错误;由图象可知,,则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率要小,B选项错误;由于曲线和曲线不重合,D选项错误.
答案:
3.已知,若,则的值等于( )
A. B. C. D.
解析:本题只需根据导数的定义可得,
因此,则.
答案:
4.曲线在点处的切线方程是________.
解析:本题利用导数的几何意义求曲线切线的步骤解题.因为,切点为,所以斜率,所以切线方程为,即.
答案:
【分析计算能力】
根据所学平均变化率的知识,分析具体数据,让学生自主的计算,提高对概念的理解和运用.
【综合问题解决能力】
学生在理解导数概念的基础上进行审题,强化导数几何意义,提高综合问题解决能力.
教学反思
本节课在正确理解函数平均变化率的问题和导数的概念等知识的基础上,研究导数的几何意义,由于新教材涉及极限,尽量采用形象直观的方式,提高学生的动手能力,注重多媒体的使用和数形结合思想的应用,使学生深刻体会导数的几何意义和“以直代曲”的思想,即在利用导数几何意义研究具体实际问题时,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的,并通过对例题的研究,让学生体验导数与切线斜率的关系,并感受导数应用的广泛性,应提供学生多实践,多练习的机会,提高计算能力和概念的认知能力.
【以学定教】
启发并引导学生理解函数变化率、导数的概念和几何意义,熟练掌握导数概念的表示方法和利用导数几何意义求切线的解题步骤,提高综合问题的解决能力.
【以学论教】
通过教师引导学生阅读教材,归纳探究,解决有关导数问题,课堂上教师采用活动学习、意义学习的策略,使得学生掌握导数概念及其几何意义,达到较好的学习效果.
1 / 12